人教B版(2019)数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
一、单选题
1.已知a→=(2,﹣3,1),b→=(4,﹣6,x),若a→⊥b→,则x等于( )
A.10 B.-10 C.2 D.-26
2.设定点A、B、C、D是以O为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ(B)=C 的旋转,用τ表示空间关于OCD所在平面的镜面反射,设l为过AB中点与CD中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设σ○τ表示变换的复合,先作τ,再作σ.则ω可以表示为( )
A.σ○τ○σ○τ○σ B.σ○τ○σ○τ○σ○τ
C.τ○σ○τ○σ○τ D.σ○τ○σ○σ○τ○σ
3.a→=1,b→=2.c→=a→+b→且c→⊥a→,则向量a→与b→的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.四面体P﹣ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
5.若直线 l 的一个方向向量 a=(2,2, 2) ,平面 α 的一个法向量为 b=(1,1, 1) ,则( )
A.l⊥α B.l//α
C.l α D.A、C 都有可能
6.在空间直角坐标系中,A,B,C三点到坐标分别为A(2,1,﹣1),B(3,4,λ),C(2,7,1),若 AB⊥CB ,则λ=( )
A.3 B.1 C.±3 D.﹣3
7.已知平面 α 的法向量为 n=( 2, 2,1) ,点 A(x,3,0) 在平面 α 内,则点 P( 2,1,4) 到平面 α 的距离为 103 ,则 x =( )
A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21
8.已知 a =(2,﹣3,1), b =(2,0,3), c =(0,1,﹣2),则 a +4 b ﹣3 c 等于( )
A.(4,﹣4,6) B.(﹣6,﹣6,﹣5)
C.(10,0,7) D.(10,﹣6,19)
9.已知空间向量 a=(1,n,2) , b=( 2,1,2) ,若 2a b 与 b 垂直,则 |a| 等于( )
A.532 B.212 C.372 D.352
10.已知向量a→=(2﹣x,x+1,1),b→=(2,4,k),若a→与b→共线,则( )
A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=4
二、填空题
11.已知 a=(1,1,0) , b=(0,1,1) , c=(1,0,1) , p=a b , q=a+2b c ,则 p q= .
12.在△ABC中,已知 BA =(2,4,0), BC =(﹣1,3,0),则∠ABC= .
13.在边长为1的正方形ABCD中,向量 DE=12DC,BF=13BC ,则向量 AE,AF 的夹角为 .
14.已知空间三点O(0,0,0),A(﹣1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 .
15.已知向量a→=(2X,1,3),向量b→=(1,-2Y,9),若a→与b→共线,则x= ,y=
三、解答题
16.在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,﹣2)、B(2,3)、C(﹣2,﹣1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足( AB tOC ) OC =0,求t的值.
17.已知向量a→,b→,c→分别平行于x轴,y轴,z轴,他们的坐标各有什么特点?
18.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面对角线AC,BD交于点O, AB=DC且AC·(DC BC)=0 ,又知OA=4,OB=3,OP=4,OP⊥底面ABCD,设点M满足 PM =λ MC (λ>0).
(1)当λ= 12 时,求直线PA与平面BDM所成角的正弦值;
(2)问线段PC上是否存在这样的点M,使二面角M﹣AB﹣C的大小为 π4 ,若存在求出λ的值;若不存在,请说明理由.
人教B版(2019)数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一.选择题
1.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解:∵a→⊥b→,
则a→ b→=0,
即8+18+x=0,
解得:x=﹣26,
故选:D.
2.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解:在如图所示的正四面体ABCD中,
∵σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ(B)=C 的旋转,
∴σ(C)=D,σ(D)=B,σ(A)=A,
又∵τ表示空间关于OCD所在平面的镜面反射,
∴τ(A)=B,τ(B)=A,τ(C)=C,τ(D)=D
ω表示空间以l 为轴的180°旋转,则ω变换后:ω(B)=A,
A中,σ○τ○σ○τ○σ(B)=σ○τ○σ○τ(C)=σ○τ○σ(c)=σ○τ(D)=σ(D)=B,不满足要求;
B中,σ○τ○σ○τ○σ○τ(B)=σ○τ○σ○τ○σ(A)=σ○τ○σ○τ(A)=σ○τ○σ(B)=σ○τ(C)=σ(C)=D,不满足要求;
C中,τ○σ○τ○σ○τ(B)=τ○σ○τ○σ(A)=τ○σ○τ(A)=τ○σ(B)=τ(C)=C,不满足要求;
D中,σ○τ○σ○σ○τ○σ(B)=σ○τ○σ○σ○τ(C)=σ○τ○σ○σ(C)=σ○τ○σ(D)=σ○τ(B)=σ(A)=A,满足要求;
故选:D.
3.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】根据已知条件,要求解夹角,先求数量积以及各自的模,然后比值得到结论。
由于,则可知
那么可知向量与的夹角120°,
故选C.
4.【考点】棱锥的结构特征
【解答】解:设P在平面ABC射影为O,
∵PA=PB=PC,PO=PO=PO,(公用边),∠POA=∠POB=∠POC=90°,
∴△POA≌△POB≌△POC,
∴OA=OB=OC,
∴O是三角形ABC的外心.
故选:B.
5.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直;向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解答】∵直线 l 的一个方向向量 a=(2,2, 2) ,平面 α 的一个法向量为 b=(1,1, 1)
又 a=2b
∴ l⊥α
故A符合题意.
故答案为:A .
6.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解:∵A(2,1,﹣1),B(3,4,λ),C(2,7,1),
∴AB =(1,3,λ+1),
CB =(1,﹣3,λ﹣1),
又 AB⊥CB ,
∴AB CB =0,
即1×1+3×(﹣3)+(λ+1)(λ﹣1)=0,
解得λ=±3.
故选:C.
7.【考点】空间向量运算的坐标表示;点、线、面间的距离计算
【解答】 PA=(x+2,2, 4) ,而 d=|PA n||n|=103 ,
即 | 2(x+2) 4 4|4+4+1=103 ,解得 x= 1 或-11.
故答案为:C
8.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解: a +4 b ﹣3 c =(2,﹣3,1)+(8,0,12)﹣(0,3,﹣6)=(10,﹣6,19).
故选:D.
9.【考点】向量的模;空间向量的数量积运算;空间向量运算的坐标表示
【解答】∵a =(1,n,2), b =(﹣2,1,2),
∴2 a ﹣ b =(4,2n﹣1,2),
∵2 a ﹣ b 与 b 垂直,
∴(2 a ﹣ b ) b =0,
∴﹣8+2n﹣1+4=0,
解得,n= 52 ,
∴a =(1, 52 ,2)
∴| a |= 1+254+4 = 352 .
故D符合题意.
故答案为:D .
10.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解:∵a→与b→共线,
∴a→=λb→,
∴,
∴k=2,
故选C.
二.填空题
11.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】依题意 p=a b=(1,0, 1),q=(0,3,1) ,所以 p q=0+0 1= 1 .
故答案为: 1
12.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解:∵cos∠ABC= = = 22 ,
∠ABC∈(0,π),
∴∠ABC= π4 .
故答案为: π4 .
13.【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,
∵边长AB=1,向量 DE=12DC,BF=13BC ,
∴A(0,0),E( 12 ,1),F(1, 13 );
∴AE =( 12 ,1), AF =(1, 13 ),
AE AF = 12 ×1+1× 13 = 56 ,
| AE |= (12)2+12 = 52 ,
| AF |= 12+(13)2 = 103 ;
∴cos< AE , AF >= AE AF|AE|×|AF| = 5652×103 = 22 ,
∴向量 AE,AF 的夹角为 π4 .
故答案为: π4 .
14.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解:设H点的坐标为(x,y,z)
则∵O(0,0,0),A(﹣1,1,0),B(0,1,1),
∴OA =(﹣1,1,0), OH =(x,y,z),
∵点H在直线OA上,则 OH ∥ OA ,即
存在λ∈[0,1],使 OH =λ OA
即(x,y,z)=λ(﹣1,1,0)=(﹣λ,λ,0)
∴BH =(﹣λ,λ﹣1,﹣1),又∵BH⊥OA,即 BH OA =0
即λ+λ﹣1=0,解得λ= 12
∴点H的坐标为(﹣ 12 , 12 ,0)
故答案为:(﹣ 12 , 12 ,0).
15.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解:∵a→与b→共线,
∴存在实数λ使得:b→=λa→,
∴,解得x=﹣16,y=﹣32.
故答案为:﹣16,﹣32.
三.解答题
16.【考点】平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用
【解答】(1)解:(方法一)由题设知 AB=(3,5),AC=( 1,1) ,则 AB+AC=(2,6),AB AC=(4,4) .
所以 |AB+AC|=210,|AB AC|=42 .
故所求的两条对角线的长分别为 42 、 210 .
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
故所求的两条对角线的长分别为BC= 42 、AD= 210
(2)解:由题设知: OC =(﹣2,﹣1), AB tOC=(3+2t,5+t) .
由( AB tOC ) OC =0,得:(3+2t,5+t) (﹣2,﹣1)=0,
从而5t=﹣11,所以 t= 115 .
或者: AB OC=tOC2 , AB=(3,5) , t=AB OC|OC|2= 115
17.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解:向量a→,b→,c→分别平行于x轴,y轴,z轴,
所以向量a→的横坐标不为0,横坐标为0,竖坐标为0;
向量b→的横坐标为0,横坐标不为0,竖坐标为0;
向量c→的横坐标为0,横坐标为0,竖坐标不为0;
18.【考点】平面向量数量积的运算;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法
【解答】(1)解:解:∵AB=DC且AC·(DC BC)=0 ,所以底面ABCD为菱形.
以O为坐标原点,建立坐标系O﹣ABP,则A(4,0,0),B(0,3,0),C(﹣4,0,0),D(0,﹣3,0),P(0,0,4),所以 PA =(4,0,﹣4), DB =(0,6,0), AB =(﹣4,3,0).
当 λ=12 时,得M(﹣ 43 ,0, 83 ),
所以 MB =( 43 ,3,﹣ 83 ),
设平面BDM的法向量 n =(x,y,z),则 6y=043x+3y83z=0 ,得y=0,
令x=2,则z=1,所以平面BDM的一个法向量 n =(2,0,0),
所以cos< PA , n >= 1010 ,即直线PA与平面BDM所成角的正弦值 1010
(2)解:易知平面ABC的一个法向量 n1 =(0,0,1).
设M(a,0,b),代入 PM =λ MC ,得(a,0,b﹣4)=λ(﹣4﹣a,0,﹣b),
解得a=﹣ 4λ1+λ ,b= 41+λ ,即M(﹣ 4λ1+λ ,0, 41+λ ),
所以 MB =( 4λ1+λ ,3,﹣ 41+λ ),
设平面ABM的法向量 n2 =(x,y,z),则 4x+3y=04λ1+λx+3y41+λz=0 ,
消去y,得(2λ+1)x=z,
令x=1,则z=2λ+1,y= 43 ,
所以平面ABM的一个法向量 n2 =(1, 43 ,2λ+1),
所以 22=|2λ+11+169+(2λ+1)2| ,解得 λ=13 或﹣ 43 ,因为λ>0,所以 λ=13