第二十一章 《代数方程》
一、单选题
1.一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人．
A．8 B．9 C．10 D．72
2.用去分母方法解分式方程，产生增根，则m的值为（ ）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2
3.甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．设甲每小时做x个，可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4.小明和同学去距学校15千米的某景点参观，小明骑自行车先走，过了10分钟，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度比小明骑车速度快50千米/时，设小明骑车速度为x千米/时，则所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝ D．﹣＝
5.如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（ ）秒后，△PBQ面积为5cm2．
A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
二、填空题
7.方程＝3的根是 ．
8.方程＝0的根为 ．
9.某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是 ．（用含x的代数式表示）
10.某商品的原价为60元，如果经过两次降价（每次降价的百分率都相同）后价格为48.6元，那么该商品每次的降价率是 ．
11.如图，在宽为4m、长为6m的矩形绿地铺设两条同样宽的小路，余下部分种植小草．若小路的面积9m2，则铺设的小路的宽应为 m．
12.若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
13.小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程 ．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s．
15.武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 元．
16.如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是 m．
17.中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 人被感染．
18.两车在两城间不断往返行驶：甲车从A城开出，乙车从B城开出，且比甲车早出发1小时，两车在途中距A、B两城分别为200公里和240公里的C处相遇；相遇后乙车改为按甲车速度行驶，而甲车却提速若干公里/时，两车恰巧又在C处相遇；然后甲车再次提速5公里/时，乙车则提速50公里/时，两车恰巧又在C处相遇．那么从起行到第3次相遇，乙车共行驶了 小时．
三、解答题
19.解方程：＝1．
20.解方程：x2+2x﹣＝1．
21.若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
22.已知关于x的方程+＝3．
（1）当m取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当m取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
23.某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级？
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，则直接写出这所学校购买这两种足球的数量．
24.某商店销售一批纪念品，每件进货价为30元．若售价为每件40元时，每天可售出300件．商场规定该纪念品的销售单价不低于40元，且获利不高于80%．根据市场反应：每涨价1元，每天少卖出10件．设该纪念品的售价为每件x元，销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）设商店每天销售纪念品获得的利润为w元，求商店获得最大利润时纪念品的售价．
（3）若商品某天获利3360元，求当天纪念品的售价．
答案
一、单选题
1.B
【分析】设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，根据全组共送研究成果72个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该研究小组共有x人，则每人需送（x﹣1）个研究成果，
依题意，得：x（x﹣1）＝72，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
2.D
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x+1）＝0，得到x＝0或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1），
得2x2﹣（m+1）＝（x+1）2
∵原方程有增根，
∴最简公分母x（x+1）＝0，
解得x＝0或﹣1，
当x＝0时，m＝﹣2．
当x＝﹣1时，m＝1，
故选：D．
3.D
【分析】设甲每小时做x个，则乙每小时做（x+6）个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲每小时做x个，则乙每小时做（x+6）个，
依题意得：＝．
故选：D．
4.D
【分析】根据“小明和同学去距学校15千米的某景点参观，小明骑自行车先走，过了10分钟，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得：﹣＝．
故选：D．
5.B
【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故选：B．
6.B
【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．
【解答】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴BP×BQ＝5，
∴×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
二、填空题
7.x=11
【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11，
经检验x＝11为原方程的解．
故答案为x＝11．
8.x=4
【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
经检验x＝4为原方程的解．
故答案为x＝4．
9.100（1+x）2
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，
【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，
故答案为：100（1+x）2．
10.10%
【分析】设该商品每次的降价率是x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设该商品每次的降价率是x，
依题意，得：60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
11.1
【分析】设铺设的小路的宽为xm，根据小路的面积9m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设铺设的小路的宽为xm，
依题意，得：6x+4x﹣x2＝9，
整理，得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
12.1
【分析】先解出方程的根为x＝4﹣2m，由题意可知x＝2，即可得4﹣2m＝2，解出m即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2，得
x+m﹣3m＝2（x﹣2），
解得：x＝4﹣2m，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
∴4﹣2m＝2，
∴m＝1，
故答案为1．
13.设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B的全程能比走路线A少用15分钟（即小时），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，
依题意，得：﹣＝．
故答案为：﹣＝．
14.2
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
15.5280
【分析】设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出x的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，
根据题意得：2×+300＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则＝＝600，
＝＝1500，
1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．
答：该超市可以捐助5280元．
故答案为：5280．
16.3
【分析】根据栅栏的总长度是18m，AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m．
根据题意可得，x（18﹣2x）＝36．
解得x1＝6（舍去），x2＝3．
答：AB的长为3m．
故答案是：3．
17.8 729
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，在第二轮传染中作为传染源的有（1+x）人，则第二轮得病的有x（1+x）人，则两轮后有1+x+x（1+x）人得病．根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意列方程：1+x+x（1+x）=81，即（1+x）2=81，
解方程得：x1=8，x2=﹣10（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经三轮传播，将有（1+x）3=（1+8）3=729人被感染．
18.10.2
【分析】可设初时甲车的速度为x公里/时，甲车先提速了y公里/时，进而根据时间的等量关系得到相应的方程列方程求解，进而得到乙车行驶时间．
【解答】解：设初时甲车速为x公里/时，甲车先提速了y公里/时，则由后2次相遇于C得：
，
解得 ，
经检验，得是原方程组的解．
第1次相遇于C，甲车行驶时间为：200÷100＝2（小时），则乙车行驶时间为：2+1＝3（小时），
第2次相遇于C，乙车行驶时间为：400÷100＝4（小时），
第3次相遇于C，乙车行驶时间为：480÷150＝3.2（小时），
故乙车行驶时间一共为：3+4+3.2＝10.2（小时）．
故答案为10.2．
三、解答题
19.解：去分母得：3（x+1）﹣6＝x2﹣1，
整理得：x2﹣3x+2＝0，即（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
经检验x＝1是增根，分式方程的解为x＝2．
20.解：设x2+2x＝y，则原方程化为：y﹣＝1，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
当y＝3时，x2+2x＝3，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，
此时方程无解
所以原方程的解为：x1＝﹣3，x2＝1．
21.解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
综上，可知m＝﹣4或6．
22.解：（1）把x＝3代入方程+＝3，得
m＝﹣3；
（2）方程的增根为x＝2，
2x+m＝3x﹣6，
所以m＝﹣4；
（3）去分母得，2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
因为x＞0，
所以m+6＞0，
解得m＞﹣6，
因为x≠2，
所以m≠﹣4．
23.解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球（x+20）元，
由题意得：
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
答：购买的足球能够配备20个班级；
（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，
根据题意得：2x×50+3x×70＝3100，
解得：x＝20，
∴2x＝40，3x＝60，
答：这学校购买甲种足球40个，乙种足球60个．
24.解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣40）＝700﹣10x，
而40≤x≤30（1+80%），即40≤x≤54，
即y＝700﹣10x（40≤x≤54）；
（2）由题意得：w＝y（x﹣30）＝（700﹣10x）（x﹣30）＝﹣10（x﹣70）（x﹣30），
则函数的对称轴为x＝（70+30）＝50，
∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，
当x＝50时，w取得最大值，
故商店获得最大利润时纪念品的售价为50元；
（3）由题意得：w＝3360，即w＝﹣10（x﹣70）（x﹣30）＝3360，解得x＝58（舍去）或42，
故当天纪念品的售价42元．
