华蓥市2024年初中学业水平考试模拟试题
数 学
注意事项：
1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分120分．
2．考生答题前，请先将“学校”“姓名”“考号”等内容按要求用黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题答案用黑色签字笔规范、工整地书写在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题 每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂到答题卡上相应的位置．（本大题共10个小题，每小题，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解:∵，
∴的倒数是．
故选择A．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算正确，符合题意；
D、，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．
3. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案．
【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在中，若，则是直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设，
∵三角形内角和为，
∴，
∴
∴，则为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
6. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7. 在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
【详解】解：∵点是函数图象上的点，
∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、
∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为．
故选A．
【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为．
8. 如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可．
【详解】解：∵，，
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是菱形，
如图，连接，，而点G是的中点，
∴为菱形对角线的交点，，
∴当时，最小，
∵即矩形的面积为12，，
∴，，
∴，
∴，
由菱形的性质可得：，
∴，
∴，即的最小值为1．
故选A
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
9. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ）
A. 2π B. π C. π D. π
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，假设线段CD．AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE tan30°=×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC
=﹣OE×DE+BE CE
=
=．
故选C．
考点：圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位于负半轴，
∴，
∴，
故①正确；
由图象可知，，根据对称轴，得，
∴
∴，
故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线的最大值为，
当时，其函数值为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③错误；
如图所示，和点满足，
∴和点关于对称轴对称，
∴,
∵,
∴,
解得，
故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
二、填空题 请把最简答案直接填写在置后的横线上．（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 函数的自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：解：根据题意得到：x-1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．
点评：本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【解析】
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
15. 对于非零实数a，b，规定a b＝，若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出展开式中含项系数是______．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识．首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：展开式中含项的系数，
由可知，
展开式中第二项为
∴展开式中含项的系数是.
故答案为：．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分．共23分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂和实数的运算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和立方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将代入化简结果求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．
19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案．
（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
【小问2详解】
证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：对于，当时，，
∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题8分，共30分）
21. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为____________．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）①补全图形见解析；②；
（2）人；
（3）；
【解析】
【分析】（1）①先求解总人数，再求解D组人数，再补全统计图即可；②由乘以D组的占比即可得到圆心角的大小；
（2）由3600乘以E组人数的占比即可；
（3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【小问1详解】
解：①由题意可得：总人数为：（人），
∴D组人数为：（人），
补全图形如下：
②由题意可得：；
【小问2详解】
该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）学生人数有：
（人）；
【小问3详解】
记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果，
．
【点睛】本题考查了从统计图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）12
【解析】
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可；
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可．
【小问1详解】
由题意列方程组为：，
解得；
【小问2详解】
设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
【小问3详解】
当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
23. 秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时摆角为，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
【答案】座板距地面的最大高度为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
24. 在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】
【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
试题解析：如图．
．
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．
四、推理与论证（9分）
25. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．
（1）求证：直线是是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证；
（2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴直线是是的切线；
小问2详解】
解：作，垂足为E，如图所示，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
六、拓展探究（10分）
26. 如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大面积为，
（3）存在，或或，，见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴
【小问3详解】
存在，或或，，证明如下：
∵，
∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为：，
设点，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
综上可得：
或或，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．华蓥市2024年初中学业水平考试模拟试题
数 学
注意事项：
1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分120分．
2．考生答题前，请先将“学校”“姓名”“考号”等内容按要求用黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题答案用黑色签字笔规范、工整地书写在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题 每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂到答题卡上相应的位置．（本大题共10个小题，每小题，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 7
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在中，若，则是直角三角形
6. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2
7. 在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A 1 B. C. D. 3
9. 如图，AB是圆O直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ）
A 2π B. π C. π D. π
10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题 请把最简答案直接填写在置后的横线上．（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
12. 函数的自变量x的取值范围是________．
13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
14. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
15. 对于非零实数a，b，规定a b＝，若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 _____．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分．共23分）
17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题8分，共30分）
21. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为____________．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
23. 秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时摆角为，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
24. 在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
四、推理与论证（9分）
25. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．
（1）求证：直线是是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
六、拓展探究（10分）
26. 如图，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
