6.2平行四边形形
易错诊断 (打“√”或“×”)
1．一组对边平行的四边形是平行四边形．( )
2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．( )
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( )
4．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．( )
【知识分类练】
知识点1 由两组对边分别相等判定平行四边形
1．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.
嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了C，A处，而点B转到了点D处． ∵CB＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充，下列正确的是( )
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充：且OA＝OC
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( )
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
3．(2021·长沙期末)如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__ __．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__ _，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).
5．如图，在△ABC中，AB≠AC，△ACD，△ABE，△BCF均为直线BC同侧的等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形．
知识点2 由一组对边平行且相等判定平行四边形
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是( )
A．AD＝BC B．AB＝CD
C．AD∥BC D．∠A＝∠C
7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__ __，使AB＝CD.(填一种情况即可)
8．(2021·岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
综合练
9．(2021·北京期末)如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
10．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B＋∠DAB＝180°，AB＝CD
D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
11．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是( )
A．AD＝BC B．AB＝CD
C．∠DAB＝∠ABC D．∠ABC＝∠BCD
12．(2021·太原期末)在四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A＋∠B＝180°
13．一个四边形，对于下列条件：
①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是( )
A．① B．② C．③ D．④
14．(2021·盐城期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则____秒后四边形ABQP为平行四边形．
15．(2021·宁波期末)如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.
求证：四边形OPMN是平行四边形．
16．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.
(1)如图(1)，点B是边DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
(2)如图(2)，若点G是边EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC.
参考答案
易错诊断 (打“√”或“×”)
1．一组对边平行的四边形是平行四边形．( × )
2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．( √ )
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( √ )
4．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．( × )
【知识分类练】
知识点1 由两组对边分别相等判定平行四边形
1．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.
嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了C，A处，而点B转到了点D处． ∵CB＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充，下列正确的是(B)
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充：且OA＝OC
【解析】∵CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是(D)
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【解析】只有①③两块碎玻璃角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
3．(2021·长沙期末)如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__两组对边分别相等的四边形是平行四边形__．
【解析】根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB∥CD(答案不唯一)__，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).
【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AB∥CD.
5．如图，在△ABC中，AB≠AC，△ACD，△ABE，△BCF均为直线BC同侧的等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形．
【证明】∵△ABE，△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，
∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠FBE＝∠CBA，
在△FBE和△CBA中，，
∴△FBE≌△CBA(SAS)，
∴EF＝AC.
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD.同理可得AE＝DF，
∴四边形ADFE是平行四边形.
知识点2 由一组对边平行且相等判定平行四边形
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(A)
A．AD＝BC B．AB＝CD
C．AD∥BC D．∠A＝∠C
【解析】A.当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B.AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C．AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D．∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__AD＝BC(答案不唯一)__，使AB＝CD.(填一种情况即可)
【解析】添加的条件：AD＝BC，理由是：
∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
8．(2021·岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【解析】(1)添加条件为：AE＝CF.
答案：AE＝CF
(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
综合练
9．(2021·北京期末)如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【解析】A.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意．
10．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B＋∠DAB＝180°，AB＝CD
D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
【解析】根据平行四边形的判定，A，B，D均符合是平行四边形的条件，C不能判定是平行四边形．
11．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是(B)
A．AD＝BC B．AB＝CD
C．∠DAB＝∠ABC D．∠ABC＝∠BCD
【解析】∵AB∥CD，
∴只要满足AB＝CD，可得四边形ABCD是平行四边形．
12．(2021·太原期末)在四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠A＋∠B＝180°
【解析】根据平行四边形的判定，A，C，D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
13．一个四边形，对于下列条件：
①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是(C)
A．① B．② C．③ D．④
【解析】根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②，④，而③无法判定．
14．(2021·盐城期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则__2__秒后四边形ABQP为平行四边形．
【解析】设运动x秒后四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝x，QC＝2x，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴x＝6－2x，
∴x＝2.
15．(2021·宁波期末)如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.
求证：四边形OPMN是平行四边形．
【证明】在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，
∴OM2＋ON2＝MN2，
∴△MON是直角三角形，
∴∠MON＝∠PMO＝90°，因此，在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，
由勾股定理可得，OM2＋MP2＝OP2，
即42＋(11－x)2＝(x－3)2，
解得：x＝8，
∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3，
∴OP＝MN，MP＝ON，
∴四边形OPMN是平行四边形．
16．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.
(1)如图(1)，点B是边DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
(2)如图(2)，若点G是边EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC.
【解析】(1)四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：
∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，点B是边DE的中点，∴AB＝BE＝BD，
∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BC∥AE，AC∥BE，
∴四边形BEAC是平行四边形；
(2)①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴EB＝DC；
②延长FG至点H，使GH＝FG，
∵点G是边EC的中点，∴EG＝CG，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF(SAS)，
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC.
