2023-2024学年高二下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（1）
【人教A版（2019）】
（2023上·江西·高三统考开学考试）
1．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上仅一个零点，求的取值范围.
（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）
2．已知函数，．
(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
（2023·全国·高三专题练习）
3．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.
(1)确定，的值；
(2)若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.
（2023·全国·模拟预测）
4．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，且，求证：．
（2023·湖南郴州·统考三模）
5．已知函数.
(1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数和有公切线，求实数的取值范围.
（2023·高二课时练习）
6．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
（2023·全国·高三专题练习）
7．已知函数f(x)＝ax＋lnx＋1(a∈R)，.
(1)若y＝g(x)的图象在x＝0处的切线l与y＝f(x)的图象相切，求实数a的值；
(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
（2023下·北京·高二北京四中校考期中）
8．已知函数.
(1)求函数在区间上的平均变化率；
(2)设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；
(3)求过点且与曲线相切的直线方程.
（2023·高二课时练习）
9．对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
（2024·广东茂名·统考一模）
10．若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
（2023上·浙江湖州·高三湖州市第二中学校考期中）
11．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(2)设，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
（2022上·山东临沂·高三校考期中）
12．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
(3)若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过理．
（2023下·全国·高三校联考阶段练习）
13．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围．
（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）
14．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．
（2023·四川成都·统考一模）
15．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）
17．已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)当时，讨论函数的极值点个数.
（2023上·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）
18．函数的最小值为.
(1)判断与2的大小，并说明理由：
(2)求函数的最大值.
（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）
19．已知函数.
(1)若在上为单调减函数，求实数的取值范围；
(2)若，记的两个极值点为，记的最大值与最小值分别为，，求的值.
（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）
20．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间和最值；
(2)证明：函数有且只有一个极值点；
(3)当时，证明：．
（2023上·河南驻马店·高三统考期末）
21．已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设，是的两个零点，，证明：.
（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）
22．设函数，．
(1)若函数在点处的切线方程为，求a，b；
(2)若方程有两个不同的实数根，求b的取值范围．
（2023上·宁夏石嘴山·高三校考期中）
23．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程
(2)若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围
（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）
24．已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2).
【分析】（1）由得到，利用导数的几何意义求解；
（2）将问题转化为在上仅有一个实数解，设，求导，分，， 讨论求解.
【详解】（1）解：当时，，所以，即切点为，
又，则，
故曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意知，方程在上仅有一个实数解，
则方程在上仅有一个实数解.
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以时，则在上没有零点；
当时，时，，则，所以在上单调递减，
又，所以，则在上没有零点；
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以在上无零点.
设，则，所以，
则，所以.
设，则，
令，则，
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
所以在上单调递增，
又，所以，则，所以，则，
又，则，
又在上单调递减，且，
所以在上有且仅有一个零点.
综上可知，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：在上仅一个零点，即方程在上仅有一个实数解，构造函数，求导，分， ，讨论函数的图象在上与x轴有唯一的交点而得解.
2．(1)或；
(2).
【分析】（1）设切点，求出.然后根据导数的几何意义推得.根据已知可得出，求解即可得出答案；
（2）先证明当时，有.然后可推得，进而可得出所以当时，成立.然后验证时，当时，有，即可得出答案.
【详解】（1）设切点，由，求导得，
根据导数的几何意义，得，
化简可得，，依题意方程仅只一个实根，
于是，解得或，
所以当或时，过点P作曲线的切线有且仅有一条．
（2）设，，则恒成立，
于是在上单调递增，则，即，
因此当时，恒有成立，
则有，
当且仅当时等号成立，
令，，则恒成立，
即在上单调递增，又，，
根据零点存在定理可得，，使得，
于是在上恒成立，
所以当时，，即成立；
当时，存在满足，即，
此时，，不合题意，
综上，a的取值范围是．
【点睛】思路点睛：先证明，进而得出，即可得出时，恒成立.然后说明，不成立即可.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据切线方程可知，进而求出
（2）先设出切点，再写出切线的方程，利用切线过得到关于的方程，从而将切线的个数问题转化成有3个零点问题，从而得解
【详解】（1）解：，
（2）解：设切点为，则
则切线方程为
即：
∵点在切线上，
整理得：
令
则题目问题可转化为有3个不同零点即可
令=0
解得：或
由得或，函数在或上递增
由得，函数在上递减
，
，使得
∴结合的单调性及图像（如下图）易知：只要即可
即
解得：
所以的取值范围为
【点睛】本题解题的关键是把切线个数问题转化为函数的零点个数问题，要熟悉三次函数的图像，结合图像即可解决问题．
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）首先求出在处的切线方程，由此可构造函数，利用导数判断其单调性，从而证明，再分别令，采用累加法即可证明结论.
【详解】（1）由可得，
所以在处的切线斜率，
且，故所求切线方程为．
（2）设在处的切线斜率为k，
由（1）得，
且，故在处的切线方程为，
设，则．
设，则．
因为，所以，仅在时取等号，故在上单调递增．
列表如下．
单调递减 极小值 单调递增
所以，即．
令，其中，且，
则有，，…，，
累加得，
即，
取，即得，
当时，显然满足题意，
综上可得.
【点睛】关键点睛：要证明不等式，可分析观察其结构特点，可猜想到累加法，但关键的一步在于能想到和切线相关的不等式，即，因此需要先求得在处的切线方程，继而构造函数，利用其单调性或最值证明该不等式即可.
5．(1)
(2)
【分析】（1）设，用导数法解即可；
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解.
【详解】（1）由题意，当时，设，
则，
，
令，得（舍负）
在上单调递减，在上单调递增，
.
根据题意的取值范围为.
（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，
则，
，代入
得.
问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，
.
问题转化为：的最小值小于或等于0.
，
设，则
当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
由知，
故.
设，
则，
故在上单调递增，
当时，，
的最小值等价于.
又函数在上单调递增，
.
【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解.
6．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).
【详解】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围.
解析：
(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)
7．(1)1；
(2)，.
【分析】(1)先求得切线的方程，再根据直线与的图象相切，设切点，，再利用P在l上及2＝即可求；
(2)由已知可得，转化为求，利用可求的实数的取值范围．
【详解】（1）由，得，，切点，
∴切线的方程为，
设与切于，，，切线斜率，
∴，解得，.
故a＝1；
（2）由得，即，
原问题转化为：，
令，x＞0，
则，
令，x＞0，显然在x＞0时单调递增，
又，，∴存在，使得，
即，则.
∴时，，单调递减，时，，单调递增，
∴.
∴，
∴，即实数的取值范围为，．
【点睛】本题关键点：观察表达式特征，利用进行放缩即可求最值.
8．(1)2
(2)1
(3)或
【分析】
（1）根据平均变化率公式，即可求解；
（2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解；
（3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2），，，
，，，
由题意可知，，得；
（3），设切点为，，
则曲线在点处的切线方程为，切线过点，
则，化简为，
即，则，
得或，
当时，切线方程为，
当时，切线方程为，
综上可知，切线方程为或.
9．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.
【详解】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐点”A为.
（2）证明：设，是图像上任意一点，则.
，是关于“拐点”的对称点为.
把点坐标代入得左边，
右边，∴左边＝右边.
∴点在的图像上.
∴关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.
10．(1)是上的“3类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】
（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，
，
综上所述，，，.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
11．(1)
(2)
【分析】
（1）由题意，对函数求导，根据导数与函数单调性的关系，结合零点定理，可得答案；
（2）对函数求导并分解因式，利用分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（2）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是含谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，，
由得，所以，
由得，所以，
所以当时，；当时，，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
12．(1)
(2)1
(3)2，证明见解析
【分析】
（1）由求出 和，得到和代入曲率公式再平方即可；
（2）由求出 和，代入曲率公式求出曲率，通过换元，构造函数，利用导数求最大值；
（3）求导数，通过分类讨论研究函数单调性和极值，判断零点个数.
【详解】（1）
，，，
所以，
.
（2）
，，，
所以，
，
令，则，，
设，则，
显然当时，，递减，所以．最大值为1，
所以的最大值为1．
（3）
在区间上有且仅有2个零点．
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
，在单调递增．
又，．在上有一个零点，
②设，则
当时，，单调递增，，
又，
恒成立，
在上无零点．
③当时，，，
∴在上单调递减，
又，．
在上必存在一个零点．
综上，在区间上有且仅有2个零点．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
13．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】
（1）利用导数求解函数单调性即可.
（2）将零点问题转化为交点问题求解即可.
【详解】（1）的定义域为．
当时，，
易知在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由有两个零点知，方程在上有两个不同的实数解，
当时，显然方程没有实数解，所以，
则方程在上有两个不同的实数解，
令，则，
显然在上为减函数，
又，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
又，当时，
要使方程在上有两个不同的实数解，则，
所以，故实数的取值范围为．
14．(1)
(2)
【分析】
（1）先求，然后将问题转化为“对恒成立”，然后通过分离参数结合函数的单调性求解出的取值范围；
（2）将问题转化为“对恒成立”，然后构造函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1）因为，
又在上单调递增，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立；
令，且在上单调递增，
所以，所以，
即的取值范围是；
（2）因为对恒成立，
所以对恒成立，
设，
所以，令，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，
当时，即，，所以在上单调递增，
所以，满足条件；
当时，即，，且时，，
所以在上有唯一零点，记为，
则，
即，单调递增，，单调递减，
故当时，，与题意矛盾，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
15．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）求导，然后分和讨论分别求单调性；
（2）当时，通过证明可得结论；当时，转化为证明，不等式两边分别构造函数，求出函数最值即可得结论.
【详解】（1）由已知，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，若，得，函数单调递增，
若，得，函数单调递减；
综上所述：当，函数在上单调递增，
当时，函数在单调递增，在单调递减；
（2）由，得，
即证，
①当时，设函数，
则，在上单调递增，
所以
所以成立；
②当时，要证成立，
即证
设函数，，
则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
设，
则，在上单调递减，
所以，即，
所以，
综上：成立.
【点睛】本题的关键点：找到中间量，通过证明，两边构造函数来证明.
16．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为
(2).
【分析】
（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性;
（2）由题可知，在时恒成立，则令，利用的单调性和最值，对，两种进行分类讨论，根据在时恒成立，求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
②当时，令，得；令，得.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）记，则.
令，则.
当时，恒成立，
故在上单调递增，，
①当时，在恒成立，即在上单调递增，
故符合题设；
②当时，必存在正数使，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，故，不合题设.
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，主要做法分两种：
一是直接对函数求导分析其增减性和最值来解决；
二是可以进行参数的分离，分离后对不等式另一边进行增减性和最值的分析，进行解决.
17．(1)有最小值，没有最大值.
(2)答案见解析
【分析】
（1）利用求导公式和导数的运算法则可得，根据函数的性质推出函数的性质，即可求解；
（2）对函数求导可得，利用导数讨论函数的性质可得，再次利用导数分类讨论函数当、时的性质，结合极值点与零点之间的关系即可求解.
【详解】（1）当时，，则.
令，则在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
即有最小值，没有最大值.
（2）因为，其中，所以.
令，则.因为，令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
设，其中，则.令，解得.
当时，，所以在上单调递增，所以.
所以当时，；当时，.
①当时，，即，也即，
所以在上单调递增，所以没有极值点.
②当时，在上单调递减.
设，则当时，，
所以，即当时，.
又在上单调递减，所以在上单调递减，且在上单调递减，
所以当时，，
所以在上没有零点，且.
又在上单调递减，所以在内存在唯一，使，
所以当时，；当时，，
也即当时，；当时，，
所以为的一个极大值点.
又在上单调递增，，
所以当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以1为的一个极小值点，所以当时，有2个极值点.
综合①②，当时，有2个极值点；当时，没有极值点.
【点睛】
在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）先利用导数研究函数的单调性求出最小值，其中满足；再由得；，求出；最后利用对勾函数的单调性即可求解.
（2）先利用导数研究函数的单调性求出最大值，其中满足；再由及（1）中，，得；最后由函数在上单调递增，得，代入，即可求出结果.
【详解】（1）.
理由如下：
由可得：函数定义域为；.
在上单调递增.
，
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
故.
；
，即.
因为函数在上单调递减，
，即
故.
（2）由，得：函数定义域为，，.
在上单调递减.
当时，；当时，.
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
故.
，即.
由（1）知：，
则.
令
函数在上单调递增，在上单调递增.
函数在上单调递增，
.
.
故函数的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于难题.解题关键在于：第
（1）问利用导数研究函数的单调性求出最小值，难点在于对变形得及，进而得出，之后利用对勾函数的单调性即可求解；第（2）问利用导数研究函数的单调性求出最大值，难点在于对变形得及结合（1）中，，得；最后构造函数并判断单调性，得，代入，即可求出结果.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）求得，根据题意转化为在恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（2）由（1）知是的两个根，得到，求得，化简得到，令，结合在上为减函数，求解在上为减函数，求得最大值与最小值，即可求解.
【详解】（1）
解：由函数，可得其定义域为，
且，
因为为单调减函数，所以对在恒成立，
即在恒成立，
当时，可得，当且仅当时取等号，所以，
即实数的取值范围为.
（2）
解：由（1）知是的两个根，可得，，不妨设，
则，
因为，所以t为关于的减函数，所以，
由
，
令，则，
因为当时，，可得，
所以在上为减函数，
所以当时，，
从而，所以在上为减函数，
所以，
所以当时，.
【点睛】方法策略：利用导数研究函数的极值（最值）及不等式的恒成立问题的求解策略：
1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；
2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；
3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调区间和最值即得；
（2）求出的导函数取通过讨论的三种不同范围，结合零点存在定理证明三种情况下函数有且只有一个零点，得到函有且只有一个极值点；
（3）设导函数的零点，由整理得出：从而，取，将分子整理成关于的一个二次函数形式，通过证明其对应方程判别式小于等于零得出分子大于等于零，得出，故得.
【详解】（1）由求导可得：
因故，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
所以函数的单调递增区间为，递减区间为，最小值为，无最大值.
（2）因，其定义域为，
取则，因故，则在上单调递增，
①当时，故函数在内有且仅有一个变号零点，
则此时，函数有且仅有一个极值点；
②当时，因因在上单调递增，故函数有且仅有一个变号零点，
则此时，函数有且仅有一个极值点；
③当时，，又因，，，即，
故函数在内有且仅有一个变号零点，则此时，函数有且仅有一个极值点；
综上所述，函数有且仅有一个极值点.
（3）由（2）可知，当时，函数有且仅有一个零点，设为，则
又由（2）函数有最小值为.
由可得：，即两边取自然对数得：，
故
于是
，不妨设则，故得，则，
对于函数，其对应方程的判别式，
设，则恒成立，
故函数在上单调递增，则，即，
从而，于是，
故有恒成立，故恒成立，所以
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点，导数的应用以及不等式恒成立问题.
第（2）题的关键在于，要找到的临界点进行分类讨论；
第（3）题的关键在于将不等式恒成立问题转化为函数的最小值问题.对于函数的零点问题，一般通过图像分析零点的情况，结合导数、函数的单调性等性质证明或求解.当证明恒成立问题时，常常转化为求的最小（大）值，通过证明最小(大)值为大于等于零（小于等于零）进行证明.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）分离参数得,构造函数判单调性即可求解；
（2）利用变量集中设，得，，证明即可.
【详解】（1）由且，可得.
设，，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，
所以要使的图象与直线有两个交点，则，
故的取值范围是.
（2）证明：，由（1）得，
则，.
设，则，
即，
.
设，则.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，
即，
所以的最小值为，，
所以，故.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究零点和证明不等式，第二问利用变量集中结合对数运算得，，转化为t的函数证明并进行隐零点代换是关键.
22．(1)
(2)
【分析】
（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）方程即为，设，利用导数求出函数的单调区间及最值，进而可得出答案.
【详解】（1），则切线的斜率为，
又，所以函数在点处的切线方程为，
即，所以，解得；
（2）方程即为，即，
设，
则“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”，
，
当时，恒成立，所以在上是增函数，至多有一个零点，不合题意；
当时，由得，
此时：若，则，单调递减；
若，则，单调递增，
所以，
由函数有两个零点得，解得，
当时，有，
因为，所以在内有一个零点．
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故．
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在内也有一个零点，
即当时，函数有两个零点，
所以实数的取值范围为．
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）根据曲线在某点处的切线方程求解步骤，通过导数求斜率，明确切点坐标，可得答案.
（2）整理新函数的解析式，通过导数明确其单调性并求出最小值，再结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）
函数，求导得，
令，得，则，，显然，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，，，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，.
令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
，即，则，
因此，
显然函数在上单调递增，函数值集合为，
从而函数在上的函数值集合为，
函数在上恰有两个不同的零点，则当且仅当，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
24．(1)证明见详解
(2)（i），（ii）证明见详解
【分析】（1）当时，利用导数可证明函数单调性；
（2）（i）方程有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，利用导数研究单调性，求出最值可得解；
（ii）要证，即证，又，，即证，可得，
令，即证，构造函数，利用导数可证明.
【详解】（1）当时，，，令，，
令，得，，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，
所以函数在上单调递减.
（2）（i）有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
令，，
，当时，，即函数在上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；
当时，，，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，函数有两个零点，则，解得，
又，，不妨设，，
所以实数的取值范围为.
（ii）要证，即证，
又，，，即证，
将，两式相减可得，，
只需证，
即证，令，即证；
设函数，，则，
所以函数在上单调递增，则，即，
所以原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问的第2小问是双变量不等式问题，利用导数解决的方法如下：
（1）变更主元法：对于题目涉及到的两个变元，，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于（或）的一元函数，利用导数判断单调性，最值求解证明.
（2）换元法转化为单变量：通过对所要证明式子结构特征的分析，做适当的变形，通过换元将双变量问题转化为单变量问题来解决，如指数型函数构造差值，对数型函数构造比值化双变量为单变量问题，从而构造函数求解；
（3）放缩法：通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对数，去倒数，切线放缩等.
答案第1页，共2页
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