6.6 角的大小比较
一、单选题
1．用“叠合法”比较与的大小，正确的是（ ）
A． B． C．D．
2．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C． D．，∠B，相等
3．如图，已知的顶点在直线上，平分，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
5．如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=∠MFE， 则∠MFB=（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
7．入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小 B．减小 C．减小 D．不变
8．如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）
A．1° B．2° C．4° D．8°
9．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
10．射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．3.76°=_____度_____分_____秒；22°32′24″=_____度．
12．如图所示，已知，平分，那么_____．
13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， _________．
14．如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝_____．
15．如图，已知点在直线上，，，则________，________．
16．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝_____．
17．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论有_____填序号）
18．如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则______秒．
三、解答题
19．计算：
（1） （2）
（3） （4）
20．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
22．如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，则______（用含的式子表示）；
(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）
23．如图1，O为直线AB上一点，以O为顶点作直角（射线OC在射线OD左边）．
(1)若，求∠BOC的度数；
(2)如图2，OE平分，在（1）的条件下，求∠DOE的度数；
(3)将图2中绕点O顺时针旋转至图3的位置，OE平分．设，求∠DOE的度数．
24．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）在图1中，_______，_______；
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，求的度数
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据“叠合法”比较角的大小的规则来判断即可.
解：用“叠合法”比较角的大小时一边重合，另一边在同一侧．
故选D.
2．C
【分析】利用度分秒的换算1°＝ 60' 来计算.
解：因为，所以∠A＝∠C.
故选C.
3．D
【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．
解：∵平分
∴∠AOF=∠FOE
∵平分
∴∠AOF=2∠COF
∴∠FOE=2∠COF
又∠COE是直角
∴
∴∠AOF=∠FOE=60°
∴
故选：D．
4．B
解：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.
故选B．
5．C
【分析】根据垂线的定义，可得∠COD，根据角的和差，可得答案．
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°．
∴∠2＝180° ∠COD ∠1＝180° 90° 35°＝55°，
故选：C．
6．B
【分析】根据图形折叠后边的大小，角的大小不变的特点找出角的大小关系进行解答即可．
解：在长方形ABCD中，纸片沿着EF折叠
∠CFE=∠MFE
∠MFB=∠MFE
∠CFE+∠MFE+∠MFB=180
2∠MFB+2∠MFB+∠MFB =180
5∠MFB=180
∠MFB=36
故选B
7．C
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
解：入射光线与平面镜的夹角是，所以入射角为．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为，所以入射光线与反射光线的夹角是．
入射角减小，变为，所以反射角也变为，此时入射光线与法线的夹角为．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小．
故选：C．
8．C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
解：∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，
∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，
∴∠AOA2=∠AOA1=16°，
同理∠AOA3=8°，
∠AOA4=4°，
故选：C．
9．C
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，
∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
故选：C．
10．C
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.可知B不一定正确.
解：A、当∠AOC= ∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠4OB的平分线，故本选项正确；
B、当时，OC一定在∠A0B的内部且OC是∠A0B的平分线，故本选项正确；
C、当，只能说明OC在∠AOB的内部，但不能说明OC平分∠AOB，故本选项错误；
D、当∠AOC=∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确.
故选C.
二、填空题
11． 3 45 36 22.54
分析：根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，小单位转换成大单位除以60，按此转化即可．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
解：3.76°=3°+0.76×60′=3°+45.6′=3°+45′+0.6×60″=3°45′36″；
24″=（24÷60）″=0.4′，32′+0.4′=32.4′，32.4′=（32.4÷60）=0.54°，
所以， 22°32′24″=22.54°
故答案为3，45，36，22.54．
12．
【分析】根据角平分线的定义与平角的定义求解 从而可得答案．
解：，平分，
故答案为：．
13．53°
【分析】由平行线的性质求出∠2=∠3=37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1=53°．
解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
又∵∠2=37°，
∴∠3=37°，
又∵∠1+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠1=53°，
故答案为：53°．
14．62°
【分析】先求出∠AOB的度数，然后根据两角互补和是180°求出∠BOD的度数，再利用角平分线的定义求出所求角的度数．
解：由题意知：∠AOB＝2∠AOC＝56°
∵∠AOB+∠BOD＝180°
∴∠BOD＝180°﹣56°＝124°
∴∠BOE＝∠BOD＝62°
故答案为62°
15．
【分析】根据∠1和∠2的度数求出即可．
解：∵∠1=65°15′，∠2=78°30′，
∴∠1+∠2=65°15′+78°30′=143°45′，
∠3=180°-∠1-∠2=180°-65°15′-78°30′=36°15′
故答案为：143°45′，36°15′．
16．41°52′
【分析】根据图形进行角的计算即可.
解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为41°52′．
17．①②③
解：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°﹣40°=140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=×140°=70°；所以①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°﹣70°=20°，
∴∠BOF=∠BOD，所以②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°﹣∠EOC=20°，
∴∠POE=∠BOF；所以③正确；
∵∠POB=70°﹣∠POE=50°，而∠DOF=20°，所以④错误．
故答案为①②③．
18．4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，
即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，
∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，
即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，
∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．
故答案：4或5．
三、解答题
19．
解：（1）
=106°21′7″；
（2）
=79°55′45″；
（3）
=
=173°22′；
（4）
=
=
20．
解：如图，∠ABC为所求．
21．
解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．
（2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，
把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．
22．解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=30°，
∴∠DOE=90°-30°=60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．
（2）∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=90°-α．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α．
（3）由题意：∠DOE=α-90°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．
故答案为：360°-2α．
23．
（1）解：∠COD=90°，O为直线AB上一点，
∴∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，
又∵∠AOC：∠DOB=4：5，
∴∠AOC=90°×=40°，∠BOD=90°×=50°，
∴∠BOC=∠BOD+∠DOC
=50°+90°
=140°；
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC=70°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE
=90°-70°
=20°；
（3）解：∵∠AOC=α，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-α，
又∵OE平分∠BOC．
∴∠BOE=∠COE=∠BOC=90°-α，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE
=90°-（90°-α）
=α，
∴∠DOE的度数为α．
24．
解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°
故答案为：120°，60°；
（2）∵由（1）可知：∠AOC=120°，∠MON=90°，∠AOC=∠MON+∠CON，
∴∠CON=∠AOC-∠MON=120°-90°=30°，
故答案为：30°；
（3）由图可知：∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，
则，∠BON-∠COM=90°-∠BOM-（60°-∠BOM）=30°，
即∠BON-∠COM的度数是30°．
