人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
一、单选题
1．已知a→=（2，﹣3，1），b→=（4，﹣6，x），若a→⊥b→，则x等于（ ）
A．10 B．-10 C．2 D．-26
2．设定点A、B、C、D是以O为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ（B）=C 的旋转，用τ表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设σ○τ表示变换的复合，先作τ，再作σ．则ω可以表示为（ ）
A．σ○τ○σ○τ○σ B．σ○τ○σ○τ○σ○τ
C．τ○σ○τ○σ○τ D．σ○τ○σ○σ○τ○σ
3．a→=1,b→=2.c→=a→+b→且c→⊥a→，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．四面体P﹣ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
5．若直线 l 的一个方向向量 a=(2,2, 2) ，平面 α 的一个法向量为 b=(1,1, 1) ，则（ ）
A．l⊥α B．l//α
C．l α D．A、C 都有可能
6．在空间直角坐标系中，A，B，C三点到坐标分别为A（2，1，﹣1），B（3，4，λ），C（2，7，1），若 AB⊥CB ，则λ=（ ）
A．3 B．1 C．±3 D．﹣3
7．已知平面 α 的法向量为 n=( 2, 2,1) ，点 A(x,3,0) 在平面 α 内，则点 P( 2,1,4) 到平面 α 的距离为 103 ，则 x ＝（ ）
A．－1 B．－11 C．－1或－11 D．－21
8．已知 a =（2，﹣3，1）， b =（2，0，3）， c =（0，1，﹣2），则 a +4 b ﹣3 c 等于（ ）
A．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5）
C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）
9．已知空间向量 a=(1,n,2) ， b=( 2,1,2) ，若 2a b 与 b 垂直，则 |a| 等于（ ）
A．532 B．212 C．372 D．352
10．已知向量a→=（2﹣x，x+1，1），b→=（2，4，k），若a→与b→共线，则（ ）
A．k=0 B．k=1 C．k=2 D．k=4
二、填空题
11．已知 a=(1,1,0) ， b=(0,1,1) ， c=(1,0,1) ， p=a b ， q=a+2b c ，则 p q= .
12．在△ABC中，已知 BA =（2，4，0）， BC =（﹣1，3，0），则∠ABC= ．
13．在边长为1的正方形ABCD中，向量 DE=12DC,BF=13BC ，则向量 AE,AF 的夹角为 ．
14．已知空间三点O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 ．
15．已知向量a→=(2X,1,3)，向量b→=(1,-2Y,9)，若a→与b→共线，则x= ，y=
三、解答题
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（ AB tOC ） OC =0，求t的值．
17．已知向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，他们的坐标各有什么特点？
18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面对角线AC，BD交于点O， AB=DC且AC·(DC BC)=0 ，又知OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足 PM =λ MC （λ＞0）．
（1）当λ= 12 时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）问线段PC上是否存在这样的点M，使二面角M﹣AB﹣C的大小为 π4 ，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵a→⊥b→，
则a→ b→=0，
即8+18+x=0，
解得：x=﹣26，
故选：D．
2.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：在如图所示的正四面体ABCD中，
∵σ表示空间以直线OA为轴满足条件σ（B）=C 的旋转，
∴σ（C）=D，σ（D）=B，σ（A）=A，
又∵τ表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，
∴τ（A）=B，τ（B）=A，τ（C）=C，τ（D）=D
ω表示空间以l 为轴的180°旋转，则ω变换后：ω（B）=A，
A中，σ○τ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○τ（C）=σ○τ○σ（c）=σ○τ（D）=σ（D）=B，不满足要求；
B中，σ○τ○σ○τ○σ○τ（B）=σ○τ○σ○τ○σ（A）=σ○τ○σ○τ（A）=σ○τ○σ（B）=σ○τ（C）=σ（C）=D，不满足要求；
C中，τ○σ○τ○σ○τ（B）=τ○σ○τ○σ（A）=τ○σ○τ（A）=τ○σ（B）=τ（C）=C，不满足要求；
D中，σ○τ○σ○σ○τ○σ（B）=σ○τ○σ○σ○τ（C）=σ○τ○σ○σ（C）=σ○τ○σ（D）=σ○τ（B）=σ（A）=A，满足要求；
故选：D．
3.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】根据已知条件，要求解夹角，先求数量积以及各自的模，然后比值得到结论。
由于，则可知
那么可知向量与的夹角120°，
故选C.
4.【考点】棱锥的结构特征
【解答】解：设P在平面ABC射影为O，
∵PA=PB=PC，PO=PO=PO，（公用边），∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴△POA≌△POB≌△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O是三角形ABC的外心．
故选：B．
5.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解答】∵直线 l 的一个方向向量 a=(2,2, 2) ，平面 α 的一个法向量为 b=(1,1, 1)
又 a=2b
∴ l⊥α
故A符合题意.
故答案为：A .
6.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵A（2，1，﹣1），B（3，4，λ），C（2，7，1），
∴AB =（1，3，λ+1），
CB =（1，﹣3，λ﹣1），
又 AB⊥CB ，
∴AB CB =0，
即1×1+3×（﹣3）+（λ+1）（λ﹣1）=0，
解得λ=±3．
故选：C．
7.【考点】空间向量运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解答】 PA=(x+2,2, 4) ，而 d=|PA n||n|=103 ，
即 | 2(x+2) 4 4|4+4+1=103 ，解得 x= 1 或－11.
故答案为：C
8.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解： a +4 b ﹣3 c =（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）=（10，﹣6，19）．
故选：D．
9.【考点】向量的模；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解答】∵a =（1，n，2）， b =（﹣2，1，2），
∴2 a ﹣ b =（4，2n﹣1，2），
∵2 a ﹣ b 与 b 垂直，
∴（2 a ﹣ b ） b =0，
∴﹣8+2n﹣1+4=0，
解得，n= 52 ，
∴a =（1， 52 ，2）
∴| a |= 1+254+4 = 352 ．
故D符合题意．
故答案为：D .
10.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵a→与b→共线，
∴a→=λb→，
∴，
∴k=2，
故选C．
二．填空题
11.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】依题意 p=a b=(1,0, 1),q=(0,3,1) ，所以 p q=0+0 1= 1 .
故答案为： 1
12.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】解：∵cos∠ABC= = = 22 ，
∠ABC∈（0，π），
∴∠ABC= π4 ．
故答案为： π4 ．
13.【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
∵边长AB=1，向量 DE=12DC,BF=13BC ，
∴A（0，0），E（ 12 ，1），F（1， 13 ）；
∴AE =（ 12 ，1）， AF =（1， 13 ），
AE AF = 12 ×1+1× 13 = 56 ，
| AE |= (12)2+12 = 52 ，
| AF |= 12+(13)2 = 103 ；
∴cos＜ AE ， AF ＞= AE AF|AE|×|AF| = 5652×103 = 22 ，
∴向量 AE,AF 的夹角为 π4 ．
故答案为： π4 ．
14.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：设H点的坐标为（x，y，z）
则∵O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），
∴OA =（﹣1，1，0）， OH =（x，y，z），
∵点H在直线OA上，则 OH ∥ OA ，即
存在λ∈[0，1]，使 OH =λ OA
即（x，y，z）=λ（﹣1，1，0）=（﹣λ，λ，0）
∴BH =（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又∵BH⊥OA，即 BH OA =0
即λ+λ﹣1=0，解得λ= 12
∴点H的坐标为（﹣ 12 ， 12 ，0）
故答案为：（﹣ 12 ， 12 ，0）．
15.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵a→与b→共线，
∴存在实数λ使得：b→=λa→，
∴，解得x=﹣16，y=﹣32．
故答案为：﹣16，﹣32．
三．解答题
16.【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用
【解答】（1）解：（方法一）由题设知 AB=(3，5)，AC=( 1，1) ，则 AB+AC=(2，6)，AB AC=(4，4) ．
所以 |AB+AC|=210，|AB AC|=42 ．
故所求的两条对角线的长分别为 42 、 210 ．
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC= 42 、AD= 210
（2）解：由题设知： OC =（﹣2，﹣1）， AB tOC=(3+2t，5+t) ．
由（ AB tOC ） OC =0，得：（3+2t，5+t） （﹣2，﹣1）=0，
从而5t=﹣11，所以 t= 115 ．
或者： AB OC=tOC2 ， AB=(3，5) ， t=AB OC|OC|2= 115
17.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，
所以向量a→的横坐标不为0，横坐标为0，竖坐标为0；
向量b→的横坐标为0，横坐标不为0，竖坐标为0；
向量c→的横坐标为0，横坐标为0，竖坐标不为0；
18.【考点】平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解答】（1）解：解：∵AB=DC且AC·(DC BC)=0 ，所以底面ABCD为菱形．
以O为坐标原点，建立坐标系O﹣ABP，则A（4，0，0），B（0，3，0），C（﹣4，0，0），D（0，﹣3，0），P（0，0，4），所以 PA =（4，0，﹣4）， DB =（0，6，0）， AB =（﹣4，3，0）．
当 λ=12 时，得M（﹣ 43 ，0， 83 ），
所以 MB =（ 43 ，3，﹣ 83 ），
设平面BDM的法向量 n =（x，y，z），则 6y=043x+3y83z=0 ，得y=0，
令x=2，则z=1，所以平面BDM的一个法向量 n =（2，0，0），
所以cos＜ PA ， n ＞= 1010 ，即直线PA与平面BDM所成角的正弦值 1010
（2）解：易知平面ABC的一个法向量 n1 =（0，0，1）．
设M（a，0，b），代入 PM =λ MC ，得（a，0，b﹣4）=λ（﹣4﹣a，0，﹣b），
解得a=﹣ 4λ1+λ ，b= 41+λ ，即M（﹣ 4λ1+λ ，0， 41+λ ），
所以 MB =（ 4λ1+λ ，3，﹣ 41+λ ），
设平面ABM的法向量 n2 =（x，y，z），则 4x+3y=04λ1+λx+3y41+λz=0 ，
消去y，得（2λ+1）x=z，
令x=1，则z=2λ+1，y= 43 ，
所以平面ABM的一个法向量 n2 =（1， 43 ，2λ+1），
所以 22=|2λ+11+169+(2λ+1)2| ，解得 λ=13 或﹣ 43 ，因为λ＞0，所以 λ=13
