一、选择题（共12小题）
1．（2023 市南区一模）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是
A． B． C． D．2
2．（2023 滨海新区二模）如图，中，，点是边上一点，连接、，将沿所在直线折叠得到，点是点的对应点，与交于点，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
3．（2024 沭阳县一模）如图，直角三角形中，两条直角边，，将绕着中点旋转一定角度，得到，点正好落在边上，和交于点，则的长为
A．1.4 B．1.8 C．1.2 D．1.6
4．（2024 安徽一模）如图，在矩形中，，，为边上一动点，连接，过点作于点，与对角线交于点．若，则的长是
A． B．2 C． D．
5．（2023 南湖区二模）如图，矩形中，，，点在上，点在上，将矩形沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，若，则折痕的长为
A． B． C．3 D．
6．（2023 英德市三模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点与点重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分，给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024 新市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边．，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是
A． B． C．， D．，
8．（2024 广东一模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形绕点逆时针旋转后得到△，依此方式，绕点连续旋转4次得到△，那么的坐标为
A． B． C． D．
9．（2024 望花区一模）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点对应点的坐标为
A． B． C． D．，
10．（2024 道里区模拟）如图，绕点逆时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024 桥西区模拟）如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交，于，两点．
①当点为的中点时，；
②当点为的三等分点时，或；
③当时，．
以下选项正确的为
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（2023 韶关一模）如图，在扇形中，，，点在半径上，沿折叠，圆心落在上，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
二、填空题（共12小题）
13．（2024 秦淮区校级模拟）如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 ．
14．（2024 偃师区模拟）如图，在中，，点为边上一动点，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为 ．
15．（2024 瓯海区模拟）如图，在中，，是的中点，将绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，连接，若，则的度数为 ．
16．（2024 旺苍县一模）如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ．
17．（2023 巨野县二模）如图，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③平分；④．正确的是 ．
18．（2023 鄂城区校级模拟）如图，等边三角形中，于，，在上一动点，以为边作等边三角形，连，则的最小值为 ．
19．（2024 雁塔区三模）如图，在平行四边形中，，，，点、点分别为、的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是 ．
20．（2024 阿克苏地区模拟）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．
21．（2023 大埔县校级一模）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为 ．
22．（2021 江阴市校级模拟）如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为 ．
23．（2024 台安县一模）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是等腰三角形时， ．
24．（2023 信阳一模）如图，中，，，，是的中线，是上一动点，将沿折叠，点落在点处，线段交于点，若是直角三角形，则 ．
三、解答题（共8小题）
25．（2024 怀远县模拟）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到．
（1）连接，若，求此时的面积．
（2）①若点，，在同一直线上，求此时的长度．
②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长．
26．（2023 港北区三模）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点与点所在的直线折叠，点落在点处，连接，如图1，请直接写出与的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点与上的点所在的直线折叠，使点落在上的点处，连接，如图2，猜想的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点关于直线的对称点，连接，，，如图3，求的度数．
27．（2024 绥化模拟）如图，已知中，，，是所在平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
（1）如图①，当时，线段与之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图③，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明．
28．（2023 德惠市模拟）如图，中，，，，平分交于点，动点从点出发以的速度沿边运动，当点与点重合时，停止运动．过点作的垂线，交射线于点．设点的运动时间为，与重合部分图形面积为．
（1）请直接写出的长；
（2）求的正切值；
（3）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
29．（2024 和平区校级模拟）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图①，当为中点时，是 三角形．
（2）迁移探究：
如图②，若，且，求正方形的边长．
（3）拓展应用：
如图③，若，直接写出的值为 ．
30．（2023 永川区一模）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
（1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度；
（2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
（3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
31．（2024 沈阳模拟）【问题初探】
（1）李老师在数学课上提出了一个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，其中，，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，当时，试用含，的代数式表示的长度．
“乘风破浪”小组的思路是：如图2，利用旋转变换构造特殊角的思路，延长至，使，连接，相当于将绕点顺时针方向旋转至的位置，可得，从而得到，把问题转化成探索线段与的数量关系，请写出完整的解题过程；
【类比分析】
（2）李老师总结了“乘风破浪”小组的解法是运用了转化的数学思想，将分离的普通角拼成了我们熟悉的特殊角，为了让学生进一步体会这一思想方法，李老师又提出了一个问题，请你解答：
如图3，在等边中，，点是的中点，是边上一动点，连接，作，交边于点，当时，求的长；
【拓展应用】
（3）最后，李老师留了一道作业题，编制一道利用此种数学思想方法解决问题的题目，“披荆斩棘”小组编制的题目如下，请你解答：
如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标是，是轴上的一动点，将绕点逆时针方向旋转并延长至二倍得到线段，当时，求点的横坐标．
32．（2024 广平县模拟）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
一、选择题（共12小题）
1．【答案】
【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点作于点，
在边长为2的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图，延长交于点，
根据折叠的性质可得，，，
为等腰三角形，，，
，
，
，
，故选项正确，符合题意；
当点为的中点时，
，
，
只有当为中点时，才有，故选项错误，不符合题意；
在中，当，，且点为中点时，
，，
，
，故选项错误，不符合题意；
此时，，
，
，故选项错误，不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图，连接，
，，
，
点是中点，
，
将绕着中点旋转一定角度，得到，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，
，
，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：如图，延长，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
，，
，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，（舍去），
，，，
，
，
，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
将矩形片沿折叠，使点与点重合，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得，
即，故②正确；
过点作于点，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故③正确；
，
，
在和中，
，
，
，
故④正确；
故选：．
7．【答案】
【解答】解：矩形的边．，
，，，
，
，
，
△，
，
将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，
，，
，
（负值舍去），
，
连接，设与交于，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
由折叠知，，，
，
，
，
解得，
，，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：令与轴的交点为，
由旋转可知，
，，
又因为，
所以，
则
在中，
，
所以点的坐标为．
按此方式再继续旋转3次，
则点在的延长线上，且，
即点与点关于坐标原点对称，
所以点的坐标为．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：因为射线平分第一象限，且，
则有．
故第一次旋转后对应点落在轴上，坐标为，，
第二次旋转后的对应点与点关于轴对称，坐标为，
第三次旋转后的对应点落在轴上，坐标为，
依次类推：第四次，第五次，，第六次，第七次，第八次
发现第八次旋转后的对应点与点重合．
则余7，
所以第2023次旋转后的对应点与第七次旋转后的对应点相同，即坐标为．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，则，，
点是中点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：，，
，
，
于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
由折叠得，
如图1，点为的中点，则，
，
，
故①正确；
如图2，点为的三等分点，且，则，
，
；
如图3，点为的三等分点，且，则，
，
，
或，
故②错误；
如图4，，则，
，
，
，
，
故③正确，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：如图，连接、交于点，
由折叠的性质可得，，，，
是等边三角形，
，
，
．
，，，
，
，，，
．
故选：．
二、填空题（共12小题）
13．【答案】．
【解答】解：是等边三角形，
，
由折叠得，，，
，
△，
，
，
设，，，则，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，
，
，
的边长是，
故答案为：．
14．
【解答】解：由翻折得，，分三种情况：
①当点在边上，且（即时，
，
由勾股定理得，，
即，
，
，
；
②当点在的延长线上，且（即时，同理得，
，
；
③当点在的延长线上，且（即时，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
，
，此时点不在边上，不符合题意，舍去，
综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为或．
故答案为：或．
15．【答案】14．
【解答】解：，是的中点，，
，，，
将绕点逆时针旋转得，
，，，
，
，
故答案为：14．
16．【答案】．
【解答】解：过作于，
由旋转的性质得到：，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．【答案】①②③④．
【解答】解：四边形是矩形，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，故①正确；
当点和点互相重合时，如图：
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
是中点，，
，
，
，
，故②正确；
如图：
是等腰直角三角形，是的中点，
，，
，
，
，，，共圆，
，
，
，
平分，故③正确；
当与重合时，最短，如图：
此时与都在上，
是等腰直角三角形，是中点，
是等腰直角三角形，
，
最小为，
当与重合时，最大，过作于，如图：
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得（舍去）或，
，
，
最大为，
，故④正确；
正确的有4个，
故选：．
18．【答案】2．
【解答】解：如图，连接，
为等边三角形，，，
，，，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
当时，值最小，
此时，，，
，
故答案为：2．
19．【答案】．
【解答】解：连接，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
当取得最小值时，取得最小值，
在平行四边形中，，，
，
，，，
，，
点为线段的中点，
，
根据折叠可知，
点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，
当点运动到线段上时，此时取得最小值，最小值为，
过点作于点，如图所示：
则，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
20．【答案】、、．
【解答】解：由题意可知，点在以为圆心，为半径的圆上运动．
如图：延长与交于，连接．
，
又，
△为等边三角形，
．
在中，，，
．
，
当在直线上时符合题意，
，．
连接，
，，
四边形为平行四边形．
，
即：运动到时符合题意．
．
记中点为，以为圆心，为半径作．
，
与相离，
．
故答案为：、、．
21．【答案】．
【解答】解：如图，作于，连接延长交于，作于．
，，
，
，
，
，，
，
，
定值，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
，，
，
，
，，，
，
，
的最小值为，
故答案为．
22．【解答】解：如图所示：取，连接．
，是的中点，
．
由翻折的性质可知．
，，，
．
．
又，
，
，
．
．
的最小值为．
故答案为：．
23．【答案】的值为3或或．
【解答】解：如图1中，当时，
由翻折的性质可知，，
．
如图2中，当时，设，则．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，则有，
解得或（舍弃）．
如图3中，当时，过点作于．设，则，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为3或或．
24．
【解答】解：如图1中，当时．
易知，作于．则，
在中，，，，
，，
，
，
在中，，，
．
如图2中，当时，易证点与点重合，此时，，，
综上所述，的长为或．
故答案为或．
三、解答题（共8小题）
25．【答案】（1）；
（2）①，②的长为或．
【解答】解：（1）在中，，，
，
．
由折叠知，
．
如图1，过点作于点，
，
；
（2）①如图2，
由折叠知，
．
，
．
又，，
，
，
，
；
②如图3，当点在边上时，
设，则，，，
，
．
如图4，当点在边上时，
设，则，，，
，
．
综上所述，的长为或．
26．
【解答】解：（1）．
连接，
把正方形对折，
为的中点，
，
沿过点与点所在的直线折叠，点落在点处，
，，，
，
，
，
；
（2）猜想：．
理由：四边形是正方形，
，，
由折叠性质可得：，．
，
是等边三角形，
；
（3）解：连接、，
由（2）得是等边三角形，
，，
，
，
又，
，，
，．
由对称性质得：，，
，
是等边三角形，
在△ 与△中，
，
△△，
，
又，
．
27．【答案】（1）；
（2）．
（3）．
【解答】解：（1），，
是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）．
证明：如图②，过点作于点．
，，
，．
．
由勾股定理，得，
．
，
同理，
，，
，
．
，，
．
．
，
即．
（3）当时，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
，
，
，
．
28．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）在中，，，，
则；
（2）如图1，过点作于点，
设，
平分，，，
，，
，
，
解得：，即，
；
（3）如图2，当时，，，
，，
；
当时，，
，，
，
，即，
解得：，
．
．
29．【答案】（1）等边；
（2）正方形的边长为；
（3）．
【解答】解：（1）四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
为的中点，，
为的中点，，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边；
（2）四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
（3）设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
30．【答案】（1）；
（2）见解析过程；
（3）．
【解答】（1）解：，，
，
，，
，
点为中点，
，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
；
（2）证明：如图2，过点作交于点，
，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，
如图4，
，，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
折叠，
，
，
，，
，
，
，
，
．
31．【答案】（1）的长为；
（2）的长为1；
（3）点的横坐标为或．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
，，，
轴，过点作轴，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
；
的长为；
（2）过作于，过作于，如图：
为中点，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为1；
（3）延长交轴于，过作于，过作轴于，
当在原点右方时，如图：
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
解得，，
，
，
，
，
，
，
，
点的横坐标为；
当在原点左方时，如图：
同理可得点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
32．
【解答】解：（1）与位置关系是垂直；
证明如下：
，，
．
由正方形得，
，
，
，
．
．
．
．
（2）时，的结论成立．
理由是：
过点作交于点，
，
，
，
同理可证：
，，
即．
（3）过点作交的延长线于点，
①点在线段上运动时，
，可求出．
，，
，
，
．
②点在线段延长线上运动时，
，
，
．
过作，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
