2023-2024学年高一下学期数学-第七章复数单元测试卷（人教A版2019必修第二册）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023-全国-高一专题练习）计算:等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查复数的四则运算法则,按照法则计算即可.
【详解】
.
故选:D.
2．（2023-陕西安康-陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【详解】，
由已知得，解得，
故选：D
3．（2023-四川资阳-统考模拟预测）已知复数，且，则ab=（ ）
A．-9 B．9 C．-3 D．3
【答案】D
【分析】由题意可得，化简后利用复数相等即可解得，，从而可解.
【详解】由题意可得，则，
从而，，故．
故选：D
4．（2022上-广西玉林-高三校联考阶段练习）已知复数z满足，且，则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，由已知条件列方程求解.
【详解】解：设，则
有，解得．
由，解得或（不合题意，舍去），
有，∴．得．
故选：D．
5．（2023上-山西太原-高三统考阶段练习）若复数满足是虚数单位,则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先设复数,代入即可得关于的等式,进而可求.
【详解】解:由题知不妨设,
因为
所以
,
所以，,
故,,
所以.
故选:C
6．（2024上-江苏镇江-高三扬中市第二高级中学期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】
根据实系数一元二次方程的根与系数的关系求出即可得解.
【详解】因为是关于x的方程（a，）的一个解，
所以是一元二次方程的另一个解，
由根与系数的关系可知，
即，
所以，虚部为，
故选：B
7．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的运算性质即可求解.
【详解】由题意，，
可得，
则.
故选：B
8．（2021高一·江苏·专题练习）已知z1 z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】z1+z2=2i，可得z2=2i﹣z1，|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，然后根据复数的几何意义和复数的差的模的几何意义即可得出.
【详解】解：z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，
则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，
|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所对应的点坐标为A(0,1),
|z1﹣i|表示P,A的距离，
∴|z1﹣i|≤3,
2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号.
|z1﹣z2|的最大值为6，
故选：B.
【点睛】本题考查了复数的运算法则 圆的复数形式的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.关键是复数的几何意义的应用.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．的模是
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·辽宁大连·一模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据共轭复数定义可得，代入选项由复数的四则运算以及模长公式计算，逐一判断可得结论.
【详解】由可得，
所以，即A正确；
可得，即B正确；
，，显然错误，即C错误；
，而，所以D错误.
故选：AB
11．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】先设，代入中化简，根据为纯虚数得出：，且即可判
断选项A、C；由可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项D.
【详解】由题意设，
则.
因为为纯虚数，
所以，且，即，且.
因此，故选项A正确；，所以故选项B正确；
因为在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点不在实轴上，故选项C错误；
因为表示圆上的点到点的距离，
且最大距离为，故选项D正确.
故选：ABD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2022-全国-高一专题练习）若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .
【答案】9π
【分析】直接判断出点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，即可求出.
【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
故答案为：9π
13．（2020下-山东济宁-高一统考期末）在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 .
【答案】
【分析】利用复数的几何意义，由求解.
【详解】因为向量，对应的复数分别是，，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.
14．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）若复数，则 .
【答案】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数乘方法则计算可得.
【详解】因为，
又，，，所以，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（22-23高一下·福建福州·期中）（1）计算：；
（2）若复数为纯虚数，求的值．
【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）由复数的实部等于0且虚部不等于0，求解即可．
【详解】（1）原式=
（2）
为纯虚数，
，
或（舍去），即
16．（15分）（2022下-福建三明-高一三明一中校考期中）已知复数．
(1)若，求a的值；
(2)求的最小值，
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解；
（2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值.
【详解】（1）解：由复数，
可得，
所以，解得或．
（2）解：由复数，
可得，
所以当时，有最小值，最小值为.
17．（15分）（2020-高一课时练习）已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
18．（17分）（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若且是纯虚数，求.
【答案】(1)1
(2)
【分析】
（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
（2）根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出的值，即可得
到，再根据复数的乘方的性质计算可得.
【详解】（1）复数，则，
又，因此，解得，所以实数的值是1.
（2）复数，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，
则，即有，
所以.
19．（17分）（22-23高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
【答案】(1)或
(2)①存在，；②，最大值为2
【分析】
（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求；
（2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设
则，再由题意得，从而可求得结果，
②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值.
【详解】（1）因为复数，
所以，
而为纯虚数，因此，即.
又因为，且，所以，
由，解得或，
所以或.
（2）①存在，理由如下：
法一：由题意知：，得，
解得或 ，
因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以；
法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则，
所以即，
所以，所以 ，
且时，满足.
所以.
②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线，
所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为
则且，
因此的面积，
，
设，则，
当且仅当且，即或时等号成立，
所以，其最大值为2.
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题.2023-2024学年高一下学期数学-第七章复数单元测试卷（人教A版2019必修第二册）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023-全国-高一专题练习）计算:等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023-陕西安康-陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2023-四川资阳-统考模拟预测）已知复数，且，则ab=（ ）
A．-9 B．9 C．-3 D．3
4．（2022上-广西玉林-高三校联考阶段练习）已知复数z满足，且，则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上-山西太原-高三统考阶段练习）若复数满足是虚数单位,则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2024上-江苏镇江-高三扬中市第二高级中学期末）已知复数是关于x的方程（a，）的一个解，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．5
7．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2021高一·江苏·专题练习）已知z1 z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．的模是
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．（2024·辽宁大连·一模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2022-全国-高一专题练习）若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .
13．（2020下-山东济宁-高一统考期末）在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 .
14．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）若复数，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（22-23高一下·福建福州·期中）（1）计算：；
（2）若复数为纯虚数，求的值．
16．（15分）（2022下-福建三明-高一三明一中校考期中）已知复数．
(1)若，求a的值；
(2)求的最小值，
17．（15分）（2020-高一课时练习）已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
18．（17分）（22-23高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若且是纯虚数，求.
19．（17分）（22-23高一下·辽宁锦州·期末）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
(1)若为纯虚数，求；
(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
