2024届高三数学（重点班）大练5
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据中位数相等，则删除的数为（ ）
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
5．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A． B．64 C． D．32
6．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足,则三角形ABC的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A． B．
C． D．角的终边在第一象限
10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，
AD与平面ABC成角的正切值为
D．当时，的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12．平面向量满足，，，则______．
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .
14.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,且当时,,则 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16. 小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响.
（1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
（2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望.
17. 如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且.
(I)求证:平面平面;
(II)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求的取值范围．
19. 已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
2024届高三数学（重点班）大练5
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知，则“”是“”的（ ）B
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知角的终边过点,则( )B
A. B. C. D.
3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )D
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据中位数相等，则删除的数为（ ）B
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
5．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）A
A． B．64 C． D．32
6．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ A ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( )C
A. B. C. D.
8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足,则三角形ABC的面积的最大值是( A )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）ACD
A． B．
C． D．角的终边在第一象限
10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】对B，，B正确；
对A，，，A错误；
对C，，，C正确；
对D，
，D正确.
故选：BCD.
11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，
AD与平面ABC成角的正切值为
D．当时，的最小值为
【详解】
当平面与平面垂直时，，平面与平面的交线为，
平面，，，故AB正确；
当三棱锥体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，即平面与平面垂直时，由上面可知，平面，故AD与平面ABC成角为，
因为，所以，，，
，故C正确；
当时,由知平面，所以，将三角形AEF沿AE折叠到与三角形AEC共面，则与BC共线，所以当与重合时，的最小值为，如图，
由三角形中位线知，所以，
即的最小值为，故D错误.
故选：ABC
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B A A C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
题号 9 10 11
选项 ACD BCD ABC
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12．平面向量满足，，，则______．
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .
14.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,且当时,,则 . -6
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
解：①由 得（正弦定理2分）
得，或（每个答案1分）
只写一个答案扣1分
由（正切公式给2分）
（也给2分）（对或进行讨论也给2分）
得，又
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
②由得
（切化弦就给2分）
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
16. 小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响.
（1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
（2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望.
解：记事：两轮猜谜中，小强猜中第个；事件：两轮猜谜中，小基猜中第个.
【小问2详解】
“联盟队”两轮得分之和
所以“联盟队”两轮得分之和的分布列为
0 1 2 3 4 6
所求数学期望.
17. 如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且.
(I)求证:平面平面;
(II)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值.
解:(I)取BC中点为,连接在底面内的射影恰好是BC中点,
平面ABC,又平面,
又,
平面平面,
又平面平面平面.
(II)以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,,
,
,
设平面的法向量为,
则有,令,则,
设平面的法向量为,
则有,令则,
,
平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求的取值范围．
解：（1）由题设得A、B两点关于原点对称，设，则，
且，两式相减得，所以，．
联立，，整理得，
解得．
用代替上述坐标中的k，可得或
（2）由（1）得，
当且仅当时等号成立．
当时，有最小值4，但此时斜率不存在，故．
19. 已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
【小问1详解】
，，当时，，
两式相减得，即，
则有，当时，，则，即，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，则，数列是等差数列，
于是，解得，则，
所以的前项和
.
小问3详解】
由（1）知，，
由成等差数列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，则,
从而，显然，即，
所以存在，使得成等差数列.
