2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷07
（新高考、新结构、新情境）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 21 D. 19
4.已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
5.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A B. C. D.
6.早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ）
A. B. 1 C. D.
8.在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，若，则的值可以为（ ）
A B. C. D.
10.已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ）
A. 点是的图象的一个对称中心 B. 为周期函数，且4是的一个周期
C. 为偶函数 D.
11.在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥体积的最大值为 B. 点都在同一球面上
C. 点在某一位置，可使 D. 当时，
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为 .
13.已知圆锥轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积 表面积分别为，球的体积 表面积分别为，则__________.
14.已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正切值．
16．（本小题满分15分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围．
17．（本小题满分15分）甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．
（1）当时，求球又回到甲手中的概率；
（2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
（3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．
18．（本小题满分17分）已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上．
（1）求抛物线和圆的标准方程；
（2）若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标．
19．（本小题满分17分） 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷07（新高考、新结构、新情境）
参考答案
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C D A B A
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9 10 11
BD AC ABD
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12． 15 13． 1
14． 6
三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.
15．（本小题满分13分）
【答案】（1）证明见解析； （2）2.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
（2）由已知结合（1）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，由直角梯形求出，求出相关点的坐标，利用线面角的向量求法计算得解.
小问1详解】
平面平面，且平面平面平面，
则平面，而平面，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，而，平面，则平面，
以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
过作于点，则四边形是矩形，则，
，由，得，
又四棱台的底面为正方形，，则，
则，，
，
设是平面的一个法向量，则，取，得，
设直线与平面所成角为，有，
则，，
所以直线与平面所成角的正切值为2．
16．（本小题满分15分）【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为，即．
【小问2详解】
当时，等价于，
令，，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意．
综上所述，．
17．（本小题满分15分）
【答案】（1）； （2）分布列见解析，； 证明见解析，.
【解析】【分析】（1）考虑传球过程中，是否传给甲，分类讨论，根据古典概型的概率计算公式即可求得结果；
（2）求得的取值，结合（1）中求解思路，求得对应取值下的概率，即可求得分布列，再求数学期望即可；
（3）讨论次传球后，人接过球的人数情况，构造等比数列，结合等比数列通项公式的求解，即可证明并求得通项公式.
【小问1详解】
传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有种；
传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有种，
传球的过程中传给甲，有种；
故传球次，球又回到甲手中的概率为.
【小问2详解】
根据题意可得，
，，
，
故的分布列如下所示：
则.
【小问3详解】
次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：
第一种，时，次传球后，此人均接过他人传球，则其概率为；
第二种，时，次传球后，此人中只有人接过他人传球，则第次传球时将球传给剩余的1人，
其概率为：；
所以当时，，
故，因为，.
所以数列从第3项起构成等比数列，
，则.
（本小题满分17分）【答案】（1）， （2）
【解析】
【分析】（1）借助准线方程可得抛物线方程，借助切线性质，结合待定系数法计算可得圆方程；
（2）设、的斜率分别为、，则可用其表示出、两点坐标，即可表示出的周长，借助点到直线距离公式可得，则有，即可得、是关于的方程的两个不同根，结合韦达定理计算即可得.
【小问1详解】由抛物线准线方程为，故，即，故，
由圆心在直线上，设，圆的半径为，
则有，，
整理可得，，
即，故，则，
即圆；
【小问2详解】由题意可得，直线、的斜率存在，设、的斜率分别为、，
则，，
对，令，则，即，同理可得，
则，
同理可得，，
即，
有，则有，
即，,
则，
，
由亦可得，
同理可得，
故、是关于的方程的两个不同根，
，
有，，
则
，
则当取最大值时，的周长最小，
即，即时，的周长最小，
此时，即的坐标为.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助点到直线距离公式，得到，从而得到、是关于的方程的两个不同根，即可借助韦达定理表示出、与、的关系，以代入计算周长.
19．（本小题满分17分）【答案】（1）， （2） （3）
【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【小问1详解】由题意知，，
所以．
【小问2详解】对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
【小问3详解】
对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
