解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题
第1课时 定点与定值问题
解答题专项练
1.(2023·江苏华罗庚中学高三检测)已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,抛物线上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标;
(2)设直线l与抛物线C交于D,E两点,抛物线C在点D,E处的切线分别为l1,l2,若直线l1与l2的交点恰好在直线y=-2上,证明:直线l恒过定点.
2.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,四个顶点组成的菱形面积为8,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O:x2+y2=上任意点P作圆O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:为定值.
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率是,实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB|=|PB|·|DA|成立,证明:点D的纵坐标为定值,并求出该定值.
4.(2023·福建福州模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上,且椭圆C经过点A(,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作长轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+t与直线l1,l2分别交于M,N两点.求证:以MN为直径的圆经过定点F.
5.如图,过点P(m,n)作抛物线C:x2=2py(p>0)的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,动点Q为抛物线C上在A,B之间部分上的任意一点,抛物线C在点Q处的切线分别交PA,PB于点M,N.
(1)若AP⊥PB,证明:直线AB经过点0,;
(2)若分别记△PMN,△ABQ的面积为S1,S2,求的值.
6.已知点P(1,1)在椭圆C:=1(a>b>0)上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆O:x2+y2=r2(0
②直线AB过定点.
解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题
第1课时 定点与定值问题
解答题专项练
1.(2023·江苏华罗庚中学高三检测)已知抛物线C:x2=2py的焦点为F,抛物线上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标;
(2)设直线l与抛物线C交于D,E两点,抛物线C在点D,E处的切线分别为l1,l2,若直线l1与l2的交点恰好在直线y=-2上,证明:直线l恒过定点.
(1)解:由抛物线C:x2=2py上一点A(m,2)到F的距离为3,可得2+=3,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
将点A(m,2)代入x2=4y,可得m2=8.
因为m>0,所以m=2,即点A的坐标为(2,2).
(2)证明:设Dx1,,Ex2,,由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+n,联立整理得x2-4kx-4n=0,所以Δ=16k2+16n>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4n.
又由x2=4y,即y=x2,可得y'=,所以抛物线C在点D处的切线l1的方程为y=(x-x1)+,即y=x-,同理切线l2的方程为y=x-,
联立解得
又因为直线l1与l2的交点恰好在直线y=-2上,所以=-2,即x1x2=-8.
所以x1x2=-4n=-8,解得n=2,
故直线l的方程为y=kx+2,所以直线l恒过定点(0,2).
2.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,四个顶点组成的菱形面积为8,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O:x2+y2=上任意点P作圆O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:为定值.
(1)解:由题意得2ab=8,e=,a2=b2+c2,可得a=2,b=2,故椭圆E的标准方程为=1.
(2)证明:当切线l的斜率不存在时,其方程为x=±,当x=时,则P,0,将x=代入椭圆方程=1得y=±,不妨令M,N,-,则=0,,=0,-,∴=-.
当x=-时,同理可得=-.
当切线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
∵l与圆O相切,
∴,∴3m2=8k2+8.
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴x1+x2=-,x1x2=,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,
∴8k2-m2+4>0.
∴m>或m<-.
∴=()·()==-.
∵=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)+km-+m2==0,∴=-.
综上,为定值-.
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率是,实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB|=|PB|·|DA|成立,证明:点D的纵坐标为定值,并求出该定值.
(1)解:依题意得,解得所以双曲线C的方程是=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),直线l的方程为y=kx+3.
将直线方程y=kx+3代入双曲线方程=1,化简整理得(1-4k2)x2-24kx-52=0,Δ=(-24k)2+4×(1-4k2)×52=208-256k2,则x1+x2=,x1x2=-.
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B,则应满足解得-
又y0=kx0+3=-+3=-,
所以点D的纵坐标为定值-.
4.(2023·福建福州模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上,且椭圆C经过点A(,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作长轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+t与直线l1,l2分别交于M,N两点.求证:以MN为直径的圆经过定点F.
(1)解:抛物线y2=8x的准线为x=-2,所以F(-2,0),即c=2.
又因椭圆C经过点A(,1),则解得所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明:易知,A1(-2,0),A2(2,0),所以l1:x=-2,l2:x=2.
联立消y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-8=0,因为直线l为椭圆C的一条切线l,所以Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-8)=0,得8k2-t2+4=0,故t2-8k2=4.
因为l与直线l1,l2分别交于M,N两点,设M(-2,y1),N(2,y2),所以=(-2+2,y1),=(2+2,y2),则=y1y2-4.
因为y1=-2k+t,y2=2k+t,则y1y2=t2-8k2=4,所以=y1y2-4=4-4=0,所以,即∠MFN=90°,所以以MN为直径的圆经过定点F.
5.如图,过点P(m,n)作抛物线C:x2=2py(p>0)的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,动点Q为抛物线C上在A,B之间部分上的任意一点,抛物线C在点Q处的切线分别交PA,PB于点M,N.
(1)若AP⊥PB,证明:直线AB经过点0,;
(2)若分别记△PMN,△ABQ的面积为S1,S2,求的值.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b,联立消去y并整理得x2-2pkx-2pb=0,有x1x2=-2pb.
令抛物线C:x2=2py在点A处切线方程为y-y1=t(x-x1),联立消去y并整理得x2-2ptx+2ptx1-2py1=0,则有Δ=4p2t2-4(2ptx1-2py1)=4p2t2-4(2ptx1-)=0,解得t=.
同理,抛物线C:x2=2py在点B处切线斜率为.
若AP⊥PB,则有=-1,解得b=,所以直线AB:y=kx+恒过定点0,.
(2)解:由(1)知,切线PA的方程为y-y1=(x-x1),整理得y=x-y1,同理切线PB的方程为y=x-y2,设点Q(x0,y0),则切线MN的方程为y=x-y0.
而点P(m,n),即有n=m-y1,n=m-y2,因此直线AB的方程为y=x-n,有|AB|=|x1-x2|,点Q(x0,y0)到直线AB的距离是d2=,则S2=|x1-x2|x0-y0-n,联立解得点M的横坐标xM=,同理点N的横坐标xN=,有|MN|=,点P(m,n)到直线MN的距离d1=,则S1=|x1-x2|x0-y0-n.所以.
6.已知点P(1,1)在椭圆C:=1(a>b>0)上,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆O:x2+y2=r2(0
②直线AB过定点.
(1)解:由题知,=1,△PF1F2的面积等于|F1F2|=c=,所以a2-b2=c2=,解得a2=3,b2=,所以,椭圆C的方程为=1.
(2)证明:①设直线PA的方程为y=k1x-k1+1,直线PB的方程为y=k2x-k2+1,由题知=r,所以(1-k1)2=r2(1+),所以(1-r2)-2k1+1-r2=0,同理,(1-r2)-2k2+1-r2=0,所以k1,k2是关于k的方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两根,所以k1k2=1.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为y=k3x+m,将y=k3x+m代入=1得(1+2)x2+4k3mx+2m2-3=0,所以x1+x2=-,①
x1x2=,②
所以y1+y2=k3(x1+x2)+2m=,③
y1y2=(k3x1+m)(k3x2+m)=x1x2+k3m(x1+x2)+m2=.④
又因为k1k2==1,⑤
将①②③④代入⑤,化简得3+4k3m+m2+2m-3=0,所以3+4k3m+(m+3)(m-1)=0,所以(m+3k3+3)(m+k3-1)=0,若m+k3-1=0,则直线AB:y=k3x+1-k3=k3(x-1)+1,此时AB过点P,舍去.若m+3k3+3=0,则直线AB:y=k3x-3-3k3=k3(x-3)-3.此时AB恒过点(3,-3).综上,直线AB过定点(3,-3).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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