2024年广西河池市南丹县中考数学一模试卷
一．选择题
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
4．下列计算正确的是（ ）
A．n+n＝2n2 B．3n 4n＝12n C．n6÷n2＝n3 D．（2n）3＝8n3
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．140° B．130° C．50° D．120°
6．如图，已知AB为⊙O的直径，∠ABD＝25°（ ）
A．80° B．70° C．65° D．50°
7．如图，直线a∥b，截线c，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
8．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
9．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°（ ）
A．3 B．+1 C．2+1 D．2+
10．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题
11．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为 ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有一个根为x＝2，则m的值为 ．
13．分解因式：a2﹣25＝ ．
14．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 ．
15．如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．如图②，（F不与C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3 ．
三、解答题：.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
18．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；
（2）李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
19．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，均为300cm，AB的倾斜角为30°，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．
20．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
21．如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…），以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
（1）从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 ．
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
23．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，
若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣2．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．n+n＝2n2 B．3n 4n＝12n C．n6÷n2＝n3 D．（2n）3＝8n3
【解答】解：A．n+n＝2n；
B．3n 3n＝12n2，故本选项不符合题意；
C．n6÷n7＝n4，故本选项不符合题意；
D．（2n）2＝8n3，故本选项符合题意；
故选：D．
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．140° B．130° C．50° D．120°
【解答】解：∵EF∥GH，
∴∠FCD＝∠2，
∵∠FCD＝∠1+∠A，∠6＝40°，
∴∠2＝∠FCD＝130°，
故选：B．
6．如图，已知AB为⊙O的直径，∠ABD＝25°（ ）
A．80° B．70° C．65° D．50°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠ACD＝25°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣25°＝65°，
故选：C．
7．如图，直线a∥b，截线c，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
【解答】解：如图，
∵∠1＝146°33′，
∴∠3＝180°﹣∠3＝33°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝33°27'，
∵∠A＝30°，∠6＝∠4+∠A，
∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．
故选：A．
8．﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°（ ）
A．3 B．+1 C．2+1 D．2+
【解答】解：连接DB，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，OD＝，AC＝2AO，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AD，
∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，
∴OE＝AE＝DE＝AD，
∴设OE＝AE＝DE＝a，
∴AD＝BD＝2a，
∴OD＝BD＝a，
在Rt△AOD中，AO＝＝＝a，
∴AC＝2AO＝7a，
∵EA＝EO，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，
∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，
∴∠OEF＝∠EFO＝15°，
∴OE＝OF＝a，
∴AF＝AO+OF＝a+a，
∴CF＝AC﹣AF＝a﹣a，
∴＝＝＝2+，
故选：D．
10．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：如图所示：
当点F与点D重合时，点G在点G1处，此时DG1＝CG6，
当点F与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2＝EG5，
∴G1G2为△CDE的中位线，
∴G3G2∥DE，且，
∵点G为CF的中点，
∴GG3为△CDF的中位线，
∴GG1∥DF，，
∴点G在G1G5上运动，当AG⊥G1G2时，AG的值最小，
∵在 ABCD中，AB＝6，∠DAE＝60°，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE＝120°，DG1＝CG8＝AD＝2，
∴，
∵DE为∠ADC的角平分线，
∴，
∴∠CG1G3＝∠CDE＝60°，
∴∠AG1G2＝180°﹣∠CG3G2﹣∠AG1D＝90°，即AG3⊥G1G2，
∴AG的最小值为AG6，
∵DE∥G1G2，
∴DE⊥AG4，
∵AD＝DG1，∠ADE＝60°，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为 2.18×108 ．
【解答】解：218000000＝2.18×108．
故答案为：2.18×108．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有一个根为x＝2，则m的值为 ﹣2 ．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣x+m＝6得，
22﹣7+m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．分解因式：a2﹣25＝ （a﹣5）（a+5） ．
【解答】解：a2﹣25＝（a﹣5）（a+5）．
故答案为：（a﹣5）（a+5）．
14．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 ﹣4 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝8有两个实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥8，
∴m≤，
∵关于x的一元二次方程x4﹣3x+m＝0有实数根α、β，
∴α+β＝8，αβ＝m，
∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝17，
∴9﹣8m＝17，
∴m＝﹣4，
故答案为﹣4．
15．如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．如图②，（F不与C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3 ．
【解答】解：如图②，过点H作HP⊥AE，
在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝，
∴AH＝3CH，
设CH＝x，
∴BH＝AH＝3x，
∵BC＝4，
∴3x+x＝4，
∴x＝4，
∴AH＝3，CH＝1，
∵将△BHD绕点H旋转，得到△EHF，
∴△BHD≌△EHF，
∴∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，
∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，
∴∠EHA＝∠FHC，
又∵＝1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH＝∠C，
∴tan∠EAH＝tan∠ACH＝3，
∴HP＝6AP，AE＝2AP，
在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，
∴AP2+（8AP）2＝9，
∴AP＝，
∴AE＝，
故答案为：．
三、解答题：.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：（1）
＝4+7×﹣（
＝4+﹣+1﹣1
＝6；
（2）
＝÷
＝÷
＝÷
＝
＝﹣，
当时，原式＝﹣＝2．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BD＝1．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，
∴可设AC＝3x，BC＝4x，
∵AC3+BC2＝AB2，
∴（7x）2+（4x）3＝52，
解得，x＝﹣5（舍去），
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝5，
∴CD＝3，
∴AD＝；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BED中，tanB＝，
∴可设DE＝3y，则BE＝6y，
∵BE2+DE2＝BD5，
∴（3y）2+（3y）2＝18，
解得，y＝﹣，或y＝，
∴，
∴sinα＝＝＝．
18．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；
（2）李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
【解答】解：（1）y甲＝477x．
y乙＝530x（x≤3）．
y乙＝530×3+530（x﹣3） 80%＝424x+318（x＞3）．
（2）由y甲＝y乙得477x＝424x+318，则x＝6．
由y甲＞y乙得477x＞424x+318，则x＞6．
由y甲＜y乙得477x＜424x+318，则x＜6．
所以当x＝6时，到甲．
当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．
当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．
19．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，均为300cm，AB的倾斜角为30°，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．
【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，
在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×，
∵GD＝50﹣30＝20（cm），
∴CD＝CG+GD＝25+20＝45（cm），
连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，
在Rt△CDH中，CH＝，
∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290（cm），
在Rt△EFH中，EF＝EH tan30°＝290×＝，
答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．
20．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
【解答】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则：
6x+6x+7＝27．
解得x＝2．
答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
21．如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…），以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
（1）从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 ．
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
【解答】解：（1）∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，8，4，5，4，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或5，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是：．
故答案为：．
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
第2次 第1次 8 2 3 3 5 6
5 （1，1） （4，2） （1，4） （1，4） （8，5） （1，3）
2 （2，2） （2，2） （8，3） （2，8） （2，5） （8，6）
3 （3，1） （3，3） （3，3） （6，4） （3，3） （3，6）
8 （4，1） （7，2） （4，5） （4，4） （8，5） （4，3）
5 （5，3） （5，2） （5，3） （5，5） （5，5） （4，6）
6 （7，1） （6，8） （6，3） （5，4） （6，6） （6，6）
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为7，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有8种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为：．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝8∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）证明：∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD5+CD2＝BC2，
∴，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴．
过点C作CE⊥DP于点E，如图2，
∵∠CDE＝45°，
∴，
∴根据勾股定理可得：，
∴．
23．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，
若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线y4所对应的函数解析式为；
（2）当x＝﹣1时，，
∴D（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为，
如答图1，当M点在x轴上方时，
∵∠M8CB＝∠DAC，
∴DA∥CM1，
设直线CM1的解析式为，
∵直线经过点C，
∴，
解得：，
∴直线CM1的解析式为，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综合以上可得m的值为；
（3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（2，0），
∴，
即．
设，则，
∴，
①如答图2，当P在Q点上方时，
PQ＝1﹣m，QR＝8﹣2m，
∵△PQR与△ACD全等，
∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0，
∴，，
当PQ＝AC且QR＝DC时，无解；
②如答图8，当点P在Q点下方时，
同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣5，
∴m＝2，
则，．
综合可得P点坐标为或．
