第二十三章 概率初步单元综合卷
一、单选题
1．下列事件中，确定事件是（ ）
A．掷一枚均匀硬币，正面朝上 B．地球总是绕着太阳转
C．买一注彩票，中奖了 D．小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯
2．事件：①打雷后会下雨；②掷一枚均匀的硬币，反面朝上；③过十字路口时正好遇到绿灯；④煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．“同时抛掷两枚材质相同的正方体骰子，向上一面点数之和为13”是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定
4．下列事件中不是确定事件的是（ ）
A．掷两枚骰子得到的点数之和大于1
B．掷两枚骰子得到的点数之和小于2
C．掷两枚骰子得到的点数之和大于11
D．掷两枚骰子得到的点数之和大于12
5．投掷一枚质地均匀且六个面上分别刻有点数1到6的正方体骰子，观察骰子落地后向上面的点数，下列结果属于必然事件的是（ ）
A．出现的点数是偶数 B．出现的点数是合数
C．出现的点数是4的倍数 D．出现的点数是60的因数
6．下列事件：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天；②在直角坐标系中一次函数的图像一定是直线；③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数；④掷一骰了，点数为偶数的面朝上．其中属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝下 B．打开电视机，正在播放广告
C．篮球运动员投篮，把球投进篮筐 D．从地面往上抛出的足球会落下
8．下列事件属于必然事件的事（ ）
A．某种彩票的中奖概率为，购买张彩票一定能中奖
B．电视打开时正在播放广告
C．任意两个负数的乘积为正数
D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎
9．从一副未曾启封的扑克牌中取出张红桃，张黑桃的牌共张，洗匀后，从这张牌中任取张牌恰好是黑桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，错误的是（ ）
A．百分比也叫百分数或百分率
B．“对折”就是现价比原价下降了
C．等可能事件的前提必须是各种结果发生的可能性是相等的
D．抛硬币得到反面朝上的可能性是，所以抛2次必有1次反面朝上
二、填空题
11．从，3.101001，π，这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是____．
12．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为_________________．
13．将、、、0、这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，取到无理数的概率为__________．
14．布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是____．
15．如果从方程①，②，③，④，⑤，⑥中任意选取一个方程，那么取到的方程是无理方程的概率是_________．
16．班会课上，小强与班上其他32名同学每人制作了一张贺卡放在一个盒子里，小强从盒子中任意地取一张．恰好抽到自己制作的那张贺卡的可能性为__________．
17．从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率是 ．
18．一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式中的字母x，使该二次根式有意义的概率是________.
19．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．
20．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的概率是__________.
三、解答题
21．小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.
（1）你认为游戏公平吗 为什么
（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢 请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）
22．（某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
23．一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _；
（2）掘匀后先从中任意摸出个球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标：再从余下的个球中任意摸出个球，记下数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的概率．
24．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．
（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；
（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率．
25．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
答案
一、单选题
1．B
【思路指引】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解详析】
解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、地球总是绕着太阳转，属于确定事件，符合题意；
C、买一注彩票，中奖了是随机事件，不符合题意；
D、小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：B．
2．C
【思路指引】
根据随机事件的概念进行判断即可．
【详解详析】
解：①打雷后可能下雨，也可能不下雨，随机事件；②掷一枚均匀的硬币，可能反面朝上，也可能正面朝上，随机事件；③过十字路口时正好遇到绿灯，也有可能正好遇到红灯或黄灯，随机事件；④煮熟的鸡蛋不可能能孵出小鸡，不是随机事件，
综上，以上事件中随机事件的有①②③共3个，
故选：C．
3．B
【思路指引】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解详析】
解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件；
故选：B．
4．C
【思路指引】
根据不可能事件，确定事件、随机事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．
【详解详析】
解：A．掷一枚骰子得到的点数最小为1，因此掷两枚骰子得到的点数之和一定大于1，是确定事件，因此选项A不符合题意；
B．掷两枚骰子得到的点数之和不可能小于2，因此是不可能事件，所以选项B不符合题意；
C．掷两枚骰子得到的点数之和可能大于11，有可能小于11，是不确定事件，因此选项C符合题意；
D．掷两枚骰子得到的点数之和大于12，是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．D
【思路指引】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解详析】
解：A、出现的点数是偶数是随机事件，故本选项不合题意；
B、出现的点数是合数是随机事件，故本选项不合题意；
C、出现的点数是4的倍数是随机事件，故本选项不合题意；
D、出现的点数是60的因数是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
6．B
【思路指引】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【详解详析】
解：①第十届中国花卉博览会闭幕日（2021年7月2日）当天现场是晴天是随机事件，不符合题意；
②在直角坐标系中一次函数的图象一定是直线是必然事件，符合题意；
③平面上任意画一个凸多边形，它的内角和一定是180°的倍数是必然事件，符合题意；
④掷一枚骰子，点数为偶数的面朝上是随机事件，不符合题意，
∴确定事件有2个，
故选：B．
7．D
【思路指引】
在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，根据必然事件的定义对选项一一分析即可．
【详解详析】
解：A. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝下是随机事件，故选项A不符合题意；
B. 打开电视机，正在播放广告是随机事件，故选项B不符合题意；
C. 篮球运动员投篮，把球投进篮筐，是随机事件，故选项C不符合题意；
D. 从地面往上抛出的足球会落下是必然事件，故选项D符合题意．
故选择D．
8．C
【思路指引】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解详析】
A.某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票能中奖，是随机事件；
B.电视打开时正在播放广告，是随机事件；
C.任意两个负数的乘积为正数，是必然事件；
D.某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎，是随机事件；
故选：C．
9．C
【思路指引】
让黑桃张数除以总张数3即可求得从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率．
【详解详析】
解：∵1红桃，2黑桃的牌共3，
∴这3牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是．
故选：C．
10．D
【思路指引】
根据百分率、概率的意义分别对每一个选项进行分析，进而得出结论．
【详解详析】
解：A、根据百分数的意义可知：百分比也叫百分数或百分率，说法正确；
B、“对折”就是打五折，即现价是原价的，说法正确；
C、等可能事件的前提必须是各种结果发生的可能性是相等的，说法正确；
D、虽然抛硬币得到反面朝上的可能性虽然是，但抛2次不一定有1次反面朝上，这种说法错误；
故选：D．
二、填空题
11．
【思路指引】
用无理数的个数除以数的总个数即可求解．
【详解详析】
解：在所列4个实数中，无理数有π，共2个，
∴这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是＝，
故答案为：．
12．
【思路指引】
分别求出铜钱和中间正方形孔对的面积，然后利用几何概率计算．
【详解详析】
解：∵S正方形＝1，S圆＝，
∴P＝．
故答案为：．
13．
【思路指引】
先根据无理数的定义得到取到无理数的有π、这2种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解详析】
解：将π、、、0、-1这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有5种等可能结果，其中取到无理数的有π、这2种结果，
所以取到无理数的概率为，
故答案为：．
14．
【思路指引】
白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解详析】
解：∵一共是3+4+5=12（个），4个白球，
∴从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是=．
故答案为：．
15．
【思路指引】
根据概率公式及无理方程的概念求解即可．
【详解详析】
解：在所列的6个方程中，无理方程有，，共2个，
取到的方程是整式方程的概率是，
故答案为：．
16．
【思路指引】
根据题意，共有1+32=33个学生，由概率=所求情况数与总情况数之比即可得出答案．
【详解详析】
解：根据题意得：
；
答：正好抽到自己那一张的可能性为；
故答案为：．
17．
【思路指引】
根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【详解详析】
∵1，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，
∴2，3，5，7；故取到素数的概率是．
故答案为．
18．
由二次根式有意义可得x-3≥0，即可得x≥3，一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中能使二次根式有意义的结果有3、4、5、6四种情况，所以二次根式有意义的概率是 .
19．
【详解详析】
∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：.
20．
【思路指引】
首先根据题意可求得：（a，b）的等可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集为≤x＜b，所以可得（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的个数，利用概率公式即可求得答案．
【详解详析】
根据题意得：（a，b）的等可能结果有：（﹣2，0），（﹣1，1），（0，2），（1，3），（2，4）共5种；
∵，
解①得：x≥，
解②得：x＜b，
∴≤x＜b，
∴（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的有（0，2）与（1，3），
∴（a，b）使得关于x的不等式组恰好有两个整数解的概率是．
故答案为：．
三、解答题
21．
（1）不公平.理由如下：
（掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，，
游戏不公平
（2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示；
②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）；
③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内；
④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即.
22．
解：（1）依题意可知，
今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为；
（2）根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则：
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，与时比较，
六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比时平均每天利润少．
综上所述：时，的值达到最大．
即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．
23．
解：（1）摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为：；
故答案为：；
用列表法表示为：
点的坐标
∴共有种等可能的结果，其中两次摸球后得到的点恰好在函数图像的有种，
设事件“两次摸球后得到的点恰好在函数图像”记为“事件”，
则；
答：两次摸球后得到的点恰好在函数图像的概率为；
24．
（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种，
9班和5班抽签到一个小组只有一种情况，
故概率为：；
（2）①分组为(2，5)和(6，9)，
1、2名争夺 3、4名争夺
情况1 (2，6) (5，9)
情况2 (2，9) (5，6)
情况3 (5，6) (2，9)
情况4 (5，9) (2，6)
故概率为：；
②分组为(2，9)和(5，6)，
1、2名争夺 3、4名争夺
情况1 (2，5) (6，9)
情况2 (2，6) (5，9)
情况3 (5，9) (2，6)
情况4 (6，9) (2，5)
故概率为：；
综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为．
25．
（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
