高一下学期期中模拟试题二
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．3
2．对于横纵坐标均为整数的向量，若它们的模相同，坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”如向量是模为的“等模整向量”，则模为的“等模整向量”的个数为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西，楼顶C的仰角为，则超然楼的高度（单位：米）为（ ）
A．26 B． C．52 D．
4．矩形中，，M为线段上靠近A的三等分点，N为线段的中点，则（ ）
A． B．0 C．1 D．7
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于复数，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形为其中的一个六元环，设，P为正六边形内一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．的取值范围为
11．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足与交于点D，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12． ．
13．中，为边的中线，，，，则中线的长为 .
14．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ．
四、解答题
15．已知复数．
(1)求；
(2)若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值．
16．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求坐标；
(2)若，且，求与的夹角．
17．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
18．在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．
(1)用向量，表示向量，；
(2)求的取值范围；
(3)是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．
19．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，．
(1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积；
(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
高一下学期期中模拟试题二参考答案：
ABCC BCCC 9．ACD10．BCD 11．ABD
12． 13．/ 14．
15．【详解】（1）因为，所以．
（2）由（1）可得：，
将代入方程得：，
则，解得：．
16．【详解】（1）设，由已知可得，解得或
所以或．
（2）由已知可得，.由得，
即，即，所以，
所以.因为，，故.
17．【详解】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
18．【详解】（1）因为，
所以．
又．
（2），
因为，，，
所以
．
因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
（3）设，，其中，则
，
因为，
由平面向量基本定理，得
解得，
由，得，故，
所以，解得，或．
因为，所以．
19．【详解】（1）由，，故，
由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
即，
则，
故有，
故，
；
（2），
，
故，
则，
其中，，则当，
即时，草坪ABCD的面积最大，
此时，
即此时小路BD的长度为.
