宾王学校八年级数学学情检测卷
一、选择题（30分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，该选项符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】A、方程中的不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程可整理为，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不是一元二次方程，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．
3. 使二次根式有意义的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0即可得解．
【详解】解：根据题意得，x＋3≥0，
解得．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
4. a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A. B. a C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
先根据两点在数轴上的位置判断出的大小，进而判断出的符号，据此得出结论．
【详解】由两点在数轴上的位置可知，
所以，
故．
故选：A．
5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
6. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数得到，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴
故选：B
7. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行两场比赛的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选D．
8. 小明计算一组数据方差时，列出的算式：．根据算式信息，下列判断错误的是（ ）
A. 平均数是8 B. 中位数是8 C. 众数是8 D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、中位数、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、中位数、算术平均数、众数；
【详解】，
∴这组数据的平均数是8，故选项A说法正确，不符合题意；
这组数据分别为、、、、、、、，
∴中位数是8，故B说法正确，不符合题意；
这组数据的众数是8，故选项C说法正确，不符合题意；
这组数据的方差是，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
9. 已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（）
A. ， B. ，
C. ， D. 无法求解
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了方程的解，整体思想的运用，已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．
【详解】解：，，是方程的解，
令，，满足方程，即．
，，
方程的解是：，．
故选：B．
10. 如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（）
A. B. C. 四边形 D. 四边形
【答案】A
【解析】
【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解．
【详解】如图，连接，，
∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
∴，，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．
二、填空题（24分）
11. 化简：_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 当x=-4时，二次根式的值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】把x=-4代入二次根式计算即可.
【详解】把x=-4代入二次根式得：
= =3，
故答案为3
【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
13. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击的平均环数都为8.9，方差分别为，，，则三人中成绩最稳定的是_________．
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．
【详解】解：∵，
∴三人中成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，有实数根，则是解题的关键．
根据，，计算求解即可．
详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
15. 某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元，以及定价系数来确定定价c，a、b、c满足关系式，经验表明，最佳定价系数k恰好使得，据此可得，最佳定价系数k的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，代入，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即：，
解得：或（不合题意，舍去）；
经检验，是原方程解；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是得到．
16. 在一张边长为的正方形纸片上剪下一个一边长为的等腰三角形，要求：等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，则所得等腰三角形的面积可能是___________（写出至少三个）
【答案】或或
【解析】
【分析】分的边为腰，和的边为底边，两种情况进行讨论求解．
【详解】解：当的边为腰时，如图：，
∵边长为的正方形纸片，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴
当的边为底边时，
①如图，，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
②当时，如图，
∵，，
∴，
设，
则：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用．本题的综合性强，对学生的空间想象能力要求较高，解题的关键是根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先算乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）移项变为一般形式后，利用因式分解求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：移项，得
因式分解，得，
∴，
【小问2详解】
因式分解，得
则或
解得，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查，最终根据调查问卷的得分将学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣（成绩在80~100分，含80分和100分）；B级：对学习较感兴趣（成绩在60~79分，含60分和79分）；C级：对学习不感兴趣（成绩在60分以下），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了___名学生，请将图1补充完整；
（2）若A级平均成绩为92分，B级平均成绩为70分，C级平均成绩为55分，请计算所调查学生的平均成绩．
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
【答案】（1）300，图见解析
（2）所调查学生的平均成绩为分
（3）大约有72000名学生学习态度达标
【解析】
【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比即可求出调查的学生数，用调查的学生数乘以C级所占百分比即可求出C级人数，再补充完整条形统计图即可；
（2）用A级的平均成绩乘以A级人数加上B级的平均成绩乘以B级人数加上C级的平均成绩乘以C级人数，再除以总人数即可求解；
（3）用该市80000名八年级学生乘以A级和B级所占的百分比求解即可．
【小问1详解】
（名），
故答案为：300；
（名）
条形统计图补充如下：
【小问2详解】
（分）
所以，所调查学生的平均成绩为分；
【小问3详解】
（名）
所以，大约有72000名学生学习态度达标．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画条形统计图，求加权平均数，用样本估计总体，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
20. 如图，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，设，，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？
【答案】经过的路程为．
【解析】
【分析】首先在中求得和，然后就可以知道的长，然后在中求得的长即可．
【详解】解：∵扶梯的坡比为，，
∴，
∴，
∵，滑梯的坡比为，
∴，
∴，
∴经过的路程．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解题的关键是熟知坡比的定义．
21. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？
【答案】（1）见详解（2）5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
（1）先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，则可设，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【小问1详解】
证明：
，
∵无论取什么实数值，，
，
所以无论取什么实数值，方程总有实数根；
【小问2详解】
∵恰好是这个方程两个实数根，
设
当、为腰，则，而，所以这种情况不成立，
当、为腰，则，解得，
此时三角形的周长．
22. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【答案】（1）6米（2）不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可；
（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．
【小问1详解】
设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
【小问2详解】
不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
【答案】任务1: ;任务2: 万元；任务3: 元或元
【解析】
【分析】任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，利用月份游玩某景区的游客人数月份游玩某景区的游客人数该景区游客人数平均每月增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
任务利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，即可求出结论；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长；
任务根据题意得：
元，
元万元．
答：景区月份的门票总收入万元；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．
初步思考
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点：
②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．
实践操作
（2）在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．
【答案】（1）①D和E；②见解析；
（2）①见解析；②满足条件的AE的值为或2或或18．
【解析】
【分析】（1）根据互为顶针点即可得出结果；
②根据互为勾股顶针点的定义进行证明即可；
（2）①以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时，如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合；如图4-3中，当BE=AF时；如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合；分别求解即可解决问题．
【小问1详解】
解：根据互为顶针点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A与点D和E关于BC互为顶针点；
故答案为：D和E；
②点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D = 60°，
∵AB = AC，∠ABC = 30°，
∴∠ABC =∠ACB = 30°，
∴∠BAC = 120°，
∴∠A+ ∠D= 180°，
∴点D与点A关于BC互为勾股顶针点；
【小问2详解】
①如图3中，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求；证明如下：
连接EF，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE=∠ECF，
∵BC=CF，CE=CE，
∴ CEF CEB，
∴∠B=∠EFC=90°，
∴BE=BF，∠BEF+∠BCF=180°，
∴点E与点C关于BF互为勾股顶针点；
②如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x,连接EF.
∵BE = EP = AF, EF = EF，∠EAF =∠FPE = 90°，
∴Rt EAF Rt FPE(HL) ，
∴PF=AE =x，
在Rt△DCF中
DF =10- (8 -x) =2+x，CD =8，CF=10-x，
解得x=，
∴.AE=，
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得
AE = BE-AB = 10-8 = 2；
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有
，
解得x=，
∴AE=；
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时
AE=AB＋BE=AB＋BC=18；
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，互为顶点，互为勾股顶针点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．宾王学校八年级数学学情检测卷
一、选择题（30分）
1. 下列二次根式是最简二次根式是（）
A. B. C. D.
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
3. 使二次根式有意义的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4. a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A. B. a C. D.
5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（）
A. B. 4 C. D. 6
7. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）
A. B.
C. D.
8. 小明计算一组数据的方差时，列出的算式：．根据算式信息，下列判断错误的是（ ）
A. 平均数是8 B. 中位数是8 C. 众数是8 D. 方差是
9. 已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（）
A. ， B. ，
C. ， D. 无法求解
10. 如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（）
A. B. C. 四边形 D. 四边形
二、填空题（24分）
11. 化简：_______．
12. 当x=-4时，二次根式的值为________.
13. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击平均环数都为8.9，方差分别为，，，则三人中成绩最稳定的是_________．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
15. 某超市按照一种定价法则来制定商品售价：商品的成本价a元，工商局限价b元，以及定价系数来确定定价c，a、b、c满足关系式，经验表明，最佳定价系数k恰好使得，据此可得，最佳定价系数k的值等于_______．
16. 在一张边长为的正方形纸片上剪下一个一边长为的等腰三角形，要求：等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，则所得等腰三角形的面积可能是___________（写出至少三个）
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
19. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查，最终根据调查问卷的得分将学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣（成绩在80~100分，含80分和100分）；B级：对学习较感兴趣（成绩在60~79分，含60分和79分）；C级：对学习不感兴趣（成绩在60分以下），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了___名学生，请将图1补充完整；
（2）若A级平均成绩为92分，B级平均成绩为70分，C级平均成绩为55分，请计算所调查学生的平均成绩．
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
20. 如图，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，设，，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？
21. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰的一边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长？
22. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园面积能否达到150平方米？请说明理由．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
24. 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．
初步思考
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点：
②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．
实践操作
（2）在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．
