2024年河南中考数学一模试卷11-15题汇编附解析
一．填空题（共60小题）
1．（2024 平顶山一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
2．（2024 平顶山一模）分式方程的解是 ．
3．（2024 平顶山一模）某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为 ．
4．（2024 平顶山一模）如图，直线y＝kx+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝﹣（x＜0）图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为 ．
5．（2024 南乐县一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
6．（2024 南乐县一模）方程组的解为 ．
7．（2024 南乐县一模）某校为全面了解学生的视力情况，定期对该校2000名学生进行抽测．如图，这是某次随机抽测学生的视力情况的扇形统计图，则此时该校视力不低于4.8的学生约有 人．
8．（2024 南乐县一模）如图，半径为的⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，D，与边CD交于点M，过点M作⊙O的切线交BC于点N，若∠CMN＝30°，则BN的长为 ．
9．（2024 南乐县一模）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD为△ABC的中线．沿CD将纸片剪开，得到△AC′D′和△BCD，将三角形纸片AC′D′沿直线BD向右平移，当线段AC′在△BCD内部的长度为1时，△AC′D′平移的距离为 ．
10．（2024 汝阳县一模）二次函数y＝x2+4x+4的顶点坐标为 ．
11．（2024 汝阳县一模）化简＝ ．
12．（2024 汝阳县一模）如图，点A、B、C都在半径为3的圆O上，若∠ACB＝30°，则劣弧AB的长度为 ．
13．（2024 汝阳县一模）现有一副三角板，即含30°的Rt△BCM和含45°的Rt△AEG，如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持D在线段BM上，且EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是 .（结果化为一般式，不必写x的取值范围．）
14．（2024 汝阳县一模）在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 ．
15．（2024 永城市校级一模）如果有意义，那么x的取值范围是 ．
16．（2024 永城市校级一模）不等式组的解集为 ．
17．（2024 永城市校级一模）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 分．
18．（2024 永城市校级一模）如图，把矩形OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P在边OC上，且不与点O，C重合；点Q在边OA上，且不与点O，A重合，AQ＝2OP，连接QP，QB，PB．当点Q的坐标为 时，PQ⊥BQ．
19．（2024 永城市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 ．
20．（2024 郸城县一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
21．（2024 郸城县一模）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为 ．
22．（2024 郸城县一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D均在格点上，以O为圆心OA为半径的弧经过点B，以O为圆心，OD为半径的弧交OA于点E，OD的延长线交弧AB于点C，则图中阴影部分的面积为 .
23．（2024 郸城县一模）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝45°，AB＝AC＝2，点P为边AB上一个动点，连接CP，点D为点A关于CP的对称点，连接DP，CD，当CD垂直于△ABC的一腰时，AP的长为 ．
24．（2024 新安县一模）写出一个比0大且比3小的无理数： ．
25．（2024 新安县一模）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，固定指针，分别自由转动转盘一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字所在的扇形为止）．将两指针所指的两个扇形中的数字相乘，积为偶数的概率是 ．
26．（2024 新安县一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两个实数根，则﹣x1x2+的值是 ．
27．（2024 新安县一模）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
28．（2024 新安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在BC上，，将线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ．当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的长为 ．
29．（2024 驻马店一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是（25±2）℃，请你写出一个适合该食品保存的温度： ℃．
30．（2024 驻马店一模）若点M（2﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是 ．
31．（2024 驻马店一模）香港国际六人板球赛（Hong Kong Internmtionml Cricket Sixes），是国际板球赛一大盛事．在一次比赛中，甲、乙两支板球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是 队．（填“甲”或“乙”）
32．（2024 驻马店一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥AB，以O为圆心，分别以OA、OC的长为半径画弧交对角线BD于点E、F，若AB＝，AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
33．（2024 驻马店一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点，连接AE，BE，P为边AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折，若点A的对应点A'恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 ．
34．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ ．
35．（2024 河南一模）已知不等式组有四个整数解，则a的取值范围为 ．
36．（2024 河南一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面．
37．（2024 河南一模）如图，点A，C均在⊙O上，线段BD经过圆心，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，已知⊙O的半径为2，，CD＝1，则图中阴影部分的周长为 ．
38．（2024 河南一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠BCD的平分线交边AD于点E，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．当BN＝ 时，PM+PN的值最小．
39．（2024 襄城县一模）单项式5m的次数为 ．
40．（2024 襄城县一模）不等式4x﹣8＞0的解集为 ．
41．（2024 襄城县一模）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目 跑步 花样跳绳 跳绳
得分 90 80 70
评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 ．
42．（2024 襄城县一模）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 .（结果保留π与根号）
43．（2024 襄城县一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 ．
44．（2024 西华县一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
45．（2024 西华县一模）方程组的解为 ．
46．（2024 西华县一模）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是 ．
47．（2024 西华县一模）如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，O为斜边AB的中点，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，过点O作OE∥AC，交于点E，则OE的长为 ．
48．（2024 西华县一模）矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB＝1，AD＝．当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为 ．
49．（2024 扶沟县一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ．
50．（2024 扶沟县一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 ．
51．（2024 禹州市一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
52．（2024 禹州市一模）在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为 ．
53．（2024 禹州市一模）元旦汇演，小明和小颖被随机分到三个舞蹈节目中参加演出，则小明和小颖被分到同一个舞蹈节目的概率为 ．
54．（2024 禹州市一模）济郑高铁的开通大大缩短了郑州到济南的出行时间，未开通前，从郑州（A地）到济南（B地），需要绕道徐州（C地）．如图所示，已知徐州到济南的距离（BC）约为320km，济南在郑州北偏东50°方向，徐州在郑州南偏东85°方向，∠B＝60°，请你计算济郑高铁开通后，从郑州到济南不绕道徐州少走约 km．（结果保留整数．参考数据：，
55．（2024 管城区校级一模）某轮船顺水航行3h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行 km．
56．（2024 管城区校级一模）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为 ．
57．（2024 管城区校级一模）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两次摸到不同数字的概率是 ．
58．（2024 管城区校级一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
59．（2024 管城区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 ．
60．（2024 遂平县一模）如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB＝90°，再以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 ．
2024年河南中考数学一模试卷11-15题汇编附解析
参考答案与试题解析
一．填空题（共60小题）
1．（2024 平顶山一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ﹣3，答案不唯一 ．
【答案】﹣3，答案不唯一．
【分析】根据题意可知，点P在数轴上，且到原点的距离大于2，可得|点P表示的数|＞2，因此即可写出一个点P表示的负数．
【解答】解：∵点P在数轴上，且到原点的距离大于2，
∴|点P表示的数|＞2，
∴点P表示的负数：﹣3，
故答案为：﹣3，答案不唯一．
【点评】本题考查的是数轴和正负数，熟练掌握数轴上点到原点的距离是解题的关键．
2．（2024 平顶山一模）分式方程的解是 x＝2 ．
【答案】x＝2．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x﹣1＝x+1，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的解，
故原方程的解为x＝2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题代入关键．
3．（2024 平顶山一模）某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为 ．
【答案】．
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：共30+20+18+12＝80人，
选择篮球的有30人，
所以该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为＝，
故答案为：．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是读懂统计图，难度不大．
4．（2024 平顶山一模）如图，直线y＝kx+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝﹣（x＜0）图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在反比例函数y＝﹣上，
∴点C（﹣1，4），
∴﹣k+3＝4，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．
5．（2024 南乐县一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥8 ．
【答案】x≥8．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零，列式求解即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣8≥0，
解得：x≥8；
故答案为：x≥8．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是关键．
6．（2024 南乐县一模）方程组的解为 ．
【答案】．
【分析】消元的方法有：代入消元法与加减消元法．第一个方程两边乘以2变形后，与第一个方程相加消元y求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解．
【解答】解：，
①×2+②得：，即x＝2，
将x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查解二元一次方程组，正确利用消元的思想是解题关键．
7．（2024 南乐县一模）某校为全面了解学生的视力情况，定期对该校2000名学生进行抽测．如图，这是某次随机抽测学生的视力情况的扇形统计图，则此时该校视力不低于4.8的学生约有 1000 人．
【答案】1000．
【分析】用该校总人数乘以样本中视力不低于4.8的学生所占比例，即可求解，
【解答】解：样本中，视力不低于4.8的学生约占：30%+20%＝50%，
2000名学生中视力不低于4.8的学生约有：2000×50%＝1000（人），
故答案为：1000．
【点评】本题考查了，通过样本估计总体，解题的关键是：掌握用样本估计总体的方法．
8．（2024 南乐县一模）如图，半径为的⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，D，与边CD交于点M，过点M作⊙O的切线交BC于点N，若∠CMN＝30°，则BN的长为 ．
【答案】．
【分析】过点O作OE⊥AD于E，连接OD，先由切线的性质得到∠OMN＝90°，从而得到∠OMD＝60°，得出△ODM是等边三角形，则∠ODM＝∠OMD＝60°，，即可得到∠ODE＝30°，即可求得DE＝3，利用垂径定理，得出AD＝6，则可求得，在解Rt△MCN，求得，即可由BN＝BC﹣CN求解．
【解答】解：过点O作OE⊥AD于E，连接OD，如图，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OMN＝90°，
∵∠CMN＝30°，
∴∠OMD＝180°﹣∠OMN﹣∠CMN＝60°，
∵OM＝OD，
∴△ODM是等边三角形，
∴∠ODM＝∠OMD＝60°，，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝BC，
∴∠ODE＝30°
∵OE⊥AD，
∴AD＝2DE，∠OED＝90°，
∴，
∴，
∴AD＝2DE＝6，
∴BC＝CD＝AD＝6，
∴，
在Rt△MCN中，∠CMN＝30°，∠MCN＝90°，
∴，即
∴
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质．熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
9．（2024 南乐县一模）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD为△ABC的中线．沿CD将纸片剪开，得到△AC′D′和△BCD，将三角形纸片AC′D′沿直线BD向右平移，当线段AC′在△BCD内部的长度为1时，△AC′D′平移的距离为 ．
【答案】．
【分析】根据∠A＝∠B可得AE＝BE，CE＝C′E，进而证求出CE＝EF＝C′E＝1，得AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝3，再由AD＝AF cosA求解即可．
【解答】解：如图2，设AC′交BC于E，交CD于F，过点E作EH⊥CD，
依题意得：EF＝1，
∵AC＝BC＝5，CD为△ABC的中线，
∴∠A＝∠B，
∠ADC＝∠BDC＝90°，图1中，
由平移的性质可知图2中AD′＝4，
∴AE＝BE，
∴AC′﹣AE＝BC﹣BE，即CE＝C′E，
又∵∠A+∠AFD＝90°，∠B+∠C＝90°，∠AFD＝∠CFE，
∴∠C＝∠CFE，
∴CE＝EF＝1，
∴C′E＝EF＝1，
∴AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝5﹣1﹣1＝3，
∵图2 中，
∴，
即△AC′D′平移的距离为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平移的性质和解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，求出C′E＝EF＝1是解题关键．
10．（2024 汝阳县一模）二次函数y＝x2+4x+4的顶点坐标为 （﹣2，0） ．
【答案】（﹣2，0）．
【分析】将一般式化为顶点式，即可求解．
【解答】解：∵y＝x2+4x+4＝（x+2）2，
∴顶点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握函数的性质．
11．（2024 汝阳县一模）化简＝ 2024 ．
【答案】2024．
【分析】当a≥0时，；当a＜0时，，据此计算即可．
【解答】解：，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，属于基础题．
12．（2024 汝阳县一模）如图，点A、B、C都在半径为3的圆O上，若∠ACB＝30°，则劣弧AB的长度为 π ．
【答案】π．
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴劣弧AB的长度为＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键．
13．（2024 汝阳县一模）现有一副三角板，即含30°的Rt△BCM和含45°的Rt△AEG，如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持D在线段BM上，且EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是 y＝ .（结果化为一般式，不必写x的取值范围．）
【答案】y＝．
【分析】根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到EC边的高和EC的长，从而可以表示出△EFC的面积．【点评】
【解答】解：作FH⊥EC于点H，如图所示，
则∠FHE＝90°，
∴∠FEH+∠EFH＝90°
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠DEB，
在△DEB和△EFH中，
，
∴△DEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝HF，
∵BE＝x，
∴HF＝x，
∵MB＝4，∠B＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝4，
∴△EFC的面积为是：，
即y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（2024 汝阳县一模）在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，若cos∠BAD＝，BD＝，则CD为 1或5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，在Rt△ABD中由cos∠BAD＝＝，可设设AD＝2x，则AB＝3x，结合BD的长根据勾股定理可得，求得x的值后即可得AB＝AC＝3，AD＝2，在锐角三角形中CD＝AC﹣AD，在钝角三角形中CD＝AC+AD即可得答案．
【解答】解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝＝，
∴设AD＝2x，则AB＝3x，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
由①知，AD＝2x＝2，AB＝AC＝3x＝3，
∴CD＝AC+AD＝5，
故答案为：1或5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是根据三角形的形状分类讨论．
15．（2024 永城市校级一模）如果有意义，那么x的取值范围是 x≤1 ．
【答案】x≤1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：﹣x+1≥0，
解得：x≤1，
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
16．（2024 永城市校级一模）不等式组的解集为 x＜﹣1 ．
【答案】x＜﹣1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由3﹣x＞0得：x＜3，
由2x＜﹣x﹣3得：x＜﹣1，
则不等式组的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（2024 永城市校级一模）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 83 分．
【答案】83．
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【解答】解：小明的最终比赛成绩为：90×30%+80×70%＝27+56＝83（分），
故答案为：83．
【点评】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键．
18．（2024 永城市校级一模）如图，把矩形OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P在边OC上，且不与点O，C重合；点Q在边OA上，且不与点O，A重合，AQ＝2OP，连接QP，QB，PB．当点Q的坐标为 （，0） 时，PQ⊥BQ．
【答案】（，0）．
【分析】通过证明△POQ∽△QAB，可得，可求OQ的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，O（0，0），A（4，0），C（0，3），
∴OA＝4，AB＝OC＝3，∠COA＝∠BAO＝90°，
若PQ⊥BQ，
∴∠PQB＝90°＝∠COA＝∠BAO，
∴∠OPQ+∠OQP＝90°＝∠OQP+∠BQA，
∴∠OPQ＝∠AQB，
∴△POQ∽△QAB，
∴，
∵AQ＝2OP，
∴，
∴OQ＝，
∴点Q（，0），
∴当点Q（，0）时，PQ⊥BQ，
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19．（2024 永城市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 80°或140° ．
【答案】80°或140°．
【分析】分两种情形：①BE＝BC，②EB＝EC，分别求出∠BOD即可．
【解答】解：如图1中，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵弧BD＝弧BD，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°；
如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合，
∵BE＝BC，
∴∠EBC＝∠BCD＝40°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝80°；
故答案为：80°或140°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2024 郸城县一模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2且x≠4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【解答】解：根据题意得，
解得x≥2且x≠4，
∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠4，
故答案为x≥2且x≠4．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．
21．（2024 郸城县一模）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为 55° ．
【答案】55°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝65°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB＝60°，然后利用三角形内角和定理可得∠4＝55°，从而利用对顶角相等可得∠2＝∠4＝55°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝65°，
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝55°，
∴∠2＝∠4＝55°，
答案为：55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22．（2024 郸城县一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D均在格点上，以O为圆心OA为半径的弧经过点B，以O为圆心，OD为半径的弧交OA于点E，OD的延长线交弧AB于点C，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 .
【答案】π﹣2．
【分析】根据S阴＝S扇形AOC﹣S扇形DOE+S扇形BOC﹣S△OBD求解即可．
【解答】解：根据题意得，∠AOC＝∠BOC＝45°，∠ODB＝90°，OD＝BD＝2，OA＝OC＝＝2，
∵S阴＝S扇形AOC﹣S扇形DOE+S扇形BOC﹣S△OBD，
∴S阴＝﹣+﹣×2×2＝π﹣2，
故答案为：．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
23．（2024 郸城县一模）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝45°，AB＝AC＝2，点P为边AB上一个动点，连接CP，点D为点A关于CP的对称点，连接DP，CD，当CD垂直于△ABC的一腰时，AP的长为 或2 ．
【答案】或2．
【分析】分CD⊥AB、CD⊥AC两种情况讨论．
【解答】解：①CD⊥AB时，
，
∵CD⊥AB，
∴∠CEA＝∠AED＝90°，
∵∠A＝45°，AC＝2，
∴AE＝AC cos∠A＝2，
∵点D为点A关于CP的对称点，
∴DP＝AP，∠D＝∠A＝45°，
设AP＝x，则DP＝x，EP＝2﹣x，
∵EP＝DP sin∠D，
∴2﹣x＝x，
解得：x＝4﹣2，
②CD⊥AC时，
∵∠A＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝＝4，
∵点D为点A关于CP的对称点，
∴AP＝DP，
∴AP＝2，
故答案为：或2．
【点评】本题考查了等腰三角形，关键是注意分类讨论．
24．（2024 新安县一模）写出一个比0大且比3小的无理数： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】首先根据：02＝0；32＝9，可得：一个比2大且比3小的无理数的平方可以是3，这个无理数可以是（答案不唯一），据此判断即可．
【解答】解：请写出一个比0大且比3小的无理数：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个无理数的平方的大小．
25．（2024 新安县一模）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，固定指针，分别自由转动转盘一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字所在的扇形为止）．将两指针所指的两个扇形中的数字相乘，积为偶数的概率是 ．
【答案】．
【分析】列表得出共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，和为偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 1 2 3
2 2 4 6
由表知共有6种等可能结果，其中积为偶数的有4种结果，
所以积为偶数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
26．（2024 新安县一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两个实数根，则﹣x1x2+的值是 16 ．
【答案】16．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣5，
所以﹣x1x2+＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝1+15＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
27．（2024 新安县一模）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 4 ．
【答案】4．
【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的性质解答．
【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点B为弧AD 的中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝20°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°，
∴∠BOQ＝20°+40°＝60°．
∵OB＝OQ，
∴△BOQ是等边三角形，
∴BQ＝OB＝CD＝4，即PA+PB的最小值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
28．（2024 新安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在BC上，，将线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ．当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的长为 或． ．
【答案】或．
【分析】根据旋转的性质求出CQ＝CP＝，分；两种情况进行讨论，再利用勾股定理求出GC的长，最后根据勾股定理求出AQ的长．
【解答】解：当点Q在△ABC里面时，过点Q作QG⊥AC于点G，则QG＝1，如图：
根据旋转的性质可知CQ＝CP＝，
在Rt△QGC中，CG＝，
∵AC＝BC＝4，
∴AG＝AC﹣GC＝4﹣1＝3，
在Rt△AQG中，AQ＝，
当点Q在△ABC外面时，如图，过点Q作QE⊥AC，
根据旋转的性质可知CQ＝CP＝，
∵QE＝1，
∴CE＝1，
∴AD＝5，
在Rt△AQE中，AQ＝＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练掌握性质是解题关键．
29．（2024 驻马店一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是（25±2）℃，请你写出一个适合该食品保存的温度： 25（答案不唯一）． ℃．
【答案】25（答案不唯一）．
【分析】根据正数和负数的实际意义求得保存温度的范围后即可求得答案．
【解答】解：由题意可得保存温度的范围是23℃～27℃，
则适合该食品保存的温度为25℃，
故答案为：25（答案不唯一）．
【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得保存温度的范围是解题的关键．
30．（2024 驻马店一模）若点M（2﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是 m＞2 ．
【答案】m＞2．
【分析】根据第二象限内点的坐标符号特点列出不等式组，解之即可．
【解答】解：由题意知，，
解得m＞2，
故答案为：m＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
31．（2024 驻马店一模）香港国际六人板球赛（Hong Kong Internmtionml Cricket Sixes），是国际板球赛一大盛事．在一次比赛中，甲、乙两支板球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是 甲 队．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲．
【分析】根据方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是甲队．
故答案为：甲．
【点评】本题考查折线统计图以及方差，关键是掌握一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
32．（2024 驻马店一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥AB，以O为圆心，分别以OA、OC的长为半径画弧交对角线BD于点E、F，若AB＝，AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】根据平行四边形的性质求出AO＝CO＝1，S△ABO＝S△CDO＝，解直角三角形求出∠AOB＝60°＝∠COD，再根据图中阴影部分的面积＝S△AOB+S△COD﹣S扇形AOE﹣S扇形COD求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，AB＝，AC＝2，
∴AO＝CO＝AC＝1，S△ABO＝S△CDO＝S平行四边形ABCD＝××2＝，
在Rt△ABO中，tan∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝60°＝∠COD，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOB+S△COD﹣S扇形AOE﹣S扇形COD＝+﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
33．（2024 驻马店一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点，连接AE，BE，P为边AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折，若点A的对应点A'恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 1或﹣1 ．
【答案】1或﹣1．
【分析】分两种情况：①当点A'落在AE上时，②当点A落在BE上时，分别依据折叠的性质以及勾股定理进行计算，即可得到AP的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图所示，当点A'落在AE上时，
∵AP＝A'P，AB＝A'B，
∴BP垂直平分AE，
∴∠ABP+∠BAE＝90°＝∠DAE+∠BAE，
∴∠ABP＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠BAP＝∠ADE＝90°，
∴△ABP≌△DAE（ASA），
∴AP＝DE，
∵正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点，
∴DE＝1，
∴AP＝1；
②如图所示，当点A落在BE上时，连接PE，
设AP＝x，则DP＝2﹣x，A'P＝x，
由折叠可得，A'B＝AB＝2，∠BA'P＝∠BAP＝90°，
Rt△BCE中，BE＝＝，
∴A'E＝﹣2，
∵A'P2+A'E2＝PE2＝PD2+DE2，
∴x2+（﹣2）2＝（2﹣x）2+12，
解得x＝﹣1．
∴AP＝﹣1．
综上所述，线段AP的长为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换，折叠问题实质上就是轴对称变换．解题问题的方法是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
34．（2024 河南一模）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ 55° ．
【答案】55°．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义得出∠CDH＝90°﹣∠HED，进而解答即可．
【解答】解：∵直线EF平分∠GEB，∠GEB＝70°，
∴∠HED＝∠AEH＝∠GEF＝，
∵过点D作DH⊥EF于点H，
∴∠HDE＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∵∠AED＝∠GEB＝70°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝110°﹣55°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
35．（2024 河南一模）已知不等式组有四个整数解，则a的取值范围为 9＜a≤10 ．
【答案】9＜a≤10．
【分析】解不等式2（x﹣1）＞，得x＞5，然后根据题意即可得出a的取值范围．
【解答】解：由不等式2（x﹣1）＞，可得x＞5，
所以不等式组四个整数解为6，7，8，9，
所以9＜a≤10，
故答案为：9＜a≤10．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
36．（2024 河南一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 2 秒落回到地面．
【答案】2．
【分析】根据“物体落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．
【解答】解：由题意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴物体经过2秒落回到地面．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，根据题目意思正确列出方程并求解是解题关键．
37．（2024 河南一模）如图，点A，C均在⊙O上，线段BD经过圆心，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，已知⊙O的半径为2，，CD＝1，则图中阴影部分的周长为 +2+2 ．
【答案】+2+2．
【分析】证明△COD≌△OAB，根据全等三角形的性质求出∠OAB＝∠COD，解直角三角形求出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°，∠OAB＝∠COD＝30°，∠AOC＝150°，根据弧长计算公式求出的长度，再求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∵⊙O的半径为2，CD＝1，
∴OD＝＝＝，
∵AB＝，
∴AB＝OD，
在Rt△OAB和Rt△COD中，
，
∴Rt△OAB≌Rt△COD（HL），
∴∠OAB＝∠COD，OB＝CD＝1，
∵sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，∠OAB＝∠COD＝30°，
∴∠AOC＝150°，
∴的长度＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝+1++1+＝+2+2，
故答案为：+2+2．
【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形求出∠AOC＝150°是解题的关键．
38．（2024 河南一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠BCD的平分线交边AD于点E，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．当BN＝ 2 时，PM+PN的值最小．
【答案】2．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，则四边形BCGF是矩形，所以FG＝BC＝4，∠PFB＝90°，由CE平分∠BCD，得PH＝PG，由PM≥PF，PN≥PH，得PM+PN≥4，可知当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值4，此时四边形BHPF是正方形，则BN＝BH＝PF＝PH＝PG＝FG＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCG＝∠FGC＝90°，
∴四边形BCGF是矩形，
∴FG＝BC＝4，∠PFB＝∠B＝∠PHB＝90°，
∴四边形BHPF是矩形，PF⊥AB，
∵CE平分∠BCD，
∴PH＝PG，
∵PM≥PF，PN≥PH，
∴PM+PN≥PF+PH，
∴PM+PN≥PF+PG，
∵PF+PG＝FG＝4，
∴PM+PN≥4，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值4，
∵BM＝BN，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，则BF＝BH，此时四边形BHPF是正方形，
∴BH＝PF＝PH＝PG＝FG＝×4＝2，
∴BN＝BH＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线的性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
39．（2024 襄城县一模）单项式5m的次数为 1 ．
【答案】1．
【分析】根据单项式的次数的定义解决此题．
【解答】解：单项式5m的次数为1次．
故答案为：1．
【点评】此题考查了单项式，掌握单项式的定义即单项式的所有字母的指数的和是单项式的次数是解题的关键．
40．（2024 襄城县一模）不等式4x﹣8＞0的解集为 x＞2 ．
【答案】x＞2．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式4x﹣8＞0的解集即可．
【解答】解：移项，可得：4x＞8，
把x的系数化为1，可得：x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
41．（2024 襄城县一模）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目 跑步 花样跳绳 跳绳
得分 90 80 70
评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 83分 ．
【答案】83分．
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：小红的最终得分为：90×50%+80×30%+70×20%＝83（分）．
故答案为：83分．
【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．
42．（2024 襄城县一模）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 （π﹣）cm2 .（结果保留π与根号）
【答案】（π﹣）cm2．
【分析】连接OA，OC，OC交AB于点M，根据折叠性质及等边三角形性质求得∠AOC＝60°，OM的长度，再利用勾股定理求得AM的长度，然后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OA，OC，OC交AB于点M，
由折叠性质可得OA＝AC，AB⊥OC，
∴OA＝OC＝AC＝2cm，
∴OM＝CM＝OC＝1cm，∠AOC＝60°，
∵∠AMO＝90°，
∴AM＝＝＝（cm），
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×2×
＝（π﹣）（cm2），
故答案为：（π﹣）cm2．
【点评】本题考查扇形面积公式和折叠性质，结合已知条件求得∠AOC的度数及OM的长度是解题的关键．
43．（2024 襄城县一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 ．
【答案】．
【分析】过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得到OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，根据三角形的面积公式得到AN＝BM，根据全等三角形的性质得到ON＝OM，FM＝EN，设FM＝EN＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，
∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵S△AOB＝OB AN＝OA BM，
∴AN＝BM，
∵AE＝BF，
∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL），
∴FM＝EN，
设FM＝EN＝x，
∵AF＝1，BE＝3，
∴BN＝3﹣x，AM＝1+x，
∴3﹣x＝1+x，
∴x＝1，
∴FM＝1，
∴AM＝2，
∵AB＝5，
∴，
∴BF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
44．（2024 西华县一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，
则x﹣7≠0，
解得：x≠7．
故答案为：x≠7．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
45．（2024 西华县一模）方程组的解为 ．
【答案】．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：，
①﹣②×2，可得﹣3x＝﹣9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，可得：3+2y＝5，解得y＝1，
∴原方程组的解是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
46．（2024 西华县一模）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将4种没有标签的无色溶液分别记作A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中颜色恰好都发生变化的有2种结果，
所以颜色恰好都发生变化的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
47．（2024 西华县一模）如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，O为斜边AB的中点，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，过点O作OE∥AC，交于点E，则OE的长为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】连接AE，过点E作EF⊥AC于F，过点O作OG⊥AC于G，过点A作AH⊥EO，交EO的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AG、OG，根据勾股定理求出AF，得到答案．
【解答】解：如图，连接AE，过点E作EF⊥AC于F，过点O作OG⊥AC于G，过点A作AH⊥EO，交EO的延长线于H，
则四边形AHEF、四边形GOEF、四边形AHOG为矩形，
∴EF＝OG＝AH，EH＝AF，OH＝AG，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，∠BAC＝45°，
∵O为斜边AB的中点，
∴OA＝AB＝，
∴AG＝OG＝1，
∴EF＝AH＝1，
∴AF＝＝，
∴OE＝EH﹣OH＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
48．（2024 西华县一模）矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C，且AB＝1，AD＝．当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为 或 ．
【答案】或．
【分析】分两种情况讨论：当∠AEO＝90°时，先求出∠BAC的度数，AO的长，再根据∠BAC的余弦值即可求出AE的长；当∠AOE＝90°时，先证得AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA＝30°，再根据∠EAC的余弦值即可求出AE的长．
【解答】解：如图1，当∠AEO＝90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AB＝1，AD＝，
∴BC＝，
∴tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝60°，
由勾股定理得，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO＝＝1，
在Rt△AEO中，cos∠BAC＝，
∴cos60°＝，
即，
∴AE＝；
如图2，当∠AOE＝90°时，
∵O为对角线AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
在Rt△AOE中，cos∠EAC＝，
即cos30°＝，
∴，
∴AE＝；
综上，当以点A，E，O为顶点的三角形为直角三角形时，AE的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
49．（2024 扶沟县一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 2 ．
【答案】2．
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
50．（2024 扶沟县一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 80π ．
【答案】80π．
【分析】由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱，再列式计算其侧面积和底面积的和即可．
【解答】解：由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱，
所以其表面积为2π×4×6+2×π×42
＝48π+32π
＝80π．
故答案为：80π．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及有关尺寸．
51．（2024 禹州市一模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 x≥3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
52．（2024 禹州市一模）在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为 x＞8 ．
【答案】x＞8．
【分析】根据题意列出，然后根据解一元一次不等式组的步骤求出解集即可．
【解答】解：由题意得，
解不等式①得，x＞8，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是x＞8，
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，解一元一次不等式组，理解题意，正确列出不等式组是解题的关键．
53．（2024 禹州市一模）元旦汇演，小明和小颖被随机分到三个舞蹈节目中参加演出，则小明和小颖被分到同一个舞蹈节目的概率为 ．
【答案】．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和小颖被分到同一个舞蹈节目的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：记三个舞蹈节目为A，B，C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明和小颖被分到同一个舞蹈节目的结果有3种，
∴小明和小颖被分到同一个舞蹈节目的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
54．（2024 禹州市一模）济郑高铁的开通大大缩短了郑州到济南的出行时间，未开通前，从郑州（A地）到济南（B地），需要绕道徐州（C地）．如图所示，已知徐州到济南的距离（BC）约为320km，济南在郑州北偏东50°方向，徐州在郑州南偏东85°方向，∠B＝60°，请你计算济郑高铁开通后，从郑州到济南不绕道徐州少走约 275 km．（结果保留整数．参考数据：，
【答案】275．
【分析】根据平角的定义得到∠BAC＝180°﹣∠EAB﹣∠FAC＝45°，求得∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝75°，过点C作CD⊥AB于D，得到∠BCD＝90°﹣60°＝30°，求得BD＝BC＝160km，根据勾股定理得到CD＝＝160km，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意得∠EAB＝50°，∠FAC＝85°，BC＝320km，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAB﹣∠FAC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝75°，
过点C作CD⊥AB于D，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC＝160km，
在Rt△BCD中，CD＝＝160km，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝160km，
∴AC＝AD＝160（km），
∴AB＝AD+BD＝（160）km，
∴AC+BC﹣AB＝160+320﹣（160）≈275km，
答：从郑州到济南不绕道徐州少走约275km．
故答案为：275．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
55．（2024 管城区校级一模）某轮船顺水航行3h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行 3（a+b） km．
【答案】3（a+b）．
【分析】由轮船在静水中的速度及水流的速度，可得出轮船顺水航行的速度是（a+b）km/h，再利用路程＝速度×实际，即可得出轮船航行的路程．
【解答】解：∵轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，
∴轮船顺水航行的速度是（a+b）km/h，
∴轮船顺水航行3h共航行了3（a+b）km．
故答案为：3（a+b）．
【点评】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出轮船航行的路程是解题的关键．
56．（2024 管城区校级一模）已知x与y的互为相反数，并且2x﹣y＝3，则xy的值为 1 ．
【答案】1．
【分析】首先根据：x与y互为相反数，可得：x+y＝0；然后根据2x﹣y＝3，求出x、y的值各是多少，再应用代入法，求出xy的值为多少即可．
【解答】解：∵x与y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴，
①+②，得3x＝3，
解得x＝1，
∴y＝﹣1，
∴xy＝1﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．
57．（2024 管城区校级一模）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两次摸到不同数字的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两次摸到不同数字的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的结果数为4，
所以两次摸到不同数字的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
58．（2024 管城区校级一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】利用网格线及勾股定理逆定理求得△ABC是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AN，
根据网格线，可得，，，
∴BC2＝AC2+AB2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵边BC与所在的圆相切于点N，AN⊥BC，
∴．
在Rt△ACN中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，掌握勾股定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，切线的性质，判断出∠BAC＝90°是解本题的关键．
59．（2024 管城区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 或 ．
【答案】或．
【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝4，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，分两种情况：①①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝4﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴AP＝2DP，
即x＝2（4﹣x），
解得x＝，
∴AP＝，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴DP＝AP tan30°＝AP，
即4﹣x＝x，
解得x＝，
∴AP＝，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．
60．（2024 遂平县一模）如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB＝90°，再以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 ．
【答案】．
【分析】连接AC、CO，推出△AOC是等边三角形，得到∠AOC＝∠OAC＝60°，根据公式求出S扇形BOA，S扇形AOC，S△AOC，S弓形AC的值即可得到答案．
【解答】解：连接AC，OC．
由题意可知AO＝CO＝AC＝3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OAC＝60°，
∴S△AOC＝＝，S扇形AOC＝＝π，S扇形AOB＝＝π，
∴S弓形AC＝S扇形AOC﹣S△AOC＝π﹣，
∵S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AC﹣S扇形AOC＝π﹣（π﹣）﹣π＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了求不规则图图形的面积，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，正确理解图形作出辅助线及正确掌握扇形的面积公式是解题的关键．
