18.1 平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1．【2023大庆】将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( )
A.45°＋α B.45°＋α C.90°－α D.90°－α
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.若OE＝3，则AB的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
3．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝( )
A．70° B．40° C．75° D．30°
5．菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是( )
A．80 B．60 C．40 D．30
6．若菱形的周长为16，高为2，则菱形的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．32
7．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A． B．1 C． D．2
10．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为E，F.若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE－PF的值为( )
A. B. C．2 D.
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
二、填空题
12．【2023福建】如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
13．在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是 .
14．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝，则CE的长为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.若AC＝8，BD＝6，则四边形ACDE的面积为 .
三、解答题
16．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF.求证：DE＝DF.
17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
19．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F.
(1)求证：EO＝DC；
(2)若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求菱形ABCD的面积．
20．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若DE＋EF＝10，求菱形ABCD的周长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、选择题
1．【2023大庆】将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( D )
A.45°＋α B.45°＋α C.90°－α D.90°－α
【解析】∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＋∠DBE＝β＋α.
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝β＋α.
∵∠BAD＋∠ADB＋∠ABD＝180°，
∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，
∴β＝90°－α.
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.若OE＝3，则AB的长是( A )
A．6 B．5 C．4 D．3
3．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( B )
A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝( A )
A．70° B．40° C．75° D．30°
5．菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是( C )
A．80 B．60 C．40 D．30
6．若菱形的周长为16，高为2，则菱形的面积为( C )
A．4 B．6 C．8 D．32
7．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( C )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( B )
A． B．1 C． D．2
【解析】如图，取AD的中点M '，连接M'N，M'P，则有MP＝M'P.所以MP＋PN的最小值为线段M'N的长，即菱形的边长.
10．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为E，F.若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE－PF的值为( B )
A. B. C．2 D.
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( A )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
【解析】如图，连接BD，AC.由题意及菱形的性质证得△BEF，
△DHG，△OEH和△OFG均为等边三角形，由AB＝2，∠A＝120°，可求得BE＝EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长为3＋.
二、填空题
12．【2023福建】如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
【答案】10
【解析】由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10.
13．在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是 .
【答案】18
14．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝，则CE的长为 ．
【答案】4或2
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.若AC＝8，BD＝6，则四边形ACDE的面积为 .
【答案】24
三、解答题
16．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF.求证：DE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝CD－CF，
∴DE＝DF.
17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
解：由题意，得OD＝2，CD＝4，
∴OC＝＝2 ，
∴AC＝4，
∴S菱形ABCD＝×4×4＝8.
18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
解：(1)证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．
(2)∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理，得
OD＝＝3，∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积为AC·DE＝×8×6＝24.
19．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F.
(1)求证：EO＝DC；
(2)若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，
∴四边形AEBO是矩形，∴EO＝AB.
在菱形ABCD中，AB＝DC，∴EO＝DC.
(2)解：由(1)知四边形AEBO是矩形．
∴∠EBO＝90°.∵∠EBA＝60°，∴∠ABO＝30°.
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°，
∴AO＝5，BO＝＝5，∴BD＝10，
∴菱形ABCD的面积
＝△ABD的面积＋△BCD的面积
＝2×△ABD的面积＝2××10×5＝50.
20．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD，∵EF＝，∴OD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2OD＝6，
由(1)知AC⊥BD，在Rt△AOD中，AO＝2，OD＝3，
∴AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4.
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若DE＋EF＝10，求菱形ABCD的周长．
解：(1)证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∵∠BAD＝45°，∴∠ADE＝∠BAD＝45°，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠OAB＋∠ABD＝∠BDE＋∠ABD＝90°，
∴∠OAB＝∠BDE，
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB(ASA)．
(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，∴EF＝EB，
∴AB＝AE＋EB＝DE＋EF＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×10＝40.
