一、选择题（共10小题）
1．（2023 莲池区二模）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为6，则劣弧长为
A．3 B． C． D．6
2．（2023 大同模拟）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
3．（2023 锦州二模）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
4．（2023 海安市校级二模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为
A． B． C． D．
5．（2023 秦都区校级二模）如图，点、、、为上的四个点，连接、、、，，若，的半径为6，则劣弧的长为
A． B． C． D．
6．（2023 钦州一模）如图，点，，，在上，于点，，，则的长为
A． B． C． D．
7．（2023 宁江区二模）如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
8．（2023 河东区二模）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为
A． B． C． D．
9．（2023 神木市一模）如图，为的直径，为的弦，且于点，若点为的中点，，则劣弧的长为
A． B． C． D．
10．（2023 朔州模拟）如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积
A．6 B．12 C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2023 利辛县模拟）如图，在中，半径，点为上一点，连接，，，，若，，则的长度为 ．
12．（2023 榆树市校级模拟）如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2023 潼南区一模）如图，矩形的两条对角线相交于点，．以点为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点，并与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2023 红桥区模拟）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接并延长交于点，当时，的长是 ．
15．（2023 兴义市校级模拟）如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2023 偃师市校级一模）如图，在半径为4，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则阴影部分的面积是 （结果保留．
17．（2023 南乐县一模）如图，在扇形中，圆心角，，分别以，的中点，为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为 ．
18．（2023 白山模拟）如图，在等边三角形中，为的中点，交于点，若，则的长为 ．
19．（2023 工业园区校级二模）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ．
20．（2023 东营二模）如图，在扇形中，，平分交于点．点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（共7小题）
21．（2023 蕉城区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求劣弧的长．
22．（2023 滨海县模拟）如图，是的直径，点是的中点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
23．（2023 海陵区一模）如图，的直径为10，点是弦所对优弧上一动点，连接、，作，垂足为．
（1）若，求的长及的长；
（2）若，求点到的距离的最大值．
24．（2023 庐阳区校级一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上，且，，弧的度数是．
（1）求线段的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和．
25．（2024 扶沟县一模）如图，，，，是上的四个点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
26．（2023 玉屏县三模）如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作交于点，垂足为．
（1）的度数为 ；
（2）求的长；
（3）求阴影部分的面积．
27．（2023 花溪区模拟）如图，点，，都在上，连接，，，，与相交于点，，．
（1）写出线段与的位置关系；
（2）求证：；
（3）求由弦，与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：连接，，
，
．
直径为6，
，
劣弧．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图，连接，
根据折叠的性质，，，，
，
为等边三角形，
．
，
，
，
，
与面积相等，
．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：连接，，
为的直径，
，
，
，
即点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：连接，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的长．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：连接，，
，
，为的直径，
，
，
，
劣弧的长，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：，
，
，
的长为，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：如图，连接，
是圆的直径，
，
又，
，
是中点，
是的中位线，
，，
阴影部分的面积．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：如图，连接，
于，点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：取中点，连接，
正方形的边长为4，
，
，
扇形的面积，的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
的面积，半圆的面积，，
阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
【解答】解：，
，
，
，
，
的长为：，
故答案为：．
12．【解答】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，
，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
13．【答案】．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
．
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：，，
．
，
，，
，
，
，
的长度．
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：连接，过点作于点，
，
由题意，知，，，，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：连接，
在中，，
是半圆的直径，
，
在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：连接，，，
，，分别为，的中点，
，
是等边三角形，
，
弧和弧的长都为，
图中阴影部分的周长为．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
是等边三角形，
，
，
，
，
是直径，
，
，都是等边三角形，
，
，
的长，
故答案为：．
19．
【解答】解：连接，直线与交于点，如图所示，
扇形中，，
，
点与圆心重合，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
20．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
21．【解答】（1）证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
（2）解：，
．
又，，
，
的长为：．
22．【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
又，
，
，
点是的中点，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
的长度．
23．【答案】（1）的长为；的长为；
（2）．
【解答】
（1）如图，连接，，
的直径为10，
，
，
，
，的长为；
（2），
为等边三角形，
，
，
，
，，
设点到的距离为，
则，
那么，
若要最大，那么最大即可，
故当为直径时最大，即最大值为，
即点到的距离的最大值为．
24．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）过作于，
弧的度数是，
，又，
，
，
，
，
，，
；
（2）．
25．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
由圆周角定理得：，，
；
（2）连结，，过点作于点，
，
．
于点，，
，
，
中，，
，
的长．
26．【答案】（1）；
（2）3；
（3）．
【解答】解：（1）是的直径，
，
．
故答案为：．
（2），
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
阴影的面积扇形的面积，
，，
是等边三角形，
，
，
扇形的面积．
阴影的面积．
27．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），理由：
，
；
（2）如图，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
（3），
，
在中，，，
，，
由题意可知，
，
答：由弦，与弧所围成的阴影部分的面积为．
