2024年四川省广元市剑阁县九年级二模测试数学试卷
(满分 150分,考试时间 120分钟)
第Ⅰ卷选择题(共30分)
一、选择题(本大题共 10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的).
1. 若正方形的面积是9，则该正方形的边长是（）
A.9的平方根的平方根 C.9的算术平方根 D. 的算术平方根
2. 如图所示几何体的主视图是（）
3. 下列计算正确的是（）
4. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）
A.m≥-1 B. m≤1 C.m≥-1且m≠0 D. m≤1且m≠0
5. 小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果制成了如下统计表.在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）
捐款金额 100 元 80元 50元 30元 20元
捐款人数 2 5 8 4 1
A.50,30 B.50,50 C.80,50 D.30,50
6. 如图, OA, OB 是⊙O 的半径, 连接AB, 过点O 作 OC∥AB交⊙O 于点 C, 连接AC,若∠AOB=100°,则∠BAC的度数为（）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
7.《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为x(m)，根据题意可列方程（）
8. 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点 F,连接DE并延长,交边 BC于点M,交边AB的延长线于点 G.若AF=2,FB=1,则MG的长为（）
G
9. 已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示(A，B两点触地放置)，向右滚动工件至点 B 再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（）
A.6 B.3π C.6π D.12π
10. 如图,抛物线的对称轴为x=-1，且过点(，有下列结论：①abc>0; ②a-2b+4c>0; ③25a-10b+4c=0; ④3b+2c>0;其中正确的结论的个数是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
第Ⅱ卷非选择题(共 120分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上).
11.分解因式:
12.纳米(Nanometer,符号:nm),即为毫微米,是长度单位,1纳米=10 米.已知一根头发的直径约为50000纳米，用科学记数法应表示为米.
13. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字-、, ,0,2,π的小球, 这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为.
14. 如图，在数轴上，点A 表示的数是1，点B 表示的数是5，以AB为底,作腰长为6的等腰△ABC, 过点C作AB边上的高 CD，以点 D为圆心，CD 长为半径画弧交数轴于点M，则点 M 表示的数是.
15. 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数的图象恰好过MN的中点，则点 C′的坐标为.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB上的动点,以 DC为斜边作等腰直角△DCE,点E 和点A 位于 CD的两侧,连接BE,则BE 的最小值是.
三、解答题(本大题共 10个小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程).
17.(6分)计算:
18.(8分)先化简，再求值：已知其中x满足
19.(8分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=10,BD=8,求OE的长.
20. (9分)某校化学教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气； B.电解水；C.木炭还原氧化铜； D.一氧化碳还原氧化铜； E.铁的冶炼.要求每个学生必选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
请结合统计图回答下列问题：
(1) 填空: a=, E所对应的扇形圆心角度数是;
(2) 请你根据调查结果，估计该校九年级1100名学生中有多少人最擅长的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”
(3) 某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C，D，E 三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.
21. (9分)某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图(如图②) ，设计题目如下：该款健身器材的座位 MN平行于地面，支架支架AB与座位 MN的夹角∠BAN=70°, 与支架BC的夹角∠ABC为115°,求座位 MN距离地面的高度. (结果精确到0.1cm.参考数据：s
22.(10分) 加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024 年计划将其中1000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m )与其种植面积x(单位：m )的函数关系如图所示，其中2；乙种蔬菜的种植成本为50元/m .
(1)当x=m 时,y=35元/m ;
(2)设 2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为 W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使 W 最小
(3)学校计划今后每年在这1000m 土地上，均按(2)中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元
23.(10分)如图,菱形ABCD 的边AB在x轴上, 点A 的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接AC,AE.
(1)求 C点坐标;
(2)求k,b的值;
(3)求△ACE的面积.
24.(10分)如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB是⊙O的直径,延长BC 至点D, 使(连接AD交⊙O于点E,连接BE,过点 C作 CF∥BE交AD 于点 F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若EF=1,AE=3,求BD的长.
25.(12分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
在中,点P 是边BC上任意一点，连接AP.把边AC沿直线AP翻折得线段AE，过点B 和点 E 的直线与AP的延长线相交于点 D，连接CD.
【探究一】如图1，若则:
的度数是；
②试探究线段AD，BD，DE 之间的数量关系，并说明理由；
【探究二】如图2，若试探究线段AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】在图2中，若求的值.
26.(14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(-1,0), B(3,0)两点,交y轴于点 C.
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点 D，使得,求点 D 的坐标;
(3)如图2,平面上一点 E(3,2),过点E 作任意一条直线交抛物线于 P、Q两点,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
数学参考答案与试题解析
一. 选择题(共10小题)
1-5 CDADB 6-10 BABCC.
二. 填空题(共6小题，满分 24分，每小题4分)
11.3n(m+2)(m-2) 12. 5×10-5米.
13.
三. 解答题(共8小题)
17. 计算:
【解答】解:
…4分
…………6分
18. 先化简, 再求值: 已知其中x满足.
【解答】解：原式 …2分
…4分
= (x-1) (x+3)
…………6分
则原式=5-3=2. …………8分
19. 【解答】 (1) 证明: ∵AB∥CD,
∴∠CAB=∠DCA,
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠CAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD,
∵AB=AD,
∴AB=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AD=AB,
∴平行四边形 ABCD 是菱形; …………4分
(2) 解: ∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC, BD⊥AC,
∵CE⊥AB,
∴OE=OA=OC,
∵BD=8,
在Rt△AOB中, AB=10, OB=4,
…………8分
20. 解: (1)50, 72°: …………………4分
【解法提示】抽取的学生人数为60÷30%=200(人),选择C的学生人数为 200-20-60-30-40=50(人),故a=50； E所对应的扇形圆心角是
(人), ……………6分
答：估计该校九年级 1100名学生中有 165人最擅长的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；
(3)根据题意列表如下：
一 A B C D E
A — (A, B) (A, C) (A, D) (A, E)
B (B, A) 一 (B, C) (B, D) (B, E)
C (C, A) (C, B) 一 (C, D) (C, E)
D (D, A) (D, B) (D, C) 一 (D, E)
E (E, A) (E, B) (E, C) (E, D) 一
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有 6种,分别为(C, D), (C, E), (D, C), (D, E), (E, C), (E, D), ∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊) …………9分
21.解: (1)如解图, 过点B 作 BE⊥MN 于点E,延长EB, 交 CD 于点 F. ……………………1分
∵MN∥CD, BE⊥MN,
∴BF⊥CD.
∵∠BAN=70°,
∵∠ABC=115°,
……………………4分
在Rt△ABE中,即
∴BE≈20×0.94=18.8cm, ……………………6分
在Rt△BCF中,即
…………8分
∴EF=BE+BF≈52.6cm.
答:座位MN距离地面的高度约为52.6cm.…………………9分
22.(1)x=500……………………3分
解: 当200≤x≤600时,设甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m )与其种植面积x(单位: m ) 的函数关系式为y=kx+b, 把点(200,20), (600,40) 代入得,
解得
∴当200≤x≤600时,
当600≤x≤700, y=40,
∴当y=35时, 解得x=500,
即当x=500m 时,y=35元/m :
(2) 解: 当 200≤x≤600时, ………………………………7分
∴抛物线开口向上，
当x=400时, W有最小值, 最小值为42000,
当600≤x≤700时, W=40x+50(1000-x)=-10x+50000,
∵-10<0,
∴W随x增大而减小，
∴当x=700时, W有最小值, 最小值为 W=-10×700+50000=43000,
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为400m ，乙种蔬菜的种植面积为600m 时，W最小；
(3) 由题意可得
解得a =20, a =180((不合题意，舍去)，
∴当a为20时2025年的总种植成本为28920元.………………………10分
23. 【解答】解: (1) 过点 D 作 DF⊥x轴,垂足为F,
∵点A的坐标为(1, 0) , 点D(4, 4) ,
∴OA=1, OF=4, DF=4,
∴AF=3,
由勾股定理可得
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OA+AB=1+5=6,
∴B(6,0),C(9,4);…………3分
(2) ∵点D(4, 4) 在反比例函数的图象上，
∴k=4×4=16,
将点C(9, 4) 代入
∴b=-2; …………6分
(3) 由(2) 得
对于令x=0, 则y=-2,
∴E(0, -2) ,
令y=0, 则x=3,
∴直线与x轴交点为(3, 0),
…10分
24. (1)证明: 如解图, 连接 OC,
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ BE⊥AD.
∵ OA=OB,BC=CD,
∴ C 为 BD 中点,OC 为△ABD 中位线,
∴ OC∥AD,
∴ BE⊥OC.
∵ CF∥BE,
∴ CF⊥OC.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ CF 是⊙O 的切线: …………4分
(2)解:∵ AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACD=∠ACB=90°.
∵∠AEB=90°,CF∥BE,
∴∠CFD=∠CFE=90°.
∴∠ACD=∠CFD.
∵∠ADC=∠CDF,
∴△ACD∽△CFD,
即
∵CF∥BE, BC=CD,
∴DF=EF=1.
∵AE=3,
∴AD=AE+EF+DF=5,
即(负值已舍去)，
……………………………10分
25.①120°……………2分
∵△ABC是正三角形,
∴∠BAC=60° ,AB=AC.
由翻折可知: AC=AE
∴AB=AE=AC,
∴∠ABE=∠AEB, ∠AED= ACD;
∵∠AEB+∠AED=180° ,
∴∠ABD+∠ACD=180°.
∴∠BAC+∠BDC=180° ,
∴∠BDC=120°.
②解:结论: AD=BD+BE,
理由: 在 AD 上截取DF=DB, 接BF
由折知：
∴△BDF 是正三角形,
∴BF=BD=DF, ∠FBD=60° ,
∵△ABC是正三角形,
∴BA=BC, ∠A=60° ,
∴∠ABF=∠CBD
在△ABF和△CBD中,
∴△ABF≌△CBD,
∴AF=CD,
∵AD=AF+DF,
∴AD=BD+DE. …………………………5分
探究二：结论： …………………8分
理由: 过点B 作 BF⊥AD于 D, 则∠BFD=90°.
拓展运用：
解: 如图, 过点A 作 AG⊥BD于 G,
又∵∠ADB=45° ,
∴△AGD是等腰直角三角形，
又
∵BD=3CD, CD=DE,
∴DE=2,
又∵DG=4,
∴EG=DG-DE=2,
在Rt△AEG中, 由勾股定理得:
…12分
26. 【解答】解: (1) 设.
则 …………3分
(2) 抛物线的表达式为则点C(0, -3),
过A作AK⊥AC交 CD 于点K, 作 KH⊥x轴于点 H, 如图1,
∵∠ACD=45° ,
∴△CAK 是等腰直角三角形，
∴AC=AK,
∵∠AOC=∠KHA=90°, ∠ACO=90° -∠OAC=∠KAH,
∴△OAC≌△HKA(AAS),
∴AH=CO=3, KH=OA=1,
∴K (2, 1),
设直线CD的解析式为y=kx-3,
∴2k-3=1,
∴k=2,
∴直线 CD 的解析式为y=2x-3,
联立
解得x=0(舍去) , 或x=4,
∴D(4, 5) : …………8分
(3) OM与ON的积是定值, 理由如下:
∵过点E(3, 2) 作一直线交抛物线于 P、Q两点,
设直线 PQ的解析式为y=ax+n, P(x , y ) , Q(x , y ) ,
∴2=3a+n,
∴n=2-3a,
∴直线 PQ 的解析式为y=ax+2-3a①,
∵抛物线解析式为
联立①②得:
如图2, 作 PS⊥x轴于点S, 作 QT⊥x轴于点T,
则△AMO∽△APS,
即
同理，
, 为定值. …14 分
