抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题
（压轴通关）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 线段最值问题
【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．
(1)求的长度；
(2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．
①当时，试求的长度；
②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．
(1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
(2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
(3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．
1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ．
2．（2024·重庆·一模）在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，．
(1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点．
①如图1，若，求的长度；
②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：．
(2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值．
3．（2024·陕西西安·一模）问题提出：
（1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为__________．
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离．
4．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二 线段和的最小值问题
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】
（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．
(1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．
1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．
(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·陕西西安·二模）（1）如图，半径为的外有一点，且，点在上，则的最大值和最小值分别是______和______；
（2）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，求最小时的长；
（3）如图，在中，，，点到的距离为，动点、在边上运动，始终保持，在边上有一个直径为的半圆，连接与半圆交于点，连接、，求的最小值．
3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】
（1）如图①，为半圆的直径，点为半圆的上一点，切半圆于点，若，，则的最小值为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，，点为矩形内一点，连接、，若矩形的面积是面积的3倍，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，平面图形为某校园内的一片空地，经测量，米，，，，米，劣弧所对的圆心角为，所在圆的圆心在的延长线上，米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在上选取一点，在弧上选取一点，并在点和点处各插上一面小旗，从点出发，先到点处拔下小旗，再到点处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程应最短，问是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2024·江西·一模）如图1，在矩形中，，点分别是上的中点，过点分别作与交于点，连接．
特例感知
（1）以下结论中正确的序号有______；
①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以为边围成的三角形不是直角三角形；
类比发现
（2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；
拓展应用
（3）连接，当的长度最大时，
①求的长度；
②连接，若在内存在一点，使的值最小，求的最小值．
题型三 面积的最小值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形中，分别在边上，且，连接，试探究之间的数量关系．解决这个问题可将绕点逆时针旋转到的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明与全等，即可解决问题．
(1)如图1，正方形中，，则______；
(2)如图2，正方形中，若，过点作交于点，请计算与的比值，写出解答过程；
(3)如图3，若，正方形的边长，试探究面积的最小值．
1．（2023·陕西西安·一模）问题发现
（1）在中，，，则面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形中，，，，求的值．
问题解决
（3）有一个直径为的圆形配件，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
2．问题提出：
（1）如图①，已知是面积为的等边三角形，是的平分线，则的长为______．
问题探究：
（2）如图②，在中，，，，点为的中点，点，分别在边，上，且．证明：．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点，分别在，上，连接、、，，、分别在、上，连接、，，，其中四边形种植玫瑰，和种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形的面积为，为了节约成本，矩形花园的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形的最小面积，若不存在，请说明理由．
3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，，，，交于点E，若，则 ；
（2）如图2，矩形内接于， ，点 P 在上运动，求 的面积的最大值；
（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边，上分别取点P，Q，修建一条笔直的通道，要求 ，过点 B 作 于点E，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路，并计划在 内种植花卉， 内修建老年活动区， 内修建休息区，在四边形内修建儿童游乐园．问种植花卉的 的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
题型四 面积的最大值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西咸阳·一模）问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【例2】（2024·陕西咸阳·一模）
(1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为 ；
(2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值；
(3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值．
1．（2024·陕西宝鸡·一模）提出问题：
（1）如图1，在中，，，，则BC边上的高AD的长为______；
问题探究：
（2）如图2，内接于，弦，半径为6，求面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形的空地，在空地边的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即），连接，在处种植绿植，其中，测得米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出面积的最大值，若不能，请说明理由．
2．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），连接点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．
(1)的度数；
(2)连接，求证：；
(3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）（1）【操作发现】
如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化 若不变，求的值；若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度．
（2）【类比探究】
如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．
()
抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题
（压轴通关）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 线段最值问题
【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．
(1)求的长度；
(2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．
①当时，试求的长度；
②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】
（1）取的中点，连接，证明，得出则，进而根据，即可求解；
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，证明得出，即可得出，证明，进而证明在上，根据已知条件证明在上，然后解直角三角形，即可求解；
②如图所示，过点作于点，连接，由①可得在上运动，当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值，由①可得，求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，取的中点，连接，
∵，，
∴，，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点，
由（1）可得
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵都是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴在上，
∵，
∴
∵
∴在上，
∵，
∴，则
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
②如图所示，过点作于点，连接，
由①可得在上运动，
∴当时，取得最小值，即重合时，的长即为的最小值，
设交于点，即与①中点重合，由①可得
∵
∴，
∴
设
则，
在中，．
【点睛】证明点在上是解题的关键．
【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．
(1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
(2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
(3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故；
故答案为：；
（2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；；
（3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为
；当最小时，M在线段上，，即最小值为．
【详解】（1）解：过作轴于H，如图：
，D为中点，
，
，
∵以点O为中心，逆时针旋转，得，
，
∵点落在y轴上，
；
，C为中点，
，
，
轴，，
，
，
，，
；
故答案为：；
（2）解：当点落在上时，过作轴于M，如图：
由（1）知，，，，
，
，，
，
，
；
∴点的坐标为，的长为；
（3）解：如图：
∵C，D分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，
∵以点O为中心，逆时针旋转，得，
，，
是的中点，
，
，
在以O为圆心，为半径的圆上运动；
当最大时，如图：
此时M在的延长线上，
，
，
；
即最大值为；
当最小时，如图：
此时M在线段上，，
最小值为；
综上所述，最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系．
1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）利用正方形性质可得、，然后利用即可证明结论；
（2）①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，再证明可得从而证明结论；②如图：作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：①证明：如图中，设与相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
矩形是正方形；
②如图∶作交于点，作于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，，
最大时，最小，即点与点重合时，，
，
由（2）①可知，是等腰直角三角形，
．
故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，寻找并证明全等三角形是解题的关键．
2．（2024·重庆·一模）在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，．
(1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点．
①如图1，若，求的长度；
②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：．
(2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①过点作于点，通过勾股定理得到的长，证明利用勾股定理即可求解；
②延长至点，使，连接，连接交于点，用过证明三角形全等结合直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证；
（2）沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值，通过含角的直角三角形的特征求出，过点作的垂线，过点作垂线相交于点，点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果．
【详解】（1）解：①过点作于点，
，
，，
，
在中，，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
；
②证明：延长至点，使，连接，连接交于点．
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，，即，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
；
（2）如图，沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值．
由题意可知：，，，
，
，
，
，
，
过点作的垂线，过点作垂线相交于点，
点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值，
此时，
，
过点作于点，
，
，
，
或者．
【点睛】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性质，直角三角形特征，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解答本题的关键．
3．（2024·陕西西安·一模）问题提出：
（1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为__________．
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离．
【答案】（1）；（2）；（3）点与点之间的最小距离为（）m
【分析】（1）根据三角形中位线的定义，得到是的中位线，由中位线的性质，即可求解，
（2）连接，求出、的长度，在中，根据勾股定理，求出的长度，根据两点之间线段最短，即可求解，
（3）延长到点，使，作、，由，点是的中点，得到，根据四边形是矩形，及特殊角三角函数，得到、、的长，在中，根据勾股定理求出的长，由两点之间线段最短，得到，即可求解，
本题考查了，三角形中位线的判定与性质，解直角三角形，两点之间线段最短，解题的关键是：作辅助线构造三角形中位线．
【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
（2）连接，
∵点为上的靠近点的三等分点，，
∴，，
在中，，
根据折叠的性质，，
∵，
∴，
（3）延长到点，使，过点、点作、，分别交延长线于点、点，连接、，
∵，点是的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
（1）；（2）；（3）点与点之间的最小距离为（）m．
4．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积；
（2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接， 交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值；
（3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在的劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：5
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴点P在矩形内部以为直径的上运动，
连接， 交于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值；
（3）连接，作的外接圆，连接，如图3，
∵四边形是菱形，
∴米，，
∵，
∴
∵
∴
∴，即
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴点H在的劣弧上运动，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
在中，米，，过点O作于点M，如图，
则米，
∴米，
∴米，
∴米，
记与相交于点，则米，
∴米，
∵米，
∴的最小值为的长，即的最小值为米
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键．
题型二 线段和的最小值问题
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】
（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出；
（2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则．
【详解】解：（1）如图，作于，
在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，
将绕点C逆时针旋转得，
，，，
∴是等边三角形，
∴，
，
当点、、、共线时，最小，最小值为的长，
连接，作于交延长线于E，
，边长为，
，，
，
，
，，
，
的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；
设此时交于G，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．
(1)【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】
（1）根据旋转性质，得，结合等边三角形的性质，得，证明，结合为线段上靠近点的三等分点和是边长为2的等边三角形等条件，即可作答．
（2）证明，可得，故，从而平分；
（3）由，得，可得的周长，而，知的最小时，的周长最小，此时，即可求得答案．
【详解】（1）解： ∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴；
∵为线段上靠近点的三等分点，且是边长为2的等边三角形
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到
∴
∴
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴平分
（3）解：当点D在线段上时，的周长存在最小值，如图：
∵，
∴，
∴的周长，
∴当点D在线段上时，的周长，
∵为等边三角形，
∴，
∴的最小时，的周长最小，此时，
∴，
∴的周长的最小值为．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．
(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）证明，得出，可得出，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过点D作于点M，于点N，证明，可得出点D在的平分线上，取点，连接，，则和A关于的平分线对称，由得出当点、D、E三点共线时，最小，最后利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，即
过点D作于点M，于点N
又，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴点D在的平分线上，
取点，连接，
则和A关于的平分线对称，
∴，
∴，
当点、D、E三点共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质与判断，勾股定理等知识，根据题意添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
2．（2024·陕西西安·二模）（1）如图，半径为的外有一点，且，点在上，则的最大值和最小值分别是______和______；
（2）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，求最小时的长；
（3）如图，在中，，，点到的距离为，动点、在边上运动，始终保持，在边上有一个直径为的半圆，连接与半圆交于点，连接、，求的最小值．
【答案】（1）；；（2）；（3）
【分析】（1）结合圆的基本性质分两种情况讨论即可；
（2）延长至点，使，连接，，交于点，结合矩形的性质及已知证明，得到，（当点、、共线时，取“”，此时点与点重合），继而得到的最小值为的长，证明，得到，代入数据求解即可；
（3）如图，过点作，交于点，作点关于的对称点，连接，，，，，，证明四边形是平行四边形，得到，，继而得到，设点到的距离为，根据平行四边形的面积可得，根据对称的性质可得，，，结合三角形三边关系及两点之间线段最短和（1）的结论可得：的最小值为：，最后在中根据勾股定理求得，从而得解．
【详解】解：（1）∵半径为的外有一点，且，点在上，
∴，
如图，当点在的延长线上时，取得最小值，
此时的最小值为：；
如图，当点在的延长线上时，取得最大值，
此时的最大值为：；
故答案为：；；
（2）延长至点，使，连接，，交于点，
∵在矩形中，，，，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴（当点、、共线时，取“”，此时点与点重合），
∴的最小值为的长，
在中，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小时的长为；
（3）如图，过点作，交于点，作点关于的对称点，连接，，，，，，
∵在中，，，点到的距离为，，
∴，即，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
∴，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，，
∴，，
由（1）知：当点、、共线时，的值最小，
又∵，，
当点、、重合时，，
∴，
即的最小值为：，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．
3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】
（1）如图①，为半圆的直径，点为半圆的上一点，切半圆于点，若，，则的最小值为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，，点为矩形内一点，连接、，若矩形的面积是面积的3倍，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，平面图形为某校园内的一片空地，经测量，米，，，，米，劣弧所对的圆心角为，所在圆的圆心在的延长线上，米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在上选取一点，在弧上选取一点，并在点和点处各插上一面小旗，从点出发，先到点处拔下小旗，再到点处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程应最短，问是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）；（3）存在最小值，最小值为．
【分析】
（1）连接交于点，则是的最小值，求出的长即可，
（2）过点作于点，作，连接，的最小值，即为的长度，求出即可，
（3）连接，作点关于的对称点，连接，，，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，当取得最小值时，的值最小，即的长，求出即可．
【详解】
解：（1）如图，连接交于点，连接，
点为半圆的上一点，
当点与点不重合时，，
当点与点重合时，，
，
的最小值，
切半圆于点，
，
，，
，
的最小值，
故答案为：8．
（2）过作，如图，
矩形的面积是面积的3倍，，，
，
，
过点作，分别交、于点、，则点在线段上，
作点关于的对称点，连接，则，
，
连接交于点，由三角形三边关系可知，当点与点重合时，的值最小，即为的长度，
，
，
又，
，
即的最小值为．
（3）连接，作点关于的对称点，连接，，，交于H，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，交于点，如图：
，，
是等边三角形，
，
，，，
，
和都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形，
，
点为所在圆的圆心，则，
点与点关于对称，
，即，
当取得最小值时，的值最小，
，
的最小值为的长，
为等边三角形，点与点关于对称，，
点为的中点，，，
则，
△和△都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形，
，，，，
，
，
即存在最小值，最小值为．
【点睛】
本题综合考查线段的最值问题，主要涉及了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形三边的关系等知识，综合性较强，准确作出辅助线是解题关键．
4．（2024·江西·一模）如图1，在矩形中，，点分别是上的中点，过点分别作与交于点，连接．
特例感知
（1）以下结论中正确的序号有______；
①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以为边围成的三角形不是直角三角形；
类比发现
（2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；
拓展应用
（3）连接，当的长度最大时，
①求的长度；
②连接，若在内存在一点，使的值最小，求的最小值．
【答案】（1）①②；（2），直线与的夹角是，见解析；（3）①；②
【分析】
（1）根据矩形的判定与性质、位似图形的性质以及直角三角形的判定逐个判断即可；
（2），连接、，延长、，设交点为N，设、交于点M，先根据矩形的性质和勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，进而得到，利用位似图形的性质得到，进而证明，利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理可求解；
（3）先根据题意得到当点C、A、C共线时取等号，此时的长度最大，①利用勾股定理求解即可；②将绕着点A顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点A顺时针旋转，得到，且使，连接．先证明，得到 ，利用的边角关系得到，然后根据两点之间线段最短得到当C、P、K、L四点共线时，的长最小，过点L作垂直的延长线于点Q，可得，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∴四边形是矩形，故①正确；
∵点分别是上的中点，
∴，，即，
∴矩形与四边形位似，故②正确；
延长交于H，则四边形、四边形是矩形，
∴，，，
∴是直角三角形，
则以为边围成的三角形是直角三角形，故③错误，
故答案为：①②；
（2），直线与的夹角．
证明：如图，连接、，延长、，设交点为N，设、交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
由（1）知，矩形与四边形位似，
∴，又，
∴，
∴，，又，
∴；
（3）∵，
∴当点C、A、E共线时取等号，此时的长度最大，
①如图，
由（2）知，，，，，
∵，
∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点A顺时针旋转，得到，且使，连接．
根据旋转，可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得，
∴，
过P作于S，则，，
∴，则，
∴，
∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，，，，
过点L作垂直的延长线于点Q，可得，
∴，，则，
在中，根据勾股定理得．
∴的最小值为．
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、位似图形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键．
题型三 面积的最小值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；
（2）如图所示，延长到G使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则；
（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E，
∵是边长为5的等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长到G使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
∴，
∵，
∴，
过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当的面积最小时，的面积最小；
如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当r最小时，的面积最小，
∵，
∴，
∴，
∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，
∴，
∴存在一个面积最小的，其最小值为．
【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形中，分别在边上，且，连接，试探究之间的数量关系．解决这个问题可将绕点逆时针旋转到的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明与全等，即可解决问题．
(1)如图1，正方形中，，则______；
(2)如图2，正方形中，若，过点作交于点，请计算与的比值，写出解答过程；
(3)如图3，若，正方形的边长，试探究面积的最小值．
【答案】(1)
(2)；过程见解析
(3)
【分析】
（1）将绕点逆时针旋转到的位置（易得出点在的延长线上），进一步证明与全等，即可解决问题；
（2）将，绕点逆时针旋转，得，证明，得出四点共圆；进而可得，根据，即可求解；
（3）过点作于，交于，作于，得出 ，进而根据（2）的方法得出，根据时，面积最小，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴点在的延长线上，
∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：将，绕点逆时针旋转，得
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∵，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴四点共圆；
∴，
又
∴
（3）如图，过点作于，交于，作于，
四边形是矩形，
同（2）将，绕点逆时针旋转，得，
可得，
∴
∴取得最小值时，的面积最小，
设，，
∵，
∴，
当且仅当时取得等于号，
此时，
设的圆心为，
∵，，
∴经过点，
∴，
∵
即
解得：
∴
∴，
∴，
即面积的最小为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
1．（2023·陕西西安·一模）问题发现
（1）在中，，，则面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形中，，，，求的值．
问题解决
（3）有一个直径为的圆形配件，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，四边形面积的最小值为，此时
【分析】（1）易知点C在以为弦的确定的圆上，作的外接圆，可得当点C在的位置，即垂直平分时，的面积最大，求出，再根据三角形的面积公式计算即可；
（2）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，，证明C、D、E在同一条直线上，求出，利用勾股定理求出，进而可得的值；
（3）如图作辅助线，证明是等边三角形，求出，可得要使四边形的面积最小，就要使的面积最大，然后由（1）可知，当是直径，且时，的面积最大，同（1）的方法求出面积的最大值，可得四边形面积的最小值，然后证明O、C、M共线，解直角三角形求出，根据可得此时的长．
【详解】解：（1）∵，，
∴点C在以为弦的确定的圆上，
如图，作的外接圆，
∴当点C在的位置，即垂直平分时，的面积最大，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴面积的最大值为，
故答案为：；
（2）如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴C、D、E在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）存在；
如图，连接，
∵，，
∴将绕O点顺时针旋转至，连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
，
∴要使四边形的面积最小，就要使的面积最大，
作的外接圆，点F是上一点，交于M，
由（1）可知，当是直径，且时，的面积最大，
此时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴四边形面积的最小值为，
又∵垂直平分，是等边三角形，
∴O、C、M共线，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外接圆，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，作出合适的辅助线，灵活运用三角形的外接圆求出三角形面积的最大值是解题的关键．
2．问题提出：
（1）如图①，已知是面积为的等边三角形，是的平分线，则的长为______．
问题探究：
（2）如图②，在中，，，，点为的中点，点，分别在边，上，且．证明：．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点，分别在，上，连接、、，，、分别在、上，连接、，，，其中四边形种植玫瑰，和种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形的面积为，为了节约成本，矩形花园的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形的最小面积，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）设的边长为，得出，即可求解；
（2）连接，证明，即可求解；
（3）将绕点逆时针旋转，得到，根据四边形的面积为，得出，则当时，矩形的面积最小，根据，即可求解．
【详解】解：（1）∵是面积为的等边三角形，是的平分线，
∴
设的边长为
∴
∴
∴
解得：，
故答案为：．
（2）如图所示，连接，
∵在中，，，，点为的中点，
∴，，
又∵
∴
在中，
∴
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴
将绕点逆时针旋转，得到，
∴三点共线，
∴四边形的面积等于，
又∵，
∴
过点作于点 ，则
设，则
∴
∴
∵四边形的面积为，
∴，即,
如图所示，作于点，
∵，，，则，
在中，
∴，
同理可得
则
∴，
作点关于的对称点，连接，则是等边三角形，则，
如图所示，依题意，当时，矩形的面积最小，此时与重合，，
∴
∴矩形的最小面积为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，，，，交于点E，若，则 ；
（2）如图2，矩形内接于， ，点 P 在上运动，求 的面积的最大值；
（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边，上分别取点P，Q，修建一条笔直的通道，要求 ，过点 B 作 于点E，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路，并计划在 内种植花卉， 内修建老年活动区， 内修建休息区，在四边形内修建儿童游乐园．问种植花卉的 的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为平方米
【分析】（1）由得，得对应成比例的线段，于是得到结论；
（2）当时，的面积有最大值，解直角三角形求出的高即可得到结论；
（3）连接交 于点M，作的外接圆，过点O作 于点 交于点 交于点I，连接 此时 的面积最小．
【详解】解∶，
，
即
∴设，，
，解得
故答案为：；
(2)如图1，连接．
∵四边形是矩形，
是的直径．
在中，
过点O作，垂足为E，延长交于点
连接 此时 的面积最大．
理由：在上任意另取一点，过点作 垂足为
连接 则 即
∴当，三点共线，且 时， 最大，即 的面积最大．
连接，则
在中，．
，
(3)如下图，连接交 于点M．
∵四边形是正方形，
，，，，
，
，，
,
过点 M作于点N，
,
,
,
，．
在 中，根据勾股定理得 ,
作的外接圆，则O为的中点，
且点 E 在上运动，
过点O作 于点 交于点 交于点I，
连接 此时 的面积最小．
理由∶在上任意另取一点，
过点作 于点 连接
则 即
∴当O，，三点共线，且 时， 最小，即的面积最小．
由题意可得四边形为矩形，
．
,
，
，
的最小值 平方米．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意，画出图形是解题的关键．
题型四 面积的最大值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西咸阳·一模）问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）作交于点C，连接，由垂径定理可知，利用勾股定理即可求出答案；
（2）作交于点D，连接，使面积最大，则应最大，即当经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理以及勾股定理求出，得到，即可求出答案；
（3）设，则，证明是等边三角形，进一步得到，根据二次函数的性质得到当时，有最小值，此时点P与点O重合，则是的直径，求出的最小值为，用圆面积减去的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：作交于点C，连接，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
即点O到的距离是2，
故答案为：2
（2）作交于点D，连接，
∵，若使面积最大，则应最大，
∴当经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即面积的最大值为．
（3）设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，有最小值，
∴
∴，
∴此时点P与点O重合，则是的直径，
∴
此时，即的最小值为，
∴草坪的最大面积为．
【例2】（2024·陕西咸阳·一模）
(1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为 ；
(2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值；
(3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形不等式，勾股定理，垂径定理，特殊角直角三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，
（1）当点O，P，A三点共线，且点A，点P在圆心O的两侧时，最大，等于与半径的和；
（2）连接，交半圆于点，连接，根据，结合勾股定理计算即可．
（3）连接，，过点O作于点R．点H到的距离为，计算面积即可．
【详解】（1）解：如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．
∵点P是上一动点，的半径为2，，
∴，
∴点P到点A的最长距离为7．
（2）如图2，连接，交半圆于点，连接．
∵，为半圆的直径，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴当点P在上时，最短，最小值为．
（3）如图3，连接，，过点O作于点R．
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
如图3，作的外接，
要使最大，则点M到的距离最大，
延长交于点H,
∵，，
∴直线是线段得垂直平分线，
则点K一定在直线上，
连接，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴点H到的距离为，
∴，
∴面积的最大值为．
1．（2024·陕西宝鸡·一模）提出问题：
（1）如图1，在中，，，，则BC边上的高AD的长为______；
问题探究：
（2）如图2，内接于，弦，半径为6，求面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，某园区内有一块直角三角形的空地，在空地边的中点D处修建了一个儿童游乐场，为了吸引更多人来园区，在空地外E处修建一个大型商场，且满足游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直（即），连接，在处种植绿植，其中，测得米，米，请问绿植面积能否取到最大？若能，请求出面积的最大值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积的最大值为；（3）绿植面积能取到最大，面积的最大值为平方米
【分析】（1）利用勾股定理算出，再利用等面积法建立等式求解，即可解题；
（2）过点作于点，延长交圆于点，由为定值，则要面积的最大，即到的距离最大，当到的距离过圆心时最大，即为，利用垂径定理得到，利用勾股定理算出，最后利用三角形面积公式求解即可；
（3）取中点为圆心，为半径，画圆，过点作于点，延长交于点，利用勾股定理算出，由为定值，当到距离最大时，面积的最大，即当到距离过圆心时，此时到距离最大，记为，证明，利用相似的性质求出，进而得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
即，
解得；
故答案为：．
（2）解：过点作于点，延长交圆于点，
弦，半径为6，
要面积的最大，即到的距离最大，
当到的距离过圆心时最大，即为，
，，
，
，
面积的最大值为：；
（3）解：绿植面积能取到最大，
空地边的中点为D， 米，
米，
米，，
米，
为定值，当到距离最大时，面积的最大，
取中点为圆心，为半径，画圆，过点作于点，延长交于点，
游乐场D到商场E的路线与商场E到点C处的路线垂直，
E的运动轨迹为上的弧，当到距离过圆心时，此时到距离最大，记为，
，，
，
，
米，
，
解得米，
米，
面积的最大值为（平方米）．
【点睛】本题考查勾股定理，等面积法求高，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积最大值，解题的关键在于利用圆中线段的特点找出面积最大值所在位置．
2．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)，；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得；
（）先通过证明，得 ，，再由()同理可证；
（）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵∠，
∴，
故答案为：，；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∴，，
∴，
∴，，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，， ，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：由三角形三边关系可知：，即，
∴的最大值为，
由()知，是等腰直角三角形， ，
∴时，最大，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），连接点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点，连接．
(1)的度数；
(2)连接，求证：；
(3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）由正方形的性质得到，由对称的性质得到，则由三线合一定理得到，由此可得，即；
（2）如图所示，过点A作交的延长线于，先证明再证明，进一步证明，得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，过点作于H，取中点O，连接，先求出出，则，由，得到，由，可知当最大时，最大，则最大为．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
由对称的性质得：，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，即；
（2）证明：如图所示，过点A作交的延长线于，
∴，
在正方形中，，
∴，
由（1）可知：，
∵，点为的中点，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点作于H，取中点O，连接，
∵正方形的边长为10，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当最大时，最大，
∴最大为
．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理等等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）（1）【操作发现】
如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化 若不变，求的值；若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度．
（2）【类比探究】
如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．
【答案】①的值不变，为；②或；（2）24
【分析】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可；②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论；
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论．
【详解】
解：（1）①的值不变，理由如下：
如图2中，连接．
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵在图1中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，
∴，
综上所述，的长为或．
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，
当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，
∴的面积的最大值为16，
∴四边形的面积的最大值．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
()
