广西北部湾经济区2024年中考数学四月模拟试题
第I卷（选择题）
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C．9 D．
2．某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的问题统计如下表所示：
奇闻轶事 道路交通 环境保护 房产建筑 表扬建议 其他
10.5% 14.8% 30.9% 18.2% 15.6% 10%
要用统计图表示以上数据，应选择（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．频数直方图
3．已知：如图，AB∥CD，∠DCP=80°，则∠BPQ的度数为( )
A．80° B．100° C．110° D．120°
4．在数轴上表示实数和的点的位置如图所示，那么下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B． C． D．
6．下列运动中，属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中，小气泡上升成为大气泡 B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．随手抛出的彩球运动 D．随风飘动的风筝在空中的运动
7．一张小凳子的结构如图所示，AB∥CD，∠1=∠2=，AD=50厘米，则小凳子的高度MN为( )
A．50厘米 B．厘米 C．50sin厘米 D．厘米
8．如图，在中，，点D是的中点，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
9．下列说法正确的是（ ）．
A．检查某种灯的使用寿命用全面调查
B．为了解近十年我市初中毕业生的近视人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
C．“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件
D．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
10．某工队抢修一段240米的铁路，施工队实际每天比原计划多修6米，结果提前4天结束了维修工作，则原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a3 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）2＝a5
12．已知的图象如图，则和的图象为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
14．牛年到了，小明将自己收集到的12张有关“牛”的邮票放在一个不透明的暗箱中，其中面值为120分的邮票有2张，面值为100分的邮票有6张，剩下的为面值150分的，这些邮票除正面图案不同外，其余均相同．现从中随机地从暗箱中抽取一张，恰好抽到面值为150分邮票的概率是 ．
15．当= 时，分式的值为零．
16．在阳光下，身高为的欣欣的影长为，贝贝此时在同一地点的影长为，那么贝贝的身高为 ．
17．已知，是方程的两个实数根，则的值是 ．
18．如图，在边长为3的正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接，交于点，过点Ａ作于，延长交于点，连接，若，则 ．
三、解答题
19．计算：﹣23﹣3×|﹣2|﹣（﹣7+5）2．
20．某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：
个数
人数
请根据以上表格信息，解答如下问题：
(1)分析数据，补全表格信息：
平均数 众数 中位数
6
(2)在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．
21．计算：
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，∠ACB＝90°，动点F在BC的垂直平分线DG上从D点出发，以1cm/s的速度向左匀速移动，DG交BC于D，交AB于E，连接CE，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝6s时，求证：△ACE≌△EFA．
（2）填空：
①当t＝ s时，四边形ACDF为矩形；
②在（1）的条件下，当∠B＝ 时，四边形ACEF是菱形．
23．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m= ，n= ．
x … -1 0 2 3 …
y … m 0 n 3 2 …
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象（注：图中小正方形网格的边长为1）．
(4)结合函数的图象，解决问题：当函数值时，x的取值范围是： ．
24．如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，，求．
25．已知二次函数．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由．
（3）当时，该函数有最小值，求a的值．
26．抛物线C1：y1＝x2﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；当t＝0时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；
（2）若将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：y2＝（x﹣t）2+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C2的解析式；
（3）设抛物线C1的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根 ．
试卷第6页，共6页
参考答案：
1．D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，进而利用相反数的定义得出答案．
【详解】，相反数是：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．C
【分析】观察题目，数据都是百分数，而扇形统计图能清楚地表示出各部分在整体中的百分比，据此可得出答案．
【详解】解：扇形统计图能清楚地表示出各部分在整体中的百分比，故要统计“百姓热线”一周内接到热线电话的问题统计应选择扇形统计图．
故选C．
【点睛】本题考查了统计图的选择．熟知扇形统计图的特点是解题的关键．
3．B
【分析】两直线平行，同旁内角互补，依据平行线的性质，即可得到∠BPQ的度数．
【详解】∵AB∥CD，∠DCP=80°，
∴∠BPQ=180°﹣∠DCP=180°﹣80°=100°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．B
【分析】根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，且离原点的距离越远，则该点所对应的数的绝对值越大，进行分析．
【详解】解：A、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项错误；
B、根据a在b的右边，则a＞b，故本选项正确；
C、根据a在原点的右边，b在原点的左边，得b＜0＜a，则ab＜0，故本选项错误；
D、根据b离原点的距离较远，则|b|＞|a|，故本选项错误．
故选B．
【点睛】此题考查了数轴上的点和实数之间的对应关系，同时能够根据点在数轴上的位置判断它们所对应的数之间的大小关系以及绝对值的大小关系．
5．B
【分析】由于分式的值为负数，而分母x2+4一定是正数，可知分子2x-5小于0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母x2+4>0，
∴2x-5<0，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．解题的关键是得到关于x的不等式．
6．B
【详解】解：A、气泡在上升的过程中变大，不属于平移；
B、急刹车时汽车在地面上的滑动属于平移；
C、随手抛出的彩球运动既发生了平移，也发生了旋转，不属于平移；
D、随风飘动的树叶在空中的运动，既发生了平移，也发生了旋转．
故选B．
【点睛】此题主要考查了平移，关键是掌握平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
7．C
【分析】在直角三角形△DON和△AOM中分别表示出OM和ON，相加即得到答案．
【详解】解：设AD与BC交于O，如图：
∵AB∥CD，∠1＝∠2＝α，
∴∠D＝α，
∵小凳子的高MN，
∴∠OND＝∠OMA＝90°，
Rt△DON中，sinD＝sinα＝，
∴ON＝OD sinα，
Rt△AOM中，sinA＝sinα＝，
∴OM＝OA sinα，
∴MN＝ON＋OM＝OD sinα＋OA sinα＝（OD＋OA） sinα＝AD sinα，
∵AD＝50，
∴MN＝50sinα，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
8．D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，平分，然后问题可求解．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，，平分，故A、B、C正确；
∴，故D选项错误；
故选D．
9．C
【分析】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键．必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．根据统计图的选择，随机事件的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、检查某种灯的使用寿命，采用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意；
B、为了解近十年我市初中毕业生的近视人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
C、“掷一次骰子，向上一面的点数是2”是随机事件，故该选项正确，符合题意；
D、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
10．B
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间-实际所用的时间=4．
【详解】解：设原计划每天修x米，原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
所列方程为：．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
11．A
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【详解】∵a3+a3＝2a3，
∴选项A符合题意；
∵a3 a2＝a5，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）2＝a6，
∴选项D不符合题意．
故选A．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．C
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
13．
【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】12张卡片中，面值150分的有张，根据概率公式解题即可．
【详解】解：∵面值为120分的邮票有2张，面值为100分的邮票有6张，剩下的为面值150分的，
∴分值为150分的有张，
∴从中随机地从暗箱中抽取一张，恰好抽到面值为150分邮票的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单概率的计算，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．3
【详解】解:由分式的值为零的条件得 , ,
由 , 得x=3,
由 ,得 .
综上,得x=3 .
故答案为 3.
16．165
【分析】本题考查了平行投影． 设贝贝的身高为，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”，即可求解．
【详解】解：设贝贝的身高为，
由题意知：，
解得，
故答案为：165．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的综合应用，利用根与系数的关系，求出，，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】连接CH，证明，进一步可得为等腰直角三角形，再证明，进一步可证，得到，再证明，，利用相似的性质求出的值．
【详解】解：连接CH，
∵为正方形，边长为3，，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，即H为EF中点，
∵，∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
设，则，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解之得： ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查正方形，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理．解题的关键是证明得到，再利用得到：．
19．-18
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】原式=﹣8﹣3×2﹣（﹣2）2
=﹣8﹣6﹣4
=﹣18．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
20．(1)5，5
(2)众数或中位数，因为大部分同学都能达到5个 “引体向上”．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）所选择的数字应该是大多数学生都能达到，故可以选择中位数或者众数．
【详解】（1）解：∵这组数中5出现次数最多；
∴这组数据的众数是5；
∵一共有个数据，中位数为第、个数据的平均值，
即
∴这组数据的中位数是5；
故答案是5，5．
（2）解：中位数或众数，
因为大部分同学都能达到5个“引体向上”．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
21．
【分析】根据乘法分配律，去括号，再根据单项式与单项式乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】考核知识点：单项式乘以多项式．掌握整式乘法运算法则是关键．
22．（1）见解析；（2）①4；②30°．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质找出∠BDE=∠BCA=90°，进而得出DE∥AC，再根据三角形中位线的性质可得出DE的长度，根据边与边之间的关系可得出EF=AC，从而可证出四边形ACEF是平行四边形，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据矩形的性质可得出DF=AC，再根据运动时间=路程÷速度即可得出结论；
②根据垂直平分线的性质可得出BE=EC=AB，再根据菱形的性质可得出AC=CE=AB，利用特殊角的正弦值即可得出∠B的度数．
【详解】
（1）证明：当t=6时，DF=6cm．
∵DG是BC的垂直平分线，
∴∠BDE=90°，BD=CD，
∵∠BCA=90°，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴DE∥AC，
∴，
∵BD=CD，
∴BE=AE，
∴DE为△BAC的中位线，
∴DE=AC=2．
∵EF=DF-DE=4=AC，EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE，AC=EF，
在△ACE与△EFA中，
，
∴△ACE≌△EFA；
（2）解：①∵四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=4，
∵动点F从D点出发以1cm/s的速度移动，
∴t=4÷1=4（秒）．
故答案为：4；
②∵DG是BC的垂直平分线，
∴BE=EC=AB，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE=AB，
∴sin∠B==，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及矩形的性质，解题的关键是根据平行四边形（菱形或矩形）的性质找出相等的边角关系．
23．(1)x≠1
(2)，-1
(3)见解析
(4)1＜x＜3
【分析】(1)直接根据分式有意义的条件求解；
(2)把和代入即可求解；
(3)在坐标系中直接描点并画出图象即可；
(4)观察图象即可求解．
【详解】（1）由分式的分母不为0得：，
∴x≠1；
故答案为：x≠1．
（2）当x=-1时，y=+1=，
当x=时，y=+1=-1，
∴m=，n=-1，
故答案为：，-1．
（3）如图：
（4）观察函数图象，可知：当函数值+1＞时，x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查了函数及函数图象，读懂表格是解题的关键．
24．（1）见解析，（2）AE=
【分析】（1）如图连接OE，BE，由AB是直径知BE⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知DE=BD，再利用OB=OE，根据等腰三角形的性质知∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB=∠ABC=90°，即∠OED=90°，即得证DE为切线；
（2）由DE=3，知BC=6，在直角△ABC中可利用勾股定理求出AC，再利用△ABC的面积相等求出BE，然后在直角△ABE中利用勾股定理求出AE即可．
【详解】（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC，
∵点D是BC的中点，
∴DE=DB，
∴∠DBE=∠DEB，
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB，
即∠ABC=∠OED，
又∠ABC=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵DE=3，知BC=2DE=6，
∴AC===，
∵，
∴BE===3，
∴AE===．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理及等腰三角形的性质．注意灵活运用这些知识．
25．（1）；（2）当时，有1个交点；当且时，有2个交点；见解析；（3）或
【分析】（1）由配方法可求顶点坐标；
（2）由根的判别式即可求解；
（3）分a＞0或a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）当时，；
∴顶点坐标为：；
（2）根据题意，
，
当时，有1个交点；
当且时，有2个交点；
（3）对称轴：
①当
对称轴：
ⅰ）即时
∴（舍）
ⅱ），即时
∴（舍）
②当
对称轴：
∵离对称轴更远
∴
∴
综上所述，∴或
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．（1）①（﹣5，0），（1，0），（﹣1，0），（1，0）．②会，定点为（1，0）．（2）y＝x2﹣1或y＝（x﹣2）2+1．（3）x＝1或x＝5．
【分析】（1）①当t＝﹣2时，抛物线y＝x2+4x﹣5，令y＝0，得到x2+4x﹣5＝0，解方程求出x的值，当t＝0时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，令y＝0，得到x2﹣1＝0，解方程即可；
②会．由x﹣1＝0，求出x代入函数y1＝0即可；
（2）由x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0得x1＝1，x2＝2t﹣1，利用两点距离公式AB＝|（2t﹣1）﹣1|＝|2t﹣2|，由A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），可得AB＝DE＝m+2﹣m＝2，构造方程|2t﹣2|＝2解方程即可；
（3）求出顶点P为（t，﹣（t﹣1）2），由△PAB是等腰直角三角形，斜边中线等于斜边的一半（t﹣1）2＝|2t﹣2|解方程求出t，将t代入方程x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0求解即可．
【详解】解：（1）①当t＝﹣2时，抛物线y＝x2+4x﹣5，
令y＝0，得到x2+4x﹣5＝0，
∴x＝﹣5或1，
∴A（﹣5，0），B（1，0）．
当t＝0时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，
令y＝0，得到x2﹣1＝0，
∴x＝1或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（1，0）．
故答案为：（﹣5，0），（1，0），（﹣1，0），（1，0）．
②会．由x﹣1＝0得x＝1，代入得y1＝0，
∴抛物线C1会经过一个定点，定点为（1，0）．
（2）由x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0得x1＝1，x2＝2t﹣1，
∴AB＝|（2t﹣1）﹣1|＝|2t﹣2|，
∵A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），
∴AB＝DE＝m+2﹣m＝2，
|2t﹣2|＝2，
解得t＝0或t＝2．
∴抛物线C2的解析式为：y＝x2﹣1或y＝（x﹣2）2+1．
（3）∵抛物线C1：y＝（x﹣t）2﹣（t﹣1）2，
∴顶点P为（t，﹣（t﹣1）2），
∵△APB为直角三角形，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴（t﹣1）2＝|2t﹣2|，
解得，t＝3或﹣1，
∵t＞0，
∴t＝3，
∴方程为：x2﹣6x+5＝0，
∴方程的根为：x＝1或5．
故答案为：x＝1或x＝5．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，函数过定点，抛物线平移， 等腰直角三角形的性质掌握抛物线与x轴的交点，函数过定点，抛物线平移， 等腰直角三角形的性质，利用平移对应线段长相等构造方程是解题关键．
