高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册 第1章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 同步练习(含解析)

人教B版(2019)数学高中选择性必修第一册
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
一、单选题
1.已知正方体 ABCD EFGH (如图),则(  )
A.直线CF与GD所成的角与向量所成的角 相等
B.向量 FD→ 是平面ACH的法向量
C.直线CE与平面ACH所成角的正弦值与 cos 的平方和等于1
D.二面角 A FH C 的余弦值等于 12
2.若a→=(x,2,0),b→=(3,2-x,x2),且a→与b→的夹角为钝角,则x的取值范围是(  )
A.x<﹣4 B.﹣4<x<0 C.0<x<4 D.x>4
3.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点,则 EF 与 A1D 所成角的大小为(  )
A.60 B.90 C.45 D.75
4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1、AD的中点.那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 (  ).
A.23 B.105 C.45 D.155
5.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是(  )
A.1 B.2 C.2 12 D.2+12
6.过点 ( 1,0) ,且与直线 x+15=y+1 3 有相同方向向量的直线的方程为(  )
A.3x+5y 3=0 B.3x+5y+3=0 C.3x+5y 1=0 D.5x 3y+5=0
7.下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的是(  )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
8.如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,棱AB,BC,BB1两两垂直且长度相等,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与B1C所成的角为θ,则θ的取值范围是(  )
A.π3≤θ≤π2 B.0<θ≤π2
C.π3≤θ<π2 D.0<θ≤π3
9.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AC⊥BC , AC=BC=AA1=2 ,点Q为 A1B 的中点,若动点P在直线 B1C1 上运动时,异面直线AB与PQ所成角的最小值为(  )
A.30° B.45° C.60° D.无法确定
10.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是(  )
A.AD1 B1C B.BD1 AC
C.AB AD1 D.BD1 BC
二、填空题
11.经过点P(3,2)且以d→=(1,﹣2)为方向向量的直线l的点方向式为   
12.直线 2x y+1=0 的一个法向量为   .
13.已知向量 a =(2,﹣1,3), b =(﹣4,2,x),使 a ⊥ b 成立的x值为   .
14.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 M,N 分别是 AA1,BB1 的中点,则 CM 和 D1N 所成角的余弦值为   .
15.若直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ,则它的点法向式方程为   .
三、解答题
16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
17.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2,AD= 3 ,∠DAB= π6 ,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)证明:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D为 π3 ,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
18.在三棱锥S﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=3 ,E,F分别为AB,SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
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1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
参考答案与试题解析
选择题
1.【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角;用空间向量求直线与平面的夹角;二面角的平面角及求法
【解答】以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则
A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(1,1,1),G(0,1,1),H(0,0,1) ,
对于A,连接 AF,FC,AC ,因为 △AFC 为等边三角形,所以异面直线CF与GD所成
的角为 ∠AFC=60 ,而 CF=(1,0,1),GD=(0, 1, 1) ,所以
cos= 12×2= 12 ,所以 =120 ,A不符合题意;
对于B, FD=( 1, 1, 1) , AC=( 1,1,0),AH=( 1,0,1) ,
则 FD AC=( 1)×( 1) 1×1=0 , FD AH=( 1)×( 1) 1×1=0 ,所以
FD⊥AC , FD⊥AH ,即 FD⊥AC , FD⊥AH ,又 AC∩AH=A ,所以
FD⊥ 平面 ACH ,所以向量 FD 是平面ACH的法向量,B符合题意;
对于C,设直线CE与平面ACH所成角为 θ , CE=(1, 1,1),FD=( 1, 1, 1) ,
所以 sinθ=|cos|=13 ,所以 sin2θ+cos2=19+19=29 ,C不符合题意;
对于D,连接 EG,FH ,设 EG∩FH=M ,连接 AM,CM ,
因为 AH=AF,CH=CF ,M为中点,所以 AM⊥FH,CM⊥FH ,
所以 ∠AMC 为 A FH C 的二面角,易得 M(12,12,1) ,
MA=(12, 12, 1),MC=( 12,12, 1) ,所以 cos=1232×32=13 ,
所以D不符合题意.
故答案为:B
2.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】∵a→与b→的夹角为钝角
∴a→ b→<0,且a→与b→不共线,
即3x+2(2﹣x)<0且(x,2,0)≠λ(3,2﹣x,x2)
解得x<﹣4
故选A.
3.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】 如图以D为原点,
DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,易得E(2,2,1),F(1,1,2),D(0,0,0),A1(2,0,2), EF=( 1, 1,1) , DA1=(2,0,2) ,∵EF DA1= 2+2=0
∴EF⊥DA1 ,
故答案为:B.
4.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(1,0,0), OE =(-1,1,1), FD1 =(-1,0,2),∴OE · FD1 =3,| OE |= 3 ,| FD1 |= 5 ,
∴cos〈 OE , FD1 〉= 33 5 = 155 ,
即OE与FD1所成的角的余弦值为 155 。
5.【考点】简单空间图形的三视图
【解答】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为1;当正视图为对角面时,其面积最大为2.
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为[1,2].
因此可知:A,B,D皆有可能,而2 12<1,故C不可能.
故选C.
6.【考点】直线的点斜式方程;直线的方向向量
【解答】由 x+15=y+1 3 可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率 35 ,
由题意可知所求直线的斜率k = 35 ,
故所求的直线方程为y = 35 (x+1)即3x+5y+3=0.
故答案为:B.
7.【考点】异面直线及其所成的角;二面角的平面角及求法
【解答】对于①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对于②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的,
故答案为:B.
8.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,
则B(0,0,0),C(0,1,0),B1(0,0,1)
设P(﹣a,1﹣a,1)(0<a≤1),则BP→=(﹣a,1﹣a,1),B1C→=(0,1,﹣1)
∴cosθ=
∵0<θ≤π2
∴π3≤θ<π2
∴θ的取值范围是.
故选C.
9.【考点】二次函数在闭区间上的最值;异面直线及其所成的角;用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】因为在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AC⊥BC ,
所以 CA,CB,CC1 两两互相垂直,
所以分别以 CA,CB,CC1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图:
因为 AC=BC=AA1=2 ,
所以 A(2,0,0) , B(0,2,0) , A1(2,0,2) ,
所以 Q(1,1,1) ,设 P(0,y,2) ,
则 AB=( 2,2,0) , PQ=(1,1 y, 1) ,
设异面直线AB与PQ所成角为 θ ,
则 cosθ=|cos|
= |AB PQ|AB||PQ||=| 2×1+2(1 y) 0×14+4+0×1+(1 y)2+1|
=|y|2y2 2y+3=12y2 2y+3y2
=123y2 2y+1=123(1y 13)2+23
≤1223=32 (当且仅当 y=3 时等号成立)
又 θ∈(0,π2) ,且 y=cosθ 在 (0,π2) 内递减,
所以 θ∈[π6,π2) ,
所以异面直线AB与PQ所成角的最小值为30°.
故答案为:A.
10.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】解:选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有 AD1 B1C =0;
选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有 BD1 AC =0;
选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有 AB AD1 =0;
选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,
故BC与BD1不可能垂直,即 BD1 BC ≠0.
故选:D
二.填空题
11.【考点】直线的方向向量
【解答】解:∵直线l经过点P(3,2)且以d→=(1,﹣2)为方向向量,
故直线l的点向式方程为:x-3=y 2 2,
即x-3=y 2 2,
故答案为:x-3=y 2 2
12.【考点】直线的方向向量
【解答】直线 2x y+1=0 的斜率为2,故与其垂直的直线的斜率为 12 ,故直线 2x y+1=0 的一个法向量为(2,-1).
故答案为:(2,-1).
13.【考点】空间向量的数量积运算
【解答】解:∵向量 a =(2,﹣1,3), b =(﹣4,2,x), a ⊥ b ,
∴a b =﹣8﹣2+3x=0,
解得x= 103 .
故答案为: 103 .
14.【考点】空间向量的数量积运算;用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以 D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系
设正方体棱长为 2 ,则 C(0,2,0) , M(2,0,1) , D1(0,0,2) , N(2,2,1)
∴CM=(2, 2,1) , D1N=(2,2, 1)
∴|cos|=|CM D1N|CM| |D1N||=|4 4 1|3×3=19
即异面直线 CM 与 D1N 所成角的余弦值为 19
故答案为: 19
15.【考点】直线的方向向量
【解答】因为直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ,且 AB=(1,3) ,
所以直线 l 的一个法向量为 n=( 3,1) ,
所以该直线的点法向式方程为-3(x-1)+y=0.
故答案为:-3(x-1)+y=0.
三.解答题
16.【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定
【解答】(1)证明:因为E,F分别是A1B,A1C的中点,
所以EF∥BC,又EF 面ABC,BC 面ABC,所以EF∥平面ABC
(2)解:因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1,所以BB1⊥面A1B1C1,BB1⊥A1D,
又A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D 面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C
17.【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角
【解答】解:(Ⅰ)证明:∵AB=2,AD= 3 ,∠DAB= π6 ,
∴BD= 4+3 2×2×3×32 =1
∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD,∴BC⊥BD
∵PD⊥AD,PD⊥DC,∴PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)由(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD= π3
而BD=1,所以PD= 3 ,
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A( 3 ,0,0),B(0,1,0),C(﹣ 3 ,1,0),P(0,0, 3 )
所以 AP =(﹣ 3 ,0, 3 ), BC =(﹣ 3 ,0,0), BP =(0,﹣1, 3 ),
设平面PBC的法向量为 n =(a,b,c),∴ 3a=0 b+3c=0
可解得 n =(0, 3 ,1),
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=| 36 2 |= 24
18.【考点】直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法
【解答】(1)证明:取AC的中点O,连结OS,BO.
∵SA=SC,AB=AC,O是AC的中点,
∴AC⊥SO,AC⊥BO,又SO 平面SOB,OB 平面SOB,SO∩OB=O,
∴AC⊥平面SOB,又SB 平面SOB,
∴AC⊥SB
(2)解:设OB与CE交于点G,取OB中点为M,作MH⊥CE交CE于点H,连结FM,FG.
∵平面SAC⊥平面ABC,AC⊥SO,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC,
∵FM是△SOB的中位线,
∴SO∥FM,
∴FM⊥平面BCE,又CE 平面ABC,
∴FM⊥CE,又CE⊥HM,FM 平面FMH,MH 平面FMH,FM∩MH=M,
∴CE⊥平面FMH.
∴CE⊥FH,
∴∠FHM是二面角F﹣CE﹣B的平面角.
∵△GHM∽△GEB,∴HMEB=GMGB ,
∵△ABC是边长为2的正三角形,∴EB=1,BM= 12 OB= 32 ,GB= 23 OB= 233 ,
∴GHGB=14 ,∴HM=14 ,
∵SA=SC= 3 ,AC=2,∴SO= 2 ,
又FM= 12 SO= 22 ,∴FH= FM2+MH2 = 34 ,
∴cos∠FHM=HMFH=13 ,故锐二面角F﹣CE﹣B的余弦值为 13 .

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