2024年锦州市普通高中高三质量检测
数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列维恩图能正确表示集合，关系的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
3.甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
第3题图
A.甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
4.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
5.数列的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A. B. C. D.
6.已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，M为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（ ）
A.2 B.3 C.6 D.
7.如图，在平行四边形中，E是的中点，F为线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
第7题图
A. B. C.1 D.2
8.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
第9题图
A.函数的减区间是，
B.函数的减区间是，
C.是函数的极小值点
D.2是函数的极小值点
10.已知曲线，则（ ）
A.C过原点 B.C关于原点对称
C.C只有两条对称轴 D.
11.设随机变量X的分布列如下表所示：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
则下列命题正确的是（ ）
A.当为等差数列时，
B.数列的通项公式可能为
C.当数列满足（，2，…，9）时，
D.当数列满足（，2，…，9，10）时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为.若圆柱的体积为，则该球的内接正方体体积为______.
13.已知，是锐角，且，，则的值为______.
14.已知，，，，为，，，中不同数字的种类，如，，与视为不同的排列，则的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本要满分13分）
如图，在三棱柱中，D，E分别是梭，的中点.
第15题图
（1）在棱上找一点F，使得平面平面，并证明你的结论：
（2）若，是边长为2的等边三角形，，，求二面角的余弦值.
16.（本题满分15分）
已知，，，且的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的年调递增区间；
（2）若锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的取值范围.
17.（本题满分15分）
某学校举办一场毽球比赛.已知毽球比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.甲队教练现在对甲、乙两队得到发球权与得分的相关性进行分析，根据以往比赛结果得到下表所示的数据：
甲队得分 乙队得分 合计
甲队发球 30 20 50
乙队发球 10 40 50
合计 40 60 100
（1）根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关吗
（2）用以往频率估计概率，且第一回合是甲队发球，设第n回合是甲队发球的概率为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）设，证明：.
附：，其中；
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.（本题满分17分）
已知G是圆上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交于点R，动点R的轨迹为C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设P是曲线C上任一点，延长至点Q，使，点Q的轨迹为曲线E.
（i）求曲线E的方程；
（ii）M，N为C上两点，若，则四边形的面积是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
19.（本题满分17分）
定义：设是二元函数定义域内的点，若，极限存在，则称此极限是函数在关于x的偏导数，记为.同理.类比一元函数导数几何意义，偏导数就是平面上曲线在点的切线斜率，平面是曲面在点的切平面.已知曲面.
（1）若，求曲面在点的切平面方程；
（2）求证：曲面上任意点的切平面与三个坐标面围成的四面体体积是定值，并求出这个定值.
2024年锦州市普通高中高三质量检测
数学（参考答案及评分标准）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
BDDC CCDA
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.BC 10.ABD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.256，（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
解：（1）若F为棱的中点，则平面平面……2分
证明：如图，连接，，……3分
因为E，F分别是棱，的中点，所以，……4分
因为平面，平面，所以平面，
因为D，F分别是棱，的中点，所以，……5分
因为平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面……6分
（2）取的中点O，连接，
由为等边三角形，D为棱的中点，可得，
因为，，，面，所以平面，……7分
又平面，所以，
因为，，所以为等边三角形，所以
又，所以平面，……9分
以O为坐标原点，过点O作的平行线作为x轴，以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为则取，……10分
设平面的法向量为则取，
所以，……12分
即二面角的余弦值为.……13分.
评卷说明：用几何法求解，找到二面角4分，求出该角的余弦值3分.
16.（本题满分15分）
解：（1），…3分
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，……4分
所以.……5分
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.……7分
（2）已知，由，得，……8分
由正弦定理，得，.……9分
……11分
由是锐角三角形，有，得，……12分
所以，则，……14分
所以，
即面积的取值范围是.……15分
评卷说明：化边求解，得出给4分，给3分，理由不充分减1-2分.
17.（本题满分15分）
解；（1）依据表中数据，……3分
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为发球权与得分有关.……5分
（2）（i）由题意，，……8分
所以，……9分
即，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即.……11分
（ii）因为，所以……12分
设，，因为，所以在上单调递增，
显然，则，所以，……13分
则
，……14分
所以……15分
18.（本题满分17分）
解：（1）因为线段的中垂线交线段于点R，则，
所以，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆.……4分
设椭圆方程为，则，，，
所以曲线C的方程为……6分
（2）（i）设，因为，所以……7分
代入得，所以曲线E的方程为……9分
（ii）解法一：设，，
因为所以……10分
又因为Q在曲线E上，代入得，
即，（*）……11分
又因为，……12分
得：代入（*）式，
得，平方得
得
所以，即，……14分
又因为直线，，
N到直线的距离，……15分
所以……16分
所以四边形的面积为定值……17分
解法二：设，，因为，所以四边形是平行四边形，设对角线交点为D
①当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性及知，
代入曲线E的方程得，代入曲线C的方程得，
所以.所以四边形的面积为.……10分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与曲线C联立：，得
由得，
……11分
则，所以
所以，，
将代入曲线E整理得：（﹡）……12分
……13分
将（*）式代入得：……14分
又原点O到直线的距离……15分
所以……16分
所以四边形的面积为定值.……17分
综上所述，四边形的面积为定值.
19.（本题满分17分）
解：（1）若，，，
，……4分
曲面在点的切平面方程为，即……6分
（2），，……8分
，，……10分
曲面在点的切平
即……12分
与三个坐标轴交于，，……15分
与三个坐标面围成的四面体体积：.……17分
