第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A.20° B.60°
C.70° D.80°
2.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A. B.1
C. D.
3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A.2 B. C.3 D.4
4.如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC于点E，若AC＝6，BD＝8，则BE的长是（ ）
A. B.
C. D.4
5.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
二、填空题
6.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 .
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
8.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝ cm.
9.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 .
10.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 .
11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.
（1）图中∠BHO ∠ADB（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）若OH＝4，菱形ABCD的面积为32，则CD的长为 .
三、解答题
12.如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD.
13.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积.
14.将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD.
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为 cm.
15.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
1
参考答案
一、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
A.20° B.60°
C.70° D.80°
2.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ D ）
A. B.1
C. D.
3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ B ）
A.2 B. C.3 D.4
4.如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC于点E，若AC＝6，BD＝8，则BE的长是（ A ）
A. B.
C. D.4
5.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( A )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
【解析】如图，连接BD，AC.由题意及菱形的性质证得△BEF，
△DHG，△OEH和△OFG均为等边三角形，由AB＝2，∠A＝120°，可求得BE＝EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长为3＋.
二、填空题
6.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 .
【答案】24
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
【答案】10
8.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝ cm.
【答案】2
9.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 .
【答案】2.5
10.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 .
【答案】10°或80°
11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.
（1）图中∠BHO ∠ADB（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）若OH＝4，菱形ABCD的面积为32，则CD的长为 .
【答案】＝ 8
三、解答题
12.如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠CAB＝∠CAD.
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO.∴OB＝OD.
13.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD.
∵在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，
∴CD＝2OD＝4.
∴OC＝＝＝2.
∴AC＝2OC＝4.
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.
14.将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD.
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为 cm.
解：（1）证明：∵△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE.
∴AC∥DF.
∴四边形AFDC是平行四边形.
（2）18
15.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
解：（1）证明：∵四边形ABCD
是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS）.
∴AE＝AF.
解：（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°.
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由（1）知，△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
∴△AEF是等边三角形.
∴∠AEF＝60°.
