2024年中考数学二轮复习专项训练：二次函数综合（线段周长问题）
1．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
2．如图，过点的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)连接，，点为直线下方抛物线上一动点，点与点关于轴对称，分别过，作轴的平行线交于点，，求的最大值及此时点的坐标；
(3)另一条过点的抛物线的顶点位于直线上，该抛物线与轴的另一交点为点，连接，，若，请直接写出满足条件的点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与x轴交于、，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；
(3)抛物线的顶点为D，过定点Q的直线与二次函数交于E、F，外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标：
(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答．
5．抛物线可以写成的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
(1)直接填空：______；
(2)当时，图像如图1所示．
①试判断的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
(3)现以为直径画圆，交直线于点，连接，当时，请直接写出的取值范围．
6．如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值；
(3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与轴交于另一点，顶点坐标为，过点的直线与抛物线交于点B，C，且点在点的左侧．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接，当的面积与的面积之比为时，求直线的函数表达式；
(3)若有直线，点到直线的距离为，点到直线的距离为，求证：．
8．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得 若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点是第四象限内抛物线上一点，轴交于点,交轴于点，求的最大值；
(3)如图，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
11．已知抛物线交y轴于点，交x轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线l经过A，B两点，过点P作轴于点E，交直线l于点F，若，求点P的坐标；
(3)如图2，若G为x轴正半轴上一点，且，连接，当时，直接写出点P的横坐标．
12．综合与探究
抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)若连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，．
(1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标；
(2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标；
(3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标．
14．如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C，连接、．
(1)求抛物线解析式．
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交于点K，交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将原抛物线沿x轴向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线交x轴于点、，点G为新抛物线对称轴与x轴的交点，点M为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
15．已知二次函数的图像经过点，点，点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过，两点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是抛物线上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
17．抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点．点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)如图1，连接，，，若的面积为，求的值；
(3)连接，过点作于点，是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，直线与抛物线的另一个交点为，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是第四象限内抛物线上一动点，过P点作轴于点M，作的平行线交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取最大值的条件下，将抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点，点E是新抛物线的对称轴上一点，在平面直角坐标内确定一点F，使得以点A，P，E，F为顶点的四边形是矩形，请直接写出所以符合条件的点F的坐标，并选取其中一个点的坐标，写出求解过程．
()
()
参考答案：
1．(1)
(2)有最大值，点的坐标为
(3)满足条件的点的坐标有或或
【分析】
本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的的图象和性质，用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及平行四边形的性质．
（1）先求出点A和点B的坐标，根据点B和点C的坐标得出，再将点A的坐标代入，求出a的值即可；
（2）延长交于点，设，则，则，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意得出抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，进而得出，设，，根据平行四边形的性质，进行分类讨论①当为边时，②当为对角线时，即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的表达式为：，
把代入得：
，
解得：，
故该抛物线得表达式为；
（2）解：延长交于点，
设：，则，
，
∵，
∴当 时，有最大值，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵点M在新抛物线上，
∴设，
①当为边时，
则点向右平移4个单位得到点，同样点向右平移4个单位得到点，
即，
解得：或6，
即点的坐标的坐标为：或；
②当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
则；
综上，满足条件的点的坐标有或或．
2．(1)抛物线的解析式为
(2)点坐标为
(3)或
【分析】
本题考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，面积问题；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设点坐标为，则点坐坐为点坐标为点坐标为，过作，交于点，可得．进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，得出，进而求得，进而即可求解．
【详解】（1）设抛物线解析式为，将代入得
，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）设直线，
将代入得
解得，
故直线的解析式为，
假设点坐标为，
根据对称性，点坐坐为
轴，轴，
点坐标为点坐标为，
则，
过作，交于点，可得．
即是等腰直角三角形，
∴，
即，
，
∴当时，取最大值为，此时点纵坐标为，
点坐标为．
（3）解：∵直线的解析式为，设抛物线的顶点坐标为
设直线交轴于点，则，则是等腰直角三角形，
∴，
过点作轴于点，
则是等腰直角三角形，
∵关于对称，又
∴
如图所示，为等腰直角三角形，，设，则
∴
如图所示，当在点的左侧，且抛物线开口向下时，
∴
解得：，
则
当在点的右侧，且抛物线开口向下时，
∴
解得：，
则
如图所示，当抛物线开口向上，且在的右侧时，如图所示，
∴
∴此情形不存在
综上所述，或
3．(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，三角形外接圆，正切等知识点；
（1）把根据、设抛物线解析式为，在把代入计算即可；
（2）设点H纵坐标为，，，然后根据点H到x轴的距离是线段MN的，列方程计算即可；
（3）证明是直角三角形即可得到外接圆的圆心为线段的中点．
【详解】（1）∵二次函数图像与x轴交于、，
∴设抛物线解析式为，
把代入可得，
解得，
∴二次函数的解析式
（2）根据题意设设点H纵坐标为，，，
则、是两根
∴，，即，
∵点H到x轴的距离是线段MN的，
∴
∴
∴
解得
∴
（3）对称轴为直线：，顶点
过作于，过作于，
设、，
∴，
，
∵直线与二次函数交于E、F，
∴、是两根，整理得，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，即，
∴外接圆的圆心为线段的中点，
∵、，
∴的中点坐标为
∵，
∴
令，消去得，
∴外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式为．
4．(1)
(2)的最大值为，
(3)
【分析】
（1）用待定系数法，将点，点坐标代入，即可求解，
（2）先证明，得出，设，求出，则，然后证明是等腰直角三角形，得出，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）利用圆周角定理判断出当的外接圆与对称轴相切时，的度数最大，然后设，，利用相等构造方程组求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入可得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线解析式为，
过点F作于H，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值为，
此时，
∴的最大值为，；
（3）解：∵，
∴对称轴为，
作的外接圆，记为，
∵点M在对称轴上运动，
∴对称轴与相交或相切，
设与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点，连接，，，，与相交于点N，
则，
由，
∴，
∴当与对称轴相切时，的度数最大，
此时，
设，，则
∵，
∴，
整理得，
解得（舍去），，
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：
（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，
（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，
（3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置．
5．(1)
(2)①是等腰直角三角形；②；的最大值为
(3)且，
【分析】
（1）当，得出；
（2）①分别求得的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
②先求得直线的解析式，进而表示出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解；
（3）分在点的左侧与右侧两种情况讨论，根据的最小值为，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
∴；则
故答案为：．
（2）解：①当时，
当时，
解得：
∴，
∴，
又∵,
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
②∵，,
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为
∵点P的横坐标为，
∴
∵过点作轴交直线于点，设，
∴直线的解析式为，则，
∴的横坐标为
∴
∴当时，的最大值为
（3）解：∵
当时，
∴,，
如图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点，
∴，
∵，则是等腰直角三角形，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，,
又∵,
即
将作为整体，解得：或
∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
当时，
当时，则为的中点，如图所示
∴，即的最小值为,
则或
∴或；
如图所示，当点在点的右侧时，如图所示，
∴
∵，则是等腰直角三角形，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，,
又∵,
即
将作为整体，解得：或
∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
综上所述，当时，且，
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，线段周长问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(1)
(2)的最大值是
(3)或
【分析】
（1）将，，，分别代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）由，当时，，则，，直线的解析式为．设，则，，求得，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）抛物线向上平移个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，②当抛物线经过点，时，分别代入即可求解．
【详解】（1）
解:将，，，分别代入抛物线得，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：如图所示:
由，当时，，则，，
，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
直线的解析式为．
设，则，，
∴，
当时，的最大值是．
（3）
解：抛物线向上平移个单位后解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，则，解得．
②当抛物线经过点，时，，解得；
当抛物线经过点，时，，解得，
∴时，满足题意．
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线和抛物线的交点问题，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先将代入直线解析式得到，然后与抛物线联立得到，求出和，然后根据题意得到，代入和得到，进而求解即可；
（3）由（2）求出，，然后根据题意得到，，然后代入整理求解即可．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为
∴设抛物线解析式为
∵抛物线经过原点
∴将代入得，
解得
∴；
（2）∵直线过点
∴
∴
∴直线
联立
整理得，
解得，
∴
∵的面积与的面积之比为
∴
∴
∴
整理得
将，代入
整理得
∴
∴
∴或（舍去）
∴直线的函数表达式为；
（3）由（2）得，，
∴，
∵有直线，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴，
∴
．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求解析式，面积综合题，解一元二次方程等知识，解题的关键是正确表示出点B和点C的坐标．
8．(1)点B的坐标是，直线BC的表达式是；
(2)点的坐标是或；
(3)存在，点的坐标是或．
【分析】
（1）令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，解方程得或，
∴点B的坐标为；
令，则，
∴点C的坐标为；
设直线的表达式为，则，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：作轴，垂足为，交直线于点，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴或，
当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图，
作轴于点，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
当时，设交轴于点，此时，如图，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，
同理，求得直线的表达式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
综上，点的坐标是或．
【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．
9．(1)
(2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为
(3)存在，或或
【分析】
（1）令时，求解即可；
（2）求出C点坐标，进而直线的解析式，设出P点，表示出，利用配方法即可求解；
（3）设出点Q，分三种情况讨论，作出辅助线①如图1，当点A为直角顶点时，即，②如图2，当点P为直角顶点时，即，③如图3，当点Q为直角顶点时，即，构造相似三角形进行求解即可．
【详解】（1）
解：二次函数的图象与轴交于和两点，
当时，即，
解得：，
；
（2）
解：当时，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的表达式为，
设，则，
，
，
当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为；
（3）解：存在．
设，
如图①，当点为直角顶点时，即，
此时，点在第二象限，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，则，
，
，
，
又，
，
，即，
解得：（舍去）
；
如图②，当点为直角顶点时，即，此时，点在第四象限，，
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作垂足为点，
，
，
由图②可知，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
解得：（舍去）
；
如图③当点为直角顶点时，即，过点作轴于点，过点作于点，
，由图③可知，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
解得：，
即点与点重合；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，二次函是与线段的综合应用，特殊三角形的存问题，三角形相似的判定与性质解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点B作交于点E，证明四边形为平行四边形，得出，根据，得出，证明，求出直线的解析式为：，设，，得出，求出，得出最大值即可；
（3）连接并延长交x轴于点K，交于点L，求出新的抛物线解析式为，求出，，得出，分两种情况：当轴时，当轴时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：过点B作交于点E，如图所示：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴为直角三角形，
把代入得出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线沿方向平移个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：个单位，
∵抛物线，
∴抛物线沿方向平移个单位后新抛物线的解析式为：
，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，，
∴，，
∴，，
∴，
当轴时，连接并延长交x轴于点K，交于点L，如图所示：
∴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴点的横坐标为；
当轴时，连接并延长交y轴于点K，交于点L，如图所示：
∵，，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴此时直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴此时点的横坐标为；
综上分析可知，点的横坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，二次函数解析式，求一次函数解析式，折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论，准确计算．
11．(1)
(2)或
(3)或
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线解析式为，设点E坐标为，则点，．分，，，四种情况分类讨论，表示出的长，再根据列出方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解．
（3）先求出．分两种情况讨论：①如图1，当时，作，交于点H，作轴于点K，作于点Q．证明为等腰直角三角形，进而证明，得到，求出直线解析式为，根据点P为直线与抛物线的交点，得到，解方程，舍去不合题意的解；②如图2，当时，作，交于点M，作轴于点N．为等腰直角三角形，证明，得到，求出直线解析式为，根据点P为直线与抛物线的交点，得到方程，解方程，舍去不合题意的解即可．
【详解】（1）解：∵点、在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点C坐标为．
设直线解析式为，
将点、代入得，
∴，
∴直线解析式为，
∵轴于点E，
设点E坐标为，则点，．
① 如图3，当时，
∴，，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
∴点P的坐标；
② 如图4，当时，,
∵
∴此种情况没有符合条件的点；
③如图5，当时，
，，
∵
∴，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
∴点P的坐标；
④如图6，当时，
，，
∵
∴，
解得，
方程的两个解都不符合题意，舍去，
所以此种情况不存在符合条件的点P；
综上所述：符合条件的点P的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
①如图7，当时，作，交于点H，作轴于点K，作于点Q．
∵，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵轴，，轴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线解析式为，
∵点P为直线与抛物线的交点，
∴
解得得，（不合题意，舍去）
∴此时点P的横坐标为；
②如图8，当时，作，交于点M，作轴于点N．
∵，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线解析式为，
∵点P为直线与抛物线的交点，
∴
解得，（不合题意，舍去）
∴此时点P的横坐标为；
综上所述：点P的坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数与一元二次方程的关系等知识，综合性强，难度较大．熟知相关知识并根据题目条件添加合适辅助线是解题关键．
12．(1)
(2)，当时，取得最大值2，此时点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案；
（3）分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可．
【详解】（1）抛物线与轴交于点和，
，解得：
该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，
，设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，设，则，
，
，，
当时，取得最大值2，此时点的坐标为；
（3）存在点使得为直角三角形，
设，
，，
，，，，
当时，如图，轴，
；
当时，如图，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．
13．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】
（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可；
（2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可；
（3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可．
【详解】（1）
解：由题意可知：，
当时，，即点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，代入抛物线得：，
，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
（2）
解：由（1）得，令，即，
解得：，，
，，
，，，
设点，
①当为的最长边时，得，
，
解得：，
点；
②当为的最长边时，得，
，
，
点；
③当为的最长边时，得，
解得：无解，所以这个点不存在，
综上所述，点的坐标为或；
（3）
解：点在函数图象上，则设点，
二次函数对称轴为，
，，
，
，
或，
解得：，或，，
当时不符合题意，
故或，
故点的坐标为或．
【点睛】
本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题．
14．(1)
(2)最大值为，
(3)或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过P作轴于H，交于Q，先根据坐标与图形性质和锐角三角函数关系以及平行线的性质求得，，求得直线的表达式为，设，，则，，
进而可得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移性质得，，，进而可得，，利用锐角三角函数关系结合已知可求得，设，且，分点M在x轴上方时和点M在x轴下方时，利用解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过P作轴于H，交于Q，如图1，
当时，，则，，
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
则，，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
设，则，
∴，，
∴
，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，此时；
（3）解：如图2，
由平移性质得，，，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，且，
则，
当点M在x轴上方时，，
整理，得，解得，（舍去），
∴，则；
当M在x轴下方时，，
整理，得，解得，（舍去），
∴，则，
综上，满足条件的点M坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、锐角三角函数、平移性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和转化思想求解是解答的关键．
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由题意得：，再表示△PMN周长为即可求解；
(3)当点H在点P的右侧时，得到，求出点 N的坐标，联立抛物线和的表达式即可求解；当点在点P的左侧时，利用轴求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴设抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入，得，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由点的坐标知，
，
则，
设直线的表达式为：，
把点代入，得
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则周长
，
∵，
∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ；
（3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，
延长交x轴于点N，
∵，则 ，
设点，
由得： ，
解得：，
则点 ，
由点的坐标得，直线的表达式为：
联立抛物线和的表达式得：
，
解得： (舍去) 或，
即点H的横坐标为：；
当点在点P的左侧时，如上图，
∵，
则轴，
则点横坐标为：，
综上，点H的横坐标为：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键．
16．(1)
(2)点坐标为或
(3)的坐标为或或．
【分析】
（1）先由直线解析式求出点、坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得；
（2）先求出，设，作轴、轴，知，则，由知，结合，可得，，从而得出方程，解之得，，据此得出点坐标；
（3）分三种情况，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别求解可得．
【详解】（1）
解：在中，当时，当时，
，，
抛物线的图象经过、两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）
令，
解得，，
，
设，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
，
，
，
，
点的横坐标为，
点在直线上，
，
，，
，
，
解得，，
当时，，
当时，，
，，
综上所述：点坐标为或；
（3）
抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴方程为，
在（2）的条件下，点位于对称轴左侧，
，
点是抛物线对称轴上一点，
设，
，，
当为对角线时， 则
解得：，则
∴
当为对角线时， 则
解得：，则
∴
当为对角线时， 则
解得：，则
∴
综上所述，的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
17．(1)，顶点
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
（）利用待定系数法求出直线解析式为，过点作轴交于点，设点，点，根据的面积为，可得出关于的方程，解方程即可得到的值；
（3）设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，可得，则，是等腰三角形，证明，根据相似三角形的性质可得，，，求出直线的解析式为为，联立得方程组，解方程组即可求得点的坐标．
【详解】（1）
解：将点，点代入得：
，
解得：．
抛物线的表达式为．
，
顶点，．
（2）
点，，点，，
直线解析式为，
过点作轴交于点，
设点，点，
∴
的面积为，
（3）
解：在中，
，
设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，
，，
，
，，．
，．
中，，
，
，
是等腰三角形
，，
，
，为的中点．
是等腰三角形，．
，
．
．
．
设直线的解析式为，
∴，解得：．
∴直线的解析式为．
∴，
解得：，
∴．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
18．(1)
(2)36;
(3)或
【分析】
本题考查了求一次函数与二次函数的解析式、求二次函数的最大值、平移变换等多个知识点，解题的关键正确画出图形．
（1）用待定系数法即可求得抛物线表达式．
（2）设，先求得直线的解析式，再求得点Q的坐标，再构造，求得的表达式，再代入，求得其最大值及点P的坐标．
（3）先求得平移后的新抛物线解析式，然后求得对称轴，画图分两种情况讨论即可．
【详解】（1）∵在抛物线上，
∴解得：
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）如下图，自点Q作延长线的垂线，垂足为点N．
∵抛物线与y轴的交点，与x轴交于，
设直线的方程为，则，解得：，
即直线的方程为．
设点，由于，设的方程为，
将点P的坐标代入，求得，
∴直线的方程为，
设直线的方程为，
将坐标代入，解得：
∴直线的方程为．
联立方程组
解得：．
∴
由得，
∴．
∴
．
当时，取得最大值36，此时．
∴的最大值为36，此时．
（3）∵原抛物线的方程为，
∴当抛物线向右平移2个单位时，点A恰好经过原点O，则平移后的新抛物线方程为：，即．
故对称轴为：．
当点A，P，E，F为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如下图，点E在x轴的上方，则点．
②如下图，点E在x轴的下方，则点．
先确定点E的位置．因直线与抛物线对称轴、x轴均构成，且，
所以与抛物线对称轴构成，即是图示小正方形的对角线，则点E的坐标相对于点P的坐标向右、向上平移1个单位，根据矩形的性质可知，点F相对于点A也向右、向上平移一个单位，因点，所以点．
故所有符合条件的点F的坐标是或．
()
()
