北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期
初三数学模拟一模考试试卷
考查目标
1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，关键是熟记科学记数法的一般形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．先把万化为，再据此求解即可．
【详解】解：660万，
故选：．
2. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项错误；
B．不是中心对称图形，故本选项正确；
C．是中心对称图形，故本选项错误；
D．是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①； ②；
③与互为余角； ④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角定义是解题的关键．
根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：易知，故①正确，
，故②错误，
与互为余角，故③正确；
，
与互为补角．故④正确；
故选：D
4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故选：A
5. 正八边形每个内角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．
【详解】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，
一个外角等于：，
∴内角为，
故选：B．
6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，
∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：A．
7. 数轴上点A，M，B分别表示数，那么下列运算结果一定是正数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】数轴上点，，分别表示数，，，，可得原点在，之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解．
【详解】解：数轴上点，，分别表示数，，，，原点在，之间，由它们的位置可得，，且，
则，，，
故运算结果一定是正数的是．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到，，且．
8. 如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：
①；②；③；④；
上述结论中，正确结论的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴（斜边）大于
即
故①是正确的；
∴
在中，
即
∴
∴
∵
∴
故③是错误的；
∵
∴
∴
∴
∵
∴
即，故②是正确的；
假设是正确的
则
∴
∵，且
∴
∴
即与①的结论相矛盾
故④是错误的
综上：正确结论的个数是个
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 当__________时，分式的值为零．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为零时，分母不为，且分子为，求解即可．
【详解】分式 且
解得；
故答案为
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零时，分母不为，且分子为，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
10. 分解因式：4x3﹣16x2+16x=________________________．
【答案】4x(x﹣2)2．
【解析】
【详解】
=
=.
11. 方程的解是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法．先把两边同时乘以，去分母后整理为，经检验即可得方程的解．
【详解】解：，
两边同时乘以，得
，即，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
12. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”）
【答案】．
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
【详解】∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13. 为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数是 _______．
【答案】9600
【解析】
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．
【详解】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为：
16000×＝9600(名)，
故答案为：9600．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体；一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题的关键是熟练掌握用样本估计总体．
14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形即可求解；
【详解】解：
，
得，
即
，
故答案为:4.8
15. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于______．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，根据垂径定理，C是弧的中点可知，，，可知，再用三角函数关系就可以求出的长；
【详解】如图，
连接、，交于点E，
∵点C是弧中点，，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
故圆心O到弦的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角圆心角的关系和三角函数关系求边长；熟练掌握圆周角与圆心角的关系和垂径定理是解决本题的关键．
16. 某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
项目 时间分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学）
第一组 5 4 3
第二组 6 5 4
第三组 4 3 2
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 ___分钟．
【答案】17
【解析】
【分析】先找出项目①和项目②完成最少时间，在加上项目③最少的时间即可得．
【详解】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4=15（分钟），
在这15分钟内，项目③最多完成两组的拖地，剩下最少时间第三组，
则15+2=17（分钟），
故答案为：17．
【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题的关键是掌握有理数加法的应用．
三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别代简，再代入特殊角三角函数值后，再进行计算即可．
【详解】解：
18. 解不等式组，并写出满足条件的非正整数解．
【答案】不等式组的解集为，不等式组的非正整数解为．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分确定不等式组的解集，最后写出满足条件的非正整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集为，
所以，不等式组的非正整数解为．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值以及分母有理化，先通分括号内，再运算除法，运用分式的性质进行化简，得，再把代入，即可作答．
【详解】解：
把代入
得
20. 如图，在等腰中，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用证明，进而可得，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形是菱形，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
理由：，平分，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为．
21. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张；
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
【答案】（1）9；15
（2）用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒
【解析】
【分析】（1）根据题意进行解答即可；
（2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可．
【小问1详解】
解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）．
故答案为：9；15．
【小问2详解】
解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程组的解且符合题意
∴能做纸盒数为：（个）
答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组．
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交直线与反比例函数图像于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．
（1）若点M与点N重合，且，求k的值；
（2）当时，总有，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）且．
【解析】
【分析】（1）将代入直线与反比例函数结合，即可得到答案；
（2）求出，两个函数相等时，，根据函数的图象即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵过点作x轴的垂线，分别交直线与反比例函数图像于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n，
∴点M，N的横坐标为a，
将代入直线与反比例函数得，
，，
∵点M与点N重合，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：将代入直线与反比例函数得，
，，
当时，，
此时，时，，
∴且．
【点睛】本题考查一次函数反比例函数图像共存问题及利用函数图像解不等式，解题的关键是根据题意找到横坐标代入解析式．
23. 某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：）数据统计如下：
A．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；
B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
167.75 m n
（1） ， ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为改组舞台呈现效果越好，据此推断，下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ；（填“甲组”后“乙组”）
甲组身高 163 166 166 167 167
乙组身高 162 163 165 166 176
（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为 和 ．
【答案】（1）167，166
（2）甲组 （3）171，173
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、 中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义进行计算；
（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；
（3）根据方差进行比较．
【小问1详解】
解： 数据按由小到大的顺序排序: ，
则舞蹈队名学生身高的中位数为，
众数为
故答案为: ，；
【小问2详解】
甲组学生身高的平均值是：，
甲组学生身高方差是：
乙组学生身高的平均值是：
乙组学生身高的方差是：，
，
∴甲组舞台呈现效果更好；
故答案为：甲组；
【小问3详解】
∵的平均数为，
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∵数据的差别较小，可供选择的有，平均为：
方差为：，
∴选出的另外两名学生的身高分别为和.
故答案为: ，．
24. 如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）3.5
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识：
（1）连接，得，再由可得，故可证明是的切线；
（2）运用勾股定理求出，再，可求出,从而求出
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵是劣弧的中点，
∴，平分，
∴
∵，
∴
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
图1图2
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 3 4．
竖直高度
根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【答案】（1），
（2）
（3）不能，见详解
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，图象过点，
，
，
，
解得∶，
故答案为∶，；
【小问2详解】
，
当时∶，
解得∶或(不合题意，舍去)；
（米），
当时∶，
解得∶或(不合题意，舍去)；
故答案为∶；
【小问3详解】
当时
即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】（1）对称轴
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及增减性，运用数形结合思想，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴公式代入数值进行化简，即可作答．
（2）要分类讨论，分为以及，分别作出相对应的图象，灵活运用数形结合思想，分析作答即可．
【小问1详解】
解：把代入
得
∴
则对称轴；
【小问2详解】
解：当时，开口方向向上，对称轴，在负半轴上，
且经过点，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小，
则大致图象如下：
当时
∵
∴
∴此时与题干相矛盾，故舍去；
当时
∵
∴
∴此时与题干相矛盾，故舍去；
当时，开口方向向下，对称轴，在正半轴上，
且经过点，越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，
则大致图象如下：
当时，点分别在对称轴同侧时，如上图
∵
∴
∴；
此时
即，
当时，点分别在对称轴两侧时，如上图
∵∵
∴
∴与题干相矛盾，故舍去；
当时，且点分别在对称轴两侧时，如图
∵
∴
∴与题干相矛盾，故舍去；
当时，且点在对称轴同侧时，如图
∵
∴
∴与题干相矛盾，故舍去；
综上：，
27. 如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线对称点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）点在线段上时，；点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，，见解析
【解析】
【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键．
（1）作点关于直线的对称点，连接即可；
（2）连接，根据轴对称性质可得，，可求出，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出；
（3）分三种情况，当交线段、线段延长线上、线段延长线上于点时，分别可证，进而可得，即可求证．
【小问1详解】
解：如图，作点关于直线的对称点，连接；
【小问2详解】
连接，
点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
；
【小问3详解】
当交线段于点时，
延长至，使，连接，
，
，
又，
在和中
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
即；
当交线段延长线于点时，在延长线上截取，连接，
由同理可证，
，
，
，
，
，
即；
当交线段延长线于点时，在上截取，连接，
由题意可知，，
，
，
，
又，
，
在和中
，
，
，
又，
，
，
，
即．
28. 对于平面内的点和点，给出如下定义：
若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围；
（3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件．
（2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件．
（3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，的值，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，，，
，，
点不是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
，
，
，
点是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
则，
，
，
，
不是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
则，
，
，
是点关于点的锐角旋转点；
综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：在轴上取点，当直线经过点时，可得，
当直线经过点时，则，
解得：，
当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上，
过点作直线，垂足在第四象限时，如图，
则，，
，
当时，取得最小值，
，
，
．
【小问3详解】
解：根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，，
，
解得，
观察图象可知，．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．北京二中教育集团2023-2024学年度第二学期
初三数学模拟一模考试试卷
考查目标
1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段
3. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①； ②；
③与互为余角； ④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论序号是（ ）
A. ②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①③④
4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数由m的值确定
5. 正八边形每个内角的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 数轴上点A，M，B分别表示数，那么下列运算结果一定是正数的有（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：
①；②；③；④；
上述结论中，正确结论的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 当__________时，分式的值为零．
10. 分解因式：4x3﹣16x2+16x=________________________．
11. 方程解是______．
12. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”）
13. 为了了解我市初中学生视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数是 _______．
14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为______．
15. 如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于______．
16. 某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
项目 时间分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学）
第一组 5 4 3
第二组 6 5 4
第三组 4 3 2
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 ___分钟．
三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）
17 计算：．
18. 解不等式组，并写出满足条件的非正整数解．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在等腰中，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
21. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张；
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交直线与反比例函数图像于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．
（1）若点M与点N重合，且，求k的值；
（2）当时，总有，直接写出k的取值范围．
23. 某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：）数据统计如下：
A．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；
B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
167.75 m n
（1） ， ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为改组舞台呈现效果越好，据此推断，下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ；（填“甲组”后“乙组”）
甲组身高 163 166 166 167 167
乙组身高 162 163 165 166 176
（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为 和 ．
24. 如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
图1图2
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 3 4．
竖直高度
根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
27. 如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线的对称点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面内的点和点，给出如下定义：
若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围；
（3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
