数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束后，监考人员收取答题卡．
4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题均无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26
4. 已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（ ）
A. B. C. D.
5. 一个不等式组的解在数轴上表示如图，则这个不等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
6. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C D.
7. 一次函数与的图象如图，则的解集为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知，，则代数式
10. 等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为______．
11. 已知点M(a，2)与点N(1，b)关于原点成中心对称，则2a+b的值为 ___．
12. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm．
13. 某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要________元．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组．
15. 如图{在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别是，将向下平移1个单位，向右平移3个单位，使得点d移到点，点，的对应点分别是点，．
（1）画出，并写出点的坐标．
（2）请做出直线l经过点，且与y轴垂直，在直线l上找一个点，使得的周长最小，做出图形并直接写出点的坐标．
16. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点，．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
17. 请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．按照这种规定运算，请解答下列问题：
（1）填空：计算 ；
（2）若，，且满足，请你求出k的整数值．
18. 数学中有一个定理叫做直角三角形斜边中线定理，它的内容是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请同学们运用这个定理探究下面的数学问题：已知和都是等腰直角三角形，其中，为的中点，连接、．
（1）如图1，当在上，在上时，线段，的数量关系是__________；并且可以得到_________（填度数）．
（2）在图1的基础之上，将绕点顺时针旋转得到图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由：
（3）在图1的基础之上，将绕点顺时针旋转得到图3，若，求此时线段CF的长．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若函数有意义，则自变量x的取值范围是______．
20 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________．
21. 中，，高，则的长为___________．
22. 如图，点P是等边三角形ABC内的一点，PA＝，PB＝3，PC＝，则S△ABP+S△BPC＝__，AB长为__．
23. 一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算______；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨）月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
25. 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
26. 如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
（1）请直接写出直线的关系式：_________
（2）在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
（3）如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束后，监考人员收取答题卡．
4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题均无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式求解即可．
【详解】解：点在第二象限，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，不能够成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
4. 已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵一个等腰三角形的顶角等于，且等腰三角形的底角相等，
∴它的底角，
故选：B．
5. 一个不等式组的解在数轴上表示如图，则这个不等式组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，根据“小于向左，大于向右”且“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”写出解集即可．
【详解】解：由题意得，该不等式组的解集为，
故选：B．
6. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、选项是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、选项分解错误，不符合题意；
C、选项不是因式分解，不符合题意；
D、选项是因式分解，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
7. 一次函数与的图象如图，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两函数图象交点坐标，即可判定不等式的解集．
【详解】∵一次函数与的图象交点为，
∴的解集为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用一次函数图象解不等式，解题关键是熟练根据交点坐标进行判定．
8. 如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质定理得出，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知，，则代数式
【答案】42
【解析】
【分析】先把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解： ，，
∴，
故答案为：42．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握利用因式分解求解代数式的值是解题的关键．
10. 等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分是腰长和底边长，两种情况求解．
【详解】∵等腰三角形的周长为，
当是腰长时，
则底边长为，
满足两边之和大于第三边，符合题意；
∵等腰三角形的周长为，
当是底边时，
则腰长为，
满足两边之和大于第三边，符合题意；
故底边长或，
故答案为：或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类计算，三角形三边关系，熟练掌握分类计算是解题的关键．
11. 已知点M(a，2)与点N(1，b)关于原点成中心对称，则2a+b值为 ___．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后计算即可．
【详解】解：∵点M（a，2）与点N（1，b）关于原点成中心对称，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
则2a+b＝﹣2﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标符号都相反．
12. 如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为_____cm．
【答案】34
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质推出AE=BE，则C△BCE=BC+CE+BE=AC+BC，计算即可．
【详解】由中垂线的性质可知：AE=BE，
则C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=18+16=34cm，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，能够灵活运用其性质是解题关键．
13. 某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要________元．
【答案】192
【解析】
【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：0.8+1.6=2.4（米）；
2.4×2×40=192（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要2.4米，花费至少192元．
故答案为：192
【点睛】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先计算算术平方根、绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
15. 如图{在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别是，将向下平移1个单位，向右平移3个单位，使得点d移到点，点，的对应点分别是点，．
（1）画出，并写出点的坐标．
（2）请做出直线l经过点，且与y轴垂直，在直线l上找一个点，使得周长最小，做出图形并直接写出点的坐标．
【答案】（1）答案见解析
（2）直线的解析式为；点的坐标为，
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质即可画出，进而写出点的坐标；
（2）根据轴对称的性质作出点，然后求出直线解析式，进而可以写出点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求，
取点，关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
根据轴对称的性质可知：，
根据两点之间线段最短可知：最短，
此时的周长最小，
由平移可知：，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
直线为，
，
，
点的坐标为，．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换，平移变换，轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
16. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点，．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质，得出，再由等角对等边的性质，即可证明结论；
（2）取的中点，连接．证明，得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，得出，即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：平分平分，
．
，
，
，
．
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：取的中点，连接．
，
，
在和中，
．
．
又是边上的中线，
平分，即．
．
，
，
解得．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
17. 请阅读下列材料：我们规定一种运算：，比如：．按照这种规定的运算，请解答下列问题：
（1）填空：计算 ；
（2）若，，且满足，请你求出k的整数值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，有理数的混合运算，正确地理解题意是解题的关键．
（1）根据题目中的，计算即可；
（2）根据题目中的列方程组得到，，再根据列不等式组即可得到结论．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴的整数值为，．
18. 数学中有一个定理叫做直角三角形斜边中线定理，它的内容是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请同学们运用这个定理探究下面的数学问题：已知和都是等腰直角三角形，其中，为的中点，连接、．
（1）如图1，当在上，在上时，线段，的数量关系是__________；并且可以得到_________（填度数）．
（2）在图1的基础之上，将绕点顺时针旋转得到图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由：
（3）在图1的基础之上，将绕点顺时针旋转得到图3，若，求此时线段CF的长．
【答案】（1）；
（2）结论成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，，可证，由等腰直角三角形的性质可得，；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求的长．
【小问1详解】
解：，，
，
，为的中点，
，，
，，，
，，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：结论仍然成立，理由如下：如图2，延长交于，
点为中点，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
又，，
，，
，
，
又，，
，；
【小问3详解】
解：延长交于点，连接，，
和是等腰直角三角形，
，．
，，
由旋转可以得出，，
，
，
．
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
在中，，
，，，
，，
，
，
，
又，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定和性质，及勾股定理的运用．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若函数有意义，则自变量x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不为零，以及二次根式被开方式非负求解即可．
【详解】解：若函数有意义，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数有意义的条件，掌握分式分母不为零、二次根式被开方式非负是关键．
20. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
【详解】解，
解①得x＜ ，
解②得x＞m，
则不等式组的解集是m＜x＜ ．
不等式组有2个整数解，则整数解是 3， 4．
则 5≤m＜ 4．
故答案是： 5≤m＜ 4．
【点睛】此题考查是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21. 中，，高，则的长为___________．
【答案】4或14##14或4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，是锐角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为；
如图，是钝角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为．
故答案为14或4．
22. 如图，点P是等边三角形ABC内的一点，PA＝，PB＝3，PC＝，则S△ABP+S△BPC＝__，AB长为__．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，可证△AEP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得∠BPE=90°，由勾股定理可求AB的长，再证明∠BPC=90°，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB=150°，
∴∠BPF=30°，
∴BF=PB=，PF=BF=，
∴AF=AP+PF=
∴
∵BE=2PE，∠BPE=90°，
∴∠EBP=30°，
∴∠BEP=90°-30°=60°，
∵∠AEP=60°，
∴∠APC=∠AEB=120°，
∴∠BPC=360°-150°-120°=90°，
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键．
23. 一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算______；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为______．
【答案】 ①. 23 ②. 85
【解析】
【分析】根据题目所给新定义即可计算；根据题意得出，，结合完全平方数的定义和得出，则，根据得出，根据，以及n为两位数，即可得出或，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，
∵，，
∴，
，
∵是一个完全平方数，且是一个两位数，
∴．
∵，
∴．
∴，则，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∴或14，
∴或，
当时，，
∵，n为两位数，
∴当时，n有最大值85；
当时，，
∵，n为两位数，
∴当时，n有最大值83；
综上：n的最大值为85，
故答案为：23，85．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨）月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】（1），
（2）答案见解析 （3）为了节约资金，应选购型设备3台，型设备9台．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
（1）根据等量关系列出方程组求解即可求解．
（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据取正整数，进而可求解；
（3）根据不等关系列出不等式，根据取正整数，进而可求解；
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得：．
【小问2详解】
解：设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得，
，
，
取正整数，
、2、3、4，
、10、9、8，
有四种购买方案：
①型设备1台，型设备11台；
②型设备2台，型设备10台；
③型设备3台，型设备9台；
④型设备4台，型设备8台．
【小问3详解】
解：由题意：，
，
又，
，
取正整数，
为3，4．
当时，购买资金为（万元），
当时，购买资金为（万元），
，
为了节约资金，应选购型设备3台，型设备9台．
25. 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠BAC＝50°
（2）见解析 （3）∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可．
【小问1详解】
解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
【小问2详解】
证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
【小问3详解】
结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG=∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26. 如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
（1）请直接写出直线的关系式：_________
（2）在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
（3）如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
【答案】（1）
（2）当或时，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；
（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，
如图所示，点在直线上，过点作轴于，
∴设，，
∴，，，
①当，即时，，
若，则，解得，
则；
②当，即时，
，
若，则，解得，（舍去）；
③当，即时，
，
若，则，解得，
则；
综上所述，当或时，；
【小问3详解】
解：已知，设，
∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，
∴；
如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且轴，
∴是等腰直角三角形，，
则点的轨迹在射线上，
如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，
∴轴，且，
∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
