一、选择题（共10小题）
1．（2024 温州模拟）如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，若，四边形的面积为8，则的长为
A．10 B． C． D．12
2．（2024 郑州模拟）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为
A．2 B． C．1 D．
3．（2024 莲湖区一模）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为
A．4 B．3 C． D．
4．（2024 榆阳区校级一模）如图，在矩形中，点，分别是，的中点，，，则的长为
A．12 B．10 C．9 D．8
5．（2024 昭通一模）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为
A． B． C． D．
6．（2024 肥东县模拟）如图，在正方形中，已知边，点是边上一动点（点不与、重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为
A．5 B． C． D．
7．（2024 长安区一模）如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去长方形纸条；
第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．
若长方形纸条和的面积相等，则的长度为
A． B． C． D．
8．（2024 重庆模拟）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且时的中点，连接，若，则的长为
A． B．4 C． D．
9．（2024 尉氏县一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
10．（2024 瓯海区模拟）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为、，若，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2024 西和县模拟）如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为 ．
12．（2024 雁塔区校级三模）如图，正五边形的对角线、相交于点，则的度数为 ．
13．（2024 杭锦后旗模拟）如图，矩形中，对角线与相交于点，平分，交于点，．下列结论：①是等边三角形，②，③，④．其中正确的有 （填序号）．
14．（2024 湖南一模）如图，，分别为矩形边和上的点，若，，，则矩形的面积为 ．
15．（2024 长沙模拟）如图，在矩形中，，，，则这个矩形的面积是 ．
16．（2024 历下区一模）如图，已知矩形，，，点为边上一点，连接，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的最小值是 ．
17．（2024 锡山区校级一模）如图，在中，点在线段上，点在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 ．
18．（2024 临汾一模）如图，正方形的边长为，为的中点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，交于点，交于点，则的长为 ．
19．（2024 郑州模拟）如图所示，在菱形中，，，垂足为，若，则菱形周长为 ．
20．（2024 江夏区校级模拟）如图，矩形中，，点是上的一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2024 温州模拟）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（2024 昭通一模）如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
23．（2024 拱墅区一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接、点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，求证：；
（3）连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．
24．（2024 昌吉州模拟）如图，是平行四边形的一条对角线，，，垂足分别是、．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
25．（2024 沛县校级模拟）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于6，求的面积．
26．（2024 湖南一模）如图，四边形为矩形，对角线上的点和满足．
证明：四边形为平行四边形．
27．（2024 朝阳区模拟）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，且平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，交于点，若，则 度．
28．（2024 长沙模拟）如图，在四边形中，，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如图2，过四边形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积．
29．（2024 贵州一模）将两张完全相同的矩形纸片、按如图方式放置，为重合的对角线．重叠部分为四边形，
（1）试判断四边形为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
30．（2024 介休市模拟）综合与实践
问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图1，四边形和四边形均为正方形，且点在边上，连接，，则与有怎样的数量关系和位置关系．
猜想定论：
（1）猜想题目中的问题：与的数量关系是 ，位置关系是 ；
探索验证：
（2）如图2，将正方形以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得经过点（即点落在边上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；
拓展深入：
（3）如图3，在图2的基础上，过点作于点，若，，请直接写出线段的长度．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解；设，，，则，，
四边形，四边形，四边形都是正方形，
，，，，
四边形，四边形都是矩形，
，
，
四边形的面积为8，，
；
，，是某个直角三角形的三边，其中是斜边，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
当最小时，有最小值，
当时，最小，
则，
此时，，
，
即的最小值是，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：由题意，点、分别是、的中点，
是的中位线．
．
又是的斜边边上的中线，
．
在中，，
由勾股定理可得：，
，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：
图1连接，
菱形中，，
，
是等边三角形，
对角线，
，
，
图3过点作，交的延长线于点，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：如图所示，连接，，
正方形的边长为5，
，
，关于成轴对称，
垂直平分，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值为，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：设正方形的边长为 ，
由题意，得．
解得．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：过点作于点，交于点，如图，
是的中点，
．
四边形为正方形，
，，，
，
．
，
．
四边形为正方形，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
四边形，四边形为矩形，
，，
，，
．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：，，都是的顶点，
，，，
即线段沿轴向右平移5个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点，
，
点是线段边的中点，
点的坐标为，即，
过点作轴，
，
，
，
，
点是线段边的中点，
，
将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，
又，，
沿轴向右平移1个单位，
．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：连接、，作交的延长线于点，则，
四边形、四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
设，则，
，，
，，
，
，，
，
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】9．
【解答】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：9．
12．【答案】．
【解答】解：五边形为正五边形，
，，
，，
在中，，
，
故答案为：．
13．【答案】①②④．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，故①正确；
，，
，
，故②正确；
，
，故③错误；
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
14．【答案】．
【解答】解：由，
，
，
，
四边形是矩形，
可得，
，，，四点共圆，
由圆周角定理得，即，
，
，
，，
，
即，
，
，
在中，设，则，
在中，，
，
解得（舍去），
，
．
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：四边形是矩形，
，．
在中，
，，，
，．
，，
．
在中，
，，，
，
，
矩形的面积，
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，．
．
，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
四边形为矩形，
，，，
设，则，，
，，
在中，
，
，
，
当时，取得最小值为．
的最小值是．
故答案为：．
17．【答案】24．
【解答】解：如图，连接，过作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
边上的高和的边上的高相同，
，
同理：，
，
，
设平行四边形的边上的高为，
则，
，
，
，
故答案为：24．
18．【答案】．
【解答】解：如图，延长交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
设，则，．
．
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，，
，
，
，，，
，
．
故答案为：．
19．【答案】40．
【解答】解：，
，
，
，
设，，
，
四边形是菱形，
．
，
菱形的周长．
故答案为：40．
20．【答案】7．
【解答】解：矩形中，是的中点，，
，
在和中，
，
，
，，
设，
则，
在中，，
，
垂直平分，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：7．
三、解答题（共10小题）
21．【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，，
，，
，
，
，
（负值舍去），
，
菱形的面积．
22．【答案】（1）证明见解析；
（2）96．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
23．【答案】（1）；
（2）证明见解答；
（3）．
【解答】（1）解：由对称得：，，
在正方形中，，，
，
是的中点，
，，
；
（2）证明：如图，作交的延长线于，
，
在正方形中，，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：如图，过作于，则，
在中，，
，即为定值，
当最大时，△的面积最大，
连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，
，，
，
，
即的面积最大值为．
24．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
25．【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
．
26．【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：在矩形中，，，则．
在与中，
，
．
，．
．
．
四边形为平行四边形．
27．【答案】（1）见解析；
（2）60．
【解答】（1）证明：，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：60．
28．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：，，
垂直平分，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，6
，
，
，，
，
．
29．【解答】解：（1）四边形是菱形．理由如下：
四边形、是完全相同的矩形，
，，．
在和中，，
，
．
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
是菱形．
（2）由（1），设，则，
在中，，即，
解得：，即，
菱形的面积为．
30．【答案】（1）相等，垂直；
（2）（1）中的结论成立，理由见解析；
（3）．
【解答】解：（1）与的数量关系是相等，位置关系是垂直，
理由：如图1，延长交于，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，，
，
，
；
故答案为：相等，垂直；
（2）（1）中的结论成立，
理由：如图2，延长交于，
四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
；
（3），，，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
，
，
，
，
