九年级数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2＋a3＝a5 B．a2 a3＝a6
C．a8÷a4＝a2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
3．现有两根长度为3和4（单位：cm）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知一组数据6，8，9，8，x，则这组数据的中位数是（ ）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
5．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．4的平方根是 ．
10．年月日时分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超次，将数据用科学记数法表示为 ．
11．已知，，则 ．
12．正十边形的每个外角等于 ．
13．一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是 ．
14．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
15．一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 ．
16．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则 .
17．若且，则 ．
18．已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．已知函数的图象与函数的图象交于点.
（1）若，求的值和点P的坐标；
（2）当时，结合函数图象，直接写出实数的取值范围.
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23．一个不透明的袋子中，装有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出个球是红球的概率为______ ；
(2)搅匀后从中任意摸出个球，求个都是红球的概率．
24．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
25．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
26．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27．如图，在中．正方形的顶点在边上，点在边上，设．请根据以上信息解决下列问题：
(1)用含的代数式表示的长；
(2)尺规作图：在图中作正方形，使点在上，点在上，点在上；
(3)在（）的条件下，求所作正方形的面积．
28．中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图，直线是函数的图像与正方形的一条“楚河汉界线”．
(1)在直线，，，中，是图函数的图像与正方形的“楚河汉界线”的有______；（填序号）
(2)如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
【详解】解：的倒数是．
故选：D．
2．D
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方以及幂的乘方的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不能进行运算，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．
【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为x，6，8， 8，9或，6，x,8， 8，9或6，8，x, 8，9或6， 8， 8，9 ，x,中间的数都是8，
所以这组数据的中位数为8，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选：D．
6．B
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
连接，过点C作于H，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：
连接，过点C作于H，
是的切线，
，
，
当时，最小，取最小值，
为等边三角形，
，
，
的最小值为：，
故选：C．
8．B
【分析】设A点坐标为，则，用、的代数式表示、、坐标，根据双曲线经过的中点，列方程求出，再由矩形对角线相等列方程求出，即可得A坐标，从而求出．
【详解】解：设A点坐标为，
则，，
如图，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，且在图象上，
，，
，
点是的中点，
，，，
，，
双曲线经过的中点，
，
解得，
，，，
而，且由矩形可得，
，
解得或（舍去），
，
代入得：．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设后，用含、的代数式表示、、的坐标，然后根据等量关系列方程．
9．±2
【详解】解：∵，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
10．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．##36度
【分析】本题考查了正多边形的外角，根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的外角和定理及其性质是解题的关键．
【详解】解：正十边形的每个外角等于，
故答案为：．
13．
【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法即可得．
【详解】由数轴图可知，该不等式组的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集在数轴上的表示，掌握理解不等式的解集在数轴上的表示方法是解题关键．
14．2
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
15．
【分析】本题求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积为．
故答案为：
16．45
【分析】取网格上的点C、D、E，连接．利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，再利用勾股定理及其逆定理求得，即证明为等腰直角三角形，便可解答．
【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接，
由图可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
设小网格的边长为a，由勾股定理可得：，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．结合图形构造直角三角形是解题关键．
17．
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
18．97
【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、，
矩形面积的一半，矩形面积的一半，
，
，
故答案为：97．
19．
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是正确解决本题的关键．
运用乘方的运算法则、绝对值的意义化简及特殊角的三角形函数值计算即可．
【详解】解：
．
20．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a和b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．(1)见详解；
(2)．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
（1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是的中点，求得，再由勾股定理求得，再由相似三角形的比例线段求得．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
（2）解：∵E是的中点，，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
22．（1），，或;(2) .
【详解】【分析】（1）将P（m，n）代入y=kx，再结合m=2n即可求得k的值，联立y=与y=kx组成方程组，解方程组即可求得点P的坐标；
（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.
【详解】（1）∵函数的图象交于点，
∴n=mk，
∵m=2n，∴n=2nk，
∴k=，
∴直线解析式为：y=x，
解方程组，得，，
∴交点P的坐标为：（，）或（-，-）；
（2）由题意画出函数的图象与函数的图象如图所示，
∵函数的图象与函数的交点P的坐标为（m，n），
∴当k=1时，P的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，
当k>1时，结合图象可知此时|m|<|n|，
∴当时，≥1.
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，
个都是红球的概率为．
24．(1)
(2)当α从变化到的过程中，高度增加了
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
，
由题意得：，
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为；
（2）解：过点C作，过点E作于点H，
，
，
，
当时，；
当时，；
，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．
25．(1)20元
(2)2250元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解．
（2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
∴．
（2）∵是的切线，是的半径，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27．(1)
(2)作图见解析；
(3)．
【分析】（）过点于，证明，得到，根据即可求解；
（）由求出所作正方形的边长为，由得到，即可作图；
（）根据（）的结果计算即可求解；
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的面积，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：过点于，则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
设所作正方形的边长为，则由（）可知，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴尺规作图如下：
取，过点作的垂线，交于点，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则四边形为所作正方形；
（3）解：由（）可得，正方形的面积．
28．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据定义，结合图象，可判断出直线为或与双曲线及正方形最多有一个公共点，即可求解；
（）先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；
（）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：如图，
从图可知，与双曲线和正方形只有一个公共点，与双曲线 和正方形没有公共点，、不在双曲线及正方形之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线，是双曲线与正方形的“楚河汉界线”，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作 的切线，则，
∵，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴，
∴与的“楚河汉界线”为；
（3）解：由得，，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
∴，
解得，
∴此时的“楚河汉界线”为，
当正方形在直线上方时，如图，
∵点是此正方形的中心，
∴顶点，
∵顶点不能在直线下方，得，
解得；
当正方形在直线下方时，如图，
对于抛物线，当时，；当时，；
∴直线恰好经过点和点；
对于直线，当时，，由不能在直线上方，
得，
解得；
综上所述，或．
【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
