专题2.3组合及组合数
知识点1组合的定义
组合的定义:一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
知识点2组合数
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
组合数公式：，这里，并且.
规定.
3.组合数的性质:（1） ;（2）.
重难点1判断是否是组合问题
1．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（ ）种
A． B． C． D．
2．下列问题是组合问题的有（ ）
A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价
C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法
3．下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
4．（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
（2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列．
5．判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
重难点2组合数的化简求值及证明
6．计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
7．m是自然数，n为正整数，且，求证：．
8．若，为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
11．设n为正整数，求值：
(1)；
(2)．
重难点3组合数方程及不等式
12．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．解关于正整数x的方程：
(1)；
(2)．
14．若，则正整数的值是 .
15．不等式的解为 ．
16．若正整数n满足不等式，则 .
17．(1)已知 求的值构成的集合;
(2)求等式中的值.
重难点4组合数的性质
18．已知，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．满足方程的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
20．若，则正整数的值为 ．
21．化简： .
22．解下列方程.
(1)；
(2).
知识点3组合数的应用
1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数，然后排除不满足条件的选法
2.多面手问题：对于多面手问题，在弄清楚多面手的人数后，只需按照多面手参加其中某项活动的人数来分类，剩余多面手在另一种活动中待选，这样可以做到不重不漏.
3.平均分组问题：一般先分堆，再除以.
4.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以
5.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份，每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，
重难点5有限制的组合问题
23．从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．某校计划从3位男教师和4位女教师中选出2人参加支教活动，要求至少有1位男教师，则不同的选法的种数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
25．将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
26．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．84 B．172 C．160 D．230
28．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个．
重难点6多面手问题
29．从高二年级的5名同学中选派4人作为志愿者分别承担4项不同的公益工作，若其中甲 乙两人只能从事其中的两项工作，其余三人均能从事这4项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．48种 B．12种 C．18种 D．36种
30．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？
31．某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内科，至少有一名会外科，则共有 种派遣方法.
32．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
33．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
重难点7相同元素的分配问题
34．方程的正整数解的个数为（ ）
A．56 B．35 C．70 D．66
35．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
36．将10个优秀指标分配给3个班级：
(1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？
(2)任意分配共有多少种分配方法？
(3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？
37．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答）
38．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
重难点8平均分组问题
39．名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
40．2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．300 B．432 C．600 D．864
41．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．开赛前，组委会欲将某高校4名男志愿者、2名女志愿者共6人平均分成3组，分别担任铁人三项、马术和攀岩3个项目的志愿者，且2名女志愿者不在同一组，则不同的选择方案共有 种．
42．将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答）
43．将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 种．（用数字作答）
重难点9不平均分组问题
44．今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
45．近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（ ）
A．240 B．420 C．540 D．900
46．将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
47．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山 黄山 庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
48．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
49．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案.
【详解】由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可，
是一个组合问题，故不同的安排有种，
故选：B
2．ABD
【分析】利用排列与组合的定义判断各选项中的问题.
【详解】A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题.
B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题.
D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题.
故选：ABD
3．BD
【分析】利用组合的定义判断.
【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；
C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；
D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；
故选：BD
4．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）利用组合的定义即可得出；
（2）利用排列的定义即可得出；
【详解】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有：
，，，，，，，，，；
（2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，.
5．(1)组合问题
(2)排列问题
(3)排列问题
(4)组合问题
【分析】（1）（2）（3）（4）根据排列和组合的特征：是否有顺序即可求解.
【详解】（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
（3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
（4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
6．A
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
7．证明见解析
【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案.
【详解】根据组合数公式，可以得到．
8．AD
【分析】
根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B： ，故B错误；
对C：，
，故，C错误；
对D：
，故D正确.
故选：AD.
9．BC
【分析】利用排列数与组合数公式计算可以判断BC；特殊值法可以判断AD.
【详解】对于A，取，则，，
所以，故A错误；
对于B，因为，，
所以，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，取，则，，
所以，故D错误.
故选：BC.
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由组合数公式计算即可；
（2）由组合数公式计算即可.
【详解】（1）因为，
，
所以；
（2）因为，
，
所以．
11．(1)4或7或11
(2)124
【分析】（1）根据题意列出不等式求出值，再分别计算即可.
（2）根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n值，再利用组合数的性质计算即得.
【详解】（1）由题意知 ，，
又取2，3，4.
当时，值为4；当时，值为7；当时，值为11.
（2）依题意，，即，解得，
所以，原式.
12．D
【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值.
【详解】因为，则，解得，
故
.
故选：D.
13．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.
【详解】（1）x为正整数，
由可得或，
故或，解得或或或（舍去），
又均为整数，且，
所以或符合要求，不符合要求，
故或
（2）由组合数的性质可得，
所以由可得，进而可得，
解得或（舍去），
由于，所以，故只取，舍去，
14．1或3
【分析】应用组合数公式列出关于x的方程，即可求正整数的值.
【详解】由题设且，，
所以，即，
所以，又，
当，有，满足；
当，有，不满足；
当，有，满足；
当，有，不满足；
所以或.
故答案为：1或3
15．
【分析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解.
【详解】依题意，所以且，
由得，
，
所以不等式的解为.
故答案为：
16．5
【分析】根据排列数与组合数公式计算即可.
【详解】由，得，且，
化简整理得，解得，
又因为，所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）9.
【分析】（1）（2）根据给定不等式、等式，利用组合数公式化简，求解不等式或方程作答.
【详解】（1）依题意，，，解得，
则的值为6，7，8，9，
所以的值构成的集合为.
（2）等式变形为：，即，显然，且，即有，
于是得，整理得，解得或，
所以.
18．C
【分析】根据组合数性质有，再由即可得解.
【详解】由组合数性质知，，
因为，所以，
所以，得.
故选：C.
19．AB
【分析】利用组合数的性质求解
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
20．5或7
【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案.
【详解】由组合数性质：，可得，则，
所以或，解得或.
故答案为：5或7
21．
【分析】由组合数公式可得，根据题意结合组合数的性质分析求解.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
22．(1)5
(2)或.
【分析】（1）根据排列数与组合数的计算公式，化简方程，可得答案；
（2）根据组合数的性质，化简方程，可得方程.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得.
（2）因为，所以，
即，…，，所以，
所以或，
解得或.
23．B
【分析】
根据题意，由排列组合的知识，分别求得没有重复数字的四位数的情况以及没有重复数字的四位数的偶数的情况，再由古典概型的计算公式，即可得到结果.
【详解】从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数，
由于不能出现在千位，则的位置有种情况，
再排其他三位数，共有种情况，
即可以组成没有重复数字的四位数共有种情况；
若该四位数为偶数，可以分为两类，
当个位数字是时，有中情况，
当个位数字是时，有种情况，
所以四位数的偶数共有种，
设事件表示从0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，
则.
故选：B
24．B
【分析】先求出选出2人共有种选法，然后选出的2人中都是女生有种选法，从而可求解.
【详解】第一步：在7人中选出2人有种选法，
当选的2人都是女生时有种选法，
所以要求至少有1为男教师有，故B正确.
故选：B.
25．B
【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解．
【详解】由题得任意放球共有种方法，如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法．
由古典概型的概率公式得恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为，
故选:B
26．B
【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率.
【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，
甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，
甲不去场馆，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；
情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，
场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，
场馆仅有2名志愿者的概率为.
故选：B．
27．C
【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案．
【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法，
如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，
如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况，
故所求的取法共有种．
故选：C．
28．72
【分析】
利用分步计数原理与插空法即可得解.
【详解】
根据题意，完成这个事情可分为三步：
第一步骤：选数字，有种；
第二个步骤：将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种，
第三个步骤：安排这三个数字在四个位置上，且相邻数位上的数字不相同，
即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字去插空，则有种排序方法，
根据分步计数原理可得这样的四位数共有：个.
故答案：
29．D
【分析】分甲、乙两人只有一人入选和两人都入选两种情况讨论，利用分类加法计算原理计算可得.
【详解】①甲、乙两人只有一人入选，则有种选派方法；
②甲、乙两人都入选，则有种选派方法；
综上可得一共有种选派方法.
故选：D
30．185
【分析】分三类情况讨论，两名英，日语都精通的人员都不选或只选1人或两人都选.
【详解】设两名英，日语都精通的人员为甲，乙，则根据题意可分为三类，
第一类：两名英，日语都精通的人员都不选，则有种；
第二类：两名英，日语都精通的人员只选1人，比如选甲，如果让甲去翻译英语，则有种，如果让甲去翻译日语，则有种，所以总共有种；
第三类：两名英，日语都精通的人员都选，如果两人都去翻译英语，则有种，如果两人都去翻译日语，则有种，如果两人一个翻译英语，一个翻译日语，则有种，所以总共有种，
综上，这样的8人名单共可开出张.
31．114
【分析】根据医生的情况，分从只会外科的人中选1人和从只会外科的人中选0人两类求解.
【详解】由题知，有2名医生既会外科，也会内科，只会外科的1名，5名会内科，
以选出只会外科的人数进行分类：
从只会外科的人中选1人：，
从只会外科的人中选0人：，
所以共114种.
故答案为：114
32．C
【分析】设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取；②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取；③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，再运用分类加法原理可得选项.
【详解】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
33．185种选派方法.
【分析】方法一: 设A，B代表2位老师傅，分情况利用组合数即可求解. 方法二：分三种情况，5名男钳工有4、3、2名被选上，利用组合数即可求解.方法三： 4名女车工都被选上、有3名被选上或有2名被选上，利用组合数即可求解.
【详解】方法一： 设A，B代表2位老师傅．
A，B都不在内的选派方法有＝5(种)，
A，B都在内且当钳工的选派方法有＝10(种)，
A，B都在内且当车工的选派方法有＝30(种)，
A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有＝80(种)，
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有＝20(种)，
A，B有一人在内且当车工的选派方法有＝40(种)，
所以共有
＋＋＋＋＋＝185(种)选派方法．
方法二： 5名男钳工有4名被选上的方法有＋＋＝75(种)，
5名男钳工有3名被选上的方法有＋＝100(种)，
5名男钳工有2名被选上的方法有＝10(种)，
所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．
方法三： 4名女车工都被选上的方法有＋＋＝35(种)，
4名女车工有3名被选上的方法有＋＝120(种)，
4名女车工有2名被选上的方法有＝30(种)，
所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法．
34．B
【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可．
【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，
采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，
故共有种．
故选：B.
35．
【分析】
在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.
【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
36．(1)36
(2)66
(3)15
【详解】由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子的模型，可采用“隔板法”．
（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法．
（2）排隔板，即10个指标和2个隔板．从12个位置中选2个放隔板，共有种分配方法．
（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的7个优秀名额用插隔板法，共有种分配方法．
总之，凡是处理“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”．若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目可为0个时，可用排“隔板”．
37．120
【分析】
根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．
【详解】
根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有个“英雄数”．
故答案为：120．
38．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】
解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
39．B
【分析】
依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数.
【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生
则不同的分配方法种数为种.
故选：B.
40．B
【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果.
【详解】杨教授站中间，只有1种方法；
四名男生分成两组放在两边方法数；
两名女生放在两边方法数，
每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为.
故选：B.
41．72
【分析】由题意，先从4名男志愿者中选2人作为一组，再将另外2名男志愿者和2名女志愿者搭配成2组，最后将分好的3组志愿者分配到3个体育项目中，结合分步计数原理计数即可求解.
【详解】由题意知，必有2名男志愿者在同一组，所以完成该事件可分为3步：
第一步，从4名男志愿者中选2人作为一组，有（种）方法；
第二步，将另外2名男志愿者和2名女志愿者搭配成2组，有（种）方法；
第三步，将分好的3组志愿者分配到3个体育项目中，有（种）方法．
综上所述，由分步计数原理得，共有（种）方法．
故答案为：72
42．
【分析】
分两种情况讨论，先分组，再分配.
【详解】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法，
若两个盒子中均放个球，则有种放法，
综上可得一共有种放法.
故答案为：
43．1680
【分析】根据组合知识计算即可.
【详解】先选出3人安排周五，有种选法，再从剩下的6人中选出3人安排在周六，有种选法，最后剩下的3人为一组安排在周日，有种选法．
可知不同的安排方案共有（种）．
故答案为：1680
44．B
【分析】对观看《长安三万里》的人数进行分类讨论，利用排列和组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）小明和其中一人同时看《长安三万里》，另外两人看剩余三部电影中的两部，
此时，所求概率为；
（2）观看《长安三万里》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，
再将这两组人分配给两部电影，此时，所求概率为.
综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为.
故选：B .
45．C
【分析】
根据题意，分为三个景点安排的人数之比为或或，结合排列、组合数的计算公式，即可求解.
【详解】
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，
故不同的安排方法种数是．
故选：C．
46．D
【分析】本着排列组合混合的题型要“先分类，后分步，先组合，后排列”的原则分析解决问题.
【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.
有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，
再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，
这是分3步完成的，故有种方案；
有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，
再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，
所以这类办法有种.
故不同的分配方案有:.
故选：D
47．A
【分析】
先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.
【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选：A.
48．A
【分析】按照和分组讨论安排.
【详解】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，
故选：A.
49．AB
【分析】根据排列、组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.
B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
因此不同的安排方法种数是，正确.
C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.
D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.
故选：AB
答案第1页，共2页
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