第10章 二元一次方程组（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
3．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是（ ）
A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个
5．商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（ ）种
A．3 B．7 C．10 D．12
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B． C． D．
7．对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（ ）
A．40 B．41 C．45 D．46
8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
9．增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（ ）
① 当时，是方程组的解；
② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数；
③ 当方程组的解是时，方程组的解为；
④ x、y都为自然数的解有3对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．方程3x+2y=12的非负整数解有 个.
12．若整式ax2＋bx－y－3x2＋4x＋5的值与字母x的取值无关，则2a＋b的值为 ．
13．设，，其中，是正整数且，若与互补，则 ．
14．二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ．
15．现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ．
16．关于a、b、x、y的多项式2021am+6bn﹣3xmyn+a3mb2n﹣3﹣4xn﹣1y2m﹣4（其中m、n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn＝ ．
17．已知关于、的二元一次方程，当取每一个不同值时，，都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，这个公共解是 ．
18．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知是方程的解，
（1）求的值．
（2）请将方程变形为用的代数式表示．
20．（8分）计算：
（1）； （2）．
（3）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．
①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值；
21．（10分）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．
22．（10分）关于的二元一次方程组
（1）是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
（2）当的值互为相反数时，求的值．
（3）当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由．
23．（10分）某商场销售员小红对当日的进出账时作如下记录：销售、两种商品共105件，商品的售价分别为8元和12元，期初余额为418元，期末余额为1500元，店长算了一下说：“你肯定搞错了”．
（1）店长为什么说小红搞错了？试用方程的知识做出解释．
（2）小红经过查看货物进出明细表，发现自己还卖出了一件商品，只记得价格应该是小于8元的整数，请问商品的单价可能是多少元？
24．（12分）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
（1）如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙：表示 ，表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
（2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
参考答案：
1．A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
【点拨】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
2．B
【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．
解：
=
=
∴=
∴，
解得：，
故选B．
【点拨】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
3．A
【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
解：将变形为,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，
因为方程组的解是，
所以，解得：，
所以方程组的解是，
故选：A．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
4．C
【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.
解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【点拨】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
5．B
【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可.
解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件，
根据题意得：，
∵x、y都是正整数，
∴；
②若购买A、C两种商品分别为a、b件，
根据题意得：，
∵a、b都是正整数，
∴或；
③若购买B、C两种商品分别为m、n件，
根据题意得：，
∵m、n都是正整数，
∴或或或；
综上，小明的购买方案有7种；
故选：B.
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，解题的难点在于挖掘题目中的数量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其正整数解.
6．C
【分析】根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可.
解：由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：
将代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
7．B
【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．
解：∵，，，
∴
解得：
∴=41
故选B．
【点拨】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
8．B
解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨，
即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，
①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；
②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；
列方程组，
解得，
所以一共有11天，
故选B．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．
9．B
【分析】由“长方形田地的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步”即可得出方程组，此题得解．
解：设这块田地的长为步，宽为步，
依题意得：．
故选：．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
10．B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，
①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③的各项和原方程成比例，故可得方程，即可解答；
④用表示，可得一元一次不等式组，再根据的取值范围，即可解答，
熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键．
解：当时，原方程为，解得，故①错误；
x、y的值互为相反数时，可得，可得方程，方程无解，故②正确；
的各项和原方程成比例，故可得，解得
，故③正确；
解，可得，当为自然数时，可得，解得且为奇数，故，即x、y都为自然数的解有4对，故④错误；
故选：B．
11．3
解：分析：由题意可列出不等式组，从而求出该方程的非负整数解．
详解：由题意可知：
∴
解得：0≤x≤4．∵x是非负整数，∴x=0，1，2，3，4
此时y=6，，3，，0
∵y也是非负整数，∴方程3x+2y=12的非负整数解有3个．故答案为3．
点睛：本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据题意列出不等式组，本题属于基础题型．
12．2
解：ax2＋bx－y－3x2＋4x＋5=（a-3）x2+（b+4）x-y+5，因为整式ax2＋bx－y－3x2＋4x＋5的值与字母x的取值无关，所以可得：a-3=0，b+4=0，解得a=3，b=-4，所以2a+b=2.
13．
【分析】与互补，得到关于a、b的二元一次方程，找到方程的正整数解，即可求得.
解：由题意得：+=，
即+=，
，
，
、是正整数且，
，
，
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程的特殊解，由两角互补得到二元一次方程是解答此题的关键.
14．且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
解：∵关于，的方程组无解，
，得，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
15． B和C
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；
（2）把解代入卡片逐项验证即可．
（1）解：
得
，
把代入①得
，
解得；
（2）把代入，，，，五张卡片中，
可得，，不成立，
代入B得：，成立，
代入C得：，成立，
故答案为：B和C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．
16．或/或
【分析】分两种情况讨论：当是同类项时，当是同类项时，再根据同类项的定义列方程组，解方程组可得答案.
解：当是同类项时，
可得：
经检验：符合题意；
当是同类项时，
则
解得：
经检验，符合题意；
故答案为：或
【点拨】本题考查的是同类项的概念，二元一次方程组的解法，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键.
17．
【分析】根据题意先给m值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．
解：∵当m每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，
∴m值随便取两个值，
m=3，方程为5y=-5，
m=-2，方程为-5x=-10，
解得x=2，y=-1，
把x=2，y=-1代入方程得2（m-3）-（m+2）=m-8，
∴这个公共解是．
故答案为：．
【点拨】主要考查二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法．
18．60
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
解：戴宗顺风行走的速度为：（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：
解得：
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点拨】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
19．（1）8；（2）
【分析】（1）将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）将代入原方程，整理后，即可用还含的代数式表示．
（1）解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为8；
（2）解：当时，原方程为，
．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）①②
【分析】（1）利用代入消元法求解即可．
（2）利用加减消元法求解即可．
（3）①根据定义解答即可．
②根据定义计算，解方程即可．
解：（1），
把①代入②，得，
解得，
把代入①得
，
故方程组的解为．
（2），
，得，
解得，
把代入①得
，
故方程组的解为．
（3）①∵中，
∴其反对称二元一次方程，
故答案为：．
②是的解，
，
的“反对称二元一方程”为
且是的解，
．
【点拨】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新定义方程问题时解题的关键．
21．
【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可．
解：∵关于x，y的方程组和有相同解，
∴解方程组得：，
把代入得：，解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键．
22．（1）不存在，理由见分析；（2）存在，的值为8；（3）代数式的值为定值
【分析】（1）将分别代入两个方程，求出的值再对比即可得出答案；
（2）根据题意可知，再和联立，求解即可得出答案；
（3）要取定值就要消去a，故由②①得，再化简即可得出答案
解：（1）不存在
理由：把代入方程①，得：，
解得的值，
把代入方程②，得：，
解得的值，
因为，所以不存在的值，使方程组的解为．
（2）存在，的值为8，理由如下：
由题得，
则可得解得
所以的值为8．
（3）代数式的值为定值．
理由：由②①得
整理得：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，根据式子特点选择合适的解题方法是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）2元或6元
【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设商品件，则商品件，根据题意列出一元一次方程并求解，结合实际，即可获得答案；
（2）设商品件，商品单价为，由题意列出二元一次方程并整理，可得，根据、都是整数，易知应被4整除，所以为偶数，然后分类讨论，即可获得答案．
（1）解：设商品件，则商品件，
由题可得，
解得（不符合题意）
所以小红搞错了；
（2）设商品件，商品单价为，由题意得
，
解得，因为、都是整数，
且应被4整除，所以为偶数，
又因为为小于8的数，所以可能为2、4、6
当时解得，符合题意；
当时解得，不符合题意；
当时解得，符合题意；
所以商品的单价可能是2元或6元．
24．（1）①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800；（2）8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可；
②将的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论．
（1）解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量，
乙：表示产品销售额，表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：
乙：，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将代入原方程组解得，
产品销售额为元，
原料费为元，
运费为元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，
．
解得：．
则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得：．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
()
