广东中考复习：二次函数图像与系数关系（选择题专题）
一、二次函数图象 与系数关系
1.a决定抛物线的开口方向及大小
①a>0，抛物线开口向上
②a<0，抛物线开口向下
③|a|越大，抛物线的开口越小
|a|越小，抛物线的开口越大
a、b共同决定对称轴的位置
①b=0时，对称轴为y轴
②b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）
③b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）
上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”
c决定抛物线与y轴交点位置（c是抛物线与y轴的交点坐标）
①c=0，抛物线过原点
②c>0，抛物线与y轴交于正半轴
③c<0，抛物线与y轴交于负半轴
b2-4ac决定抛物线与x轴交点个数
①b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）
②b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）
③b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）
一、单选题
1．如图，已知二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；
②；③；④（m为任意实数）．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④（的任意实数）；⑤．正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤关于x的一元二次方程的两根分别是和3，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若m，n为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．②③
7．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于两点，若，则下列结论中；①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
11．如图所示的二次函数的图象中，某同学观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）你认为其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴交于点．有下列结论：
①；
②；
③一元二次方程的两个实数根是和；
④当或时，．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）；（3）；（4）.你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
14．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表：
x … 0 3 …
y … n 2 n …
对于下列结论：①；②2是方程的一个根；③当时，y随x的增大而减小；④若，且点，在该二次函数的图像上，则；⑤对于任意实数n，都有．其中正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．②③④⑤
15．如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④和是抛物线上的两点，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
1．D
【分析】由抛物线开口向下得到，结合对称轴可得，由抛物线与y轴的交点可得，进而可判断①；根据当时，，即，当时，，即，两式相乘可判断②；根据当时，，可判断③；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值可判断④．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴与时函数值相等，
∴当时，，即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴时，y有最大值，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，其中a符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴的左侧时，a与b同号；当对称轴在y轴的右侧时，a与b异号；c的符号由抛物线与y轴的交点决定；根的判别式的符号由抛物线与x轴交点个数决定；此外还要找出图象上的特殊点对应的函数值得正负进行判断．
2．B
【分析】①由抛物线的开口方向可以判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，根据对称轴确定的符号，即可判断的符号；
②根据对称轴，可以判断、的关系；
③当时，，可以判断；
④当时，，不能判断．
【详解】解：①由图象可知，，，
，
，则，故①正确；
② ，a＞0，
，
，故②正确；
③由图象可知：当时，，
，故③错误；
④时，，
，
，而，
不能证明，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握、、对抛物线的决定作用是解题的关键．
3．C
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由时，函数y取得最大值可判断结论④．
【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，故①错误；
∵对称轴为直线，
∴，即，故②正确；
∵对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在点右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在左侧，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，当时，，
∵当时，函数值最大，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
4．C
【分析】由图象得：，，，即可判断①；利用函数图象与x轴的交点个数即可判断②；利用对称轴判断③；利用函数的最值判断④；利用函数的对称性得到与时的函数值相等，由此判断⑤．
【详解】解：由图象得：，，，
∴，故①正确；
由图象知：二次函数图象与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵图象对称轴为直线，
∴，故③正确；
当时，该函数图象有最高点，即函数有最大值，此时，
当（的任意实数）时，，
∴，即，故④正确；
∵图象对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∴当时函数值大于零，即，故⑤错误；
综上分析可知，正确的有4个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查根据二次函数的图象判断式子的符号正负，正确理解二次函数的图象与字母系数的关系是解题的关键．
5．B
【分析】由二次函数图象和性质即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象交y轴于原点上方，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象的对称轴是直线，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两根分别是和3，故④正确．
其中正确的结论有②③⑤，共3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴直线，与y轴的交点坐标，与x轴的交点坐标和各系数之间的关系．
6．B
【分析】由图象可知，然后根据二次函数的图象与性质及与方程的关系可进行求解．
【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，即，
∴，故①错误；
∵点是二次函数与x轴的交点，
∴根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，则有，故②正确；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，所以由、是抛物线上的两点，则有，故③正确；
∵二次函数与x轴的交点坐标为，，
∴该二次函数解析式可为，
由方程可知当时，即可看作方程的两个根即为直线与二次函数的图象的两个交点的横坐标，且，
∴且；故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据函数图像对称轴及，确定点，点，从而求得当时，即可判断②；根据对称轴，以及待定系数之间的关系得a与c的关系，即可判断③；根据二次函数性质即可判断④；
【详解】解：①观察图象可知：，
∴，故①错误；
②∵对称轴为直线，，
∴，
∴点，点B，
∴当时，，即，
∴，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，故③错误；
④当时，函数有最小值，
由，可得，
∴若m为任意实数，则，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
8．B
【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将代入函数解析式即可判断⑤对错．
【详解】解：图象开口向上，与轴交点在负半轴，
，，
图象对称轴在x轴负半轴，
、同号，
，
，①错误；
对称轴为直线，
，
，②正确；
对称轴为直线，且与的一个交点坐标为，
图象与x轴的另一个交点坐标为，③正确；
图象与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，④错误；
图象与x轴的两个交点为，
，
，
，⑤正确，
正确的结论有②③⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．
9．D
【分析】根据二次函数开口向上，于y轴交于负半轴得到，根据抛物线对称轴为直线，得到，即可判断①；由当时，得到进而推出，即可判断②；求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断③；二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断④；由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵二次函数对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴二次函数与x轴的另一个交点为，
∴，故③正确；
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴，即，故④正确；
由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴，即，故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
11．D
【分析】（1）根据图象与的交点的个数，求根的判别式；（2）取时，；（3）对称轴方程，根据图象开口方向判断与0的关系，将不等式变形即可；（4）取时，．（5）根据图象对称轴分析出和同号，由（2）得，即可得出结论．
【详解】解：由图象得：抛物线与轴交于两个点，
∴，结论（1）正确；
由函数图象与轴交点得：
当时， ，即，结论（2）错误；
由抛物线的对称轴的位置得：，
∴，
又∵抛物线开口向下，
∴，
∴
∴，结论（3）正确；
由函数图象可得：当时对应的函数值小于0，
即，结论（4）正确；
由该函数的图象知，开口向下，
∴，
对称轴方程，
∴，
∴、同号，
∴；
由（2）得，
∴，结论（5）正确；
综上所述，（2）错误，故只有1个错误．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
12．C
【分析】根据二次函数图象开口向上，，对称轴为直线，得出；与轴的一个交点为则二次函数的图象与轴的另一个交点为，可得，根据二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，即可判断③，根据函数图象即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，，对称轴为直线，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为直线，与轴的一个交点为
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为
∴，故②正确；
∵二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
∴一元二次方程的两个实数根是和，故③正确；
根据函数图象可知当或时，，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
13．D
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断的符号；根据抛物线与y轴的交点判断c的大小；根据开口方向和对称轴，判断b的符号；根据时，，判断的符号．
【详解】解：（1）根据图象，该函数图象与轴有两个交点，
∴，故（1）正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）的下方，
∴，故（2）错误；
（3）对称轴，
又函数图象的开口方向向下，
∴，
∴，故（3）正确；
（4）根据图示可知，当时，即，故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
14．B
【分析】根据表格信息求出二次函数的对称轴，已知，就可判断b的正负；根据函数的对称性，分析出也在该二次函数上，所以②正确；对称轴，根据函数的增减性判断，时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；根据函数的增减性即可判断出④正确；根据对称轴，求出时，该函数取得最大值，即可推出最后结论．
【详解】解：二次函数（a，b，c为常数，）,
该函数图像开口向下，
由表格可知，对称轴为直线，
，故①正确，符合题意；
点在二次函数的图像上，
点也在二次函数 的图像上，
是方程的一个根，故②正确，符合题意；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意；
若，且点，在该二次函数的图像上，则，故④正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
，
，
，
当时，该函数取得最大值，
对于任意实数n，都有，
即，
，
，故⑤正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据已知条件求出对称轴，判断在其对应定义域内的增减性是解答本题的关键．
15．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，故②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为，
∴当时，，
当时，，
∴，故③正确；
∵关于对称轴的对称点为，且抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减少，
∵，
∴，故④正确．
综上，③④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．C
【分析】根据抛物线顶点坐标，得出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线的对称性，得出图象与x轴另一交点在，之间，进而得出时，，即，即可判断结论①；再根据抛物线对称轴为直线，得出，然后将其代入抛物线解析式，得出，再根据时，，得出，即可判断结论②；再根据顶点坐标，得出有两个相等实数根，再根据一元二次方程的判别式，得出，即可判断结论③；再根据顶点坐标，得出的最大函数值为，再根据抛物线的图象，得出有实数根，即可判断结论④，综合即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意；
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④错误，不合题意，
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象求方程的根的情况，掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．
