长郡中学高一年级选科适应性检测
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分____________
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
★1．复数，（，）为实数的充要条件是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
2．点满足向量，则点与的位置关系是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段的延长线上
C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外
★3．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，为单位向量，，若，求与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形
★6．降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量为（精确到）（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的长度的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
★9．在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上
D．用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
10．下列说法中错误的是（ ）
A．，为实数，若，则与共线
B．若，，则
C．两个非零向量，，若，则与垂直
D．若，，分别表示，的面积，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．若，，，四点共面，则
C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知是虚数单位，则________．
13．已知正四棱锥的底面边长为4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则四棱锥的最大体积为________．
14．在中，，，，在边上，延长到点，使得，若（为常数），则的长度是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
★15．（本题满分13分）
已知，，．
（1）求；
（2）若，求向量与的夹角．
16．（本题满分15分）
在中，角，，的对边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且________，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，是该四棱锥的高，，，，为棱上的一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
18．（本题满分17分）
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
19．（本题满分17分）
（1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程；
（2）对一般的实系数一元三次方程（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．
卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成．
阅读以上材料，求解方程．
长郡中学高一年级选科适应性检测
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C D D B B ABC AB ACD
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A
2．C【解析】，，
，点在线段的反向延长线上．故选：C．
3．D【解析】因为，，取的中点为坐标原点，以为轴建立坐标系如左图，
因为斜二测直观图为矩形，，，
所以，
可得原图中（右图），，
，
所以四边形的面积为．
故选：D．
4．C【解析】由向量的夹角公式，可得．故选：C．
5．D【解析】如图所示，在边，上分别取点，，使，，
以，为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，
而，则有，即，
所以是等腰三角形，即，
延长直线交于点，则是边的中点，所以，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形．故选：D．
6．D
7．B【解析】如图，点在射线上移动，从点向射线引垂线，垂足为，由题意可知，
若三角形有两个，则点应在点的两侧（如：，），而，所以的长度的范围是．故选：B．
8．B【解析】设的中点为，连接（不与点重合），，，，所以，所以，
把平面与平面展开并推平，如图，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，
在中利用余弦定理可得，
所以的周长的最小值为．
故选：B．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．ABC
10．AB【解析】对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误；
对于B选项，如果，都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错误；
对于C选项，若，所以，即，即，所以，所以与垂直，故C正确；
若，设，，可得为的重心，
如图，设，，，
则，，，由，
可得，故D正确．
故选：AB．
11．ACD【解析】在正方体中，A选项正确；
，分别是棱，的中点，当点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形，则，，，四点共面，有，B选项错误；
若，则为上靠近点的三等分点，取上靠近的三等分点，的中点，连接，，，
则在正方形中，可得，
平面，平面，则有平面，
同理可由，证明平面，
又，平面，，所以平面平面，
因为点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹，
则，C选项正确；
若，则为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，
平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设该球的半径为，由体积法可得，
解得，所以该球的表面积为，D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【解析】．
13．【解析】画出图形，如图所示：
设底面于点，则为正方形的中心，则，因为该球的表面积为，则，所以该球的半径为3，
则，
则四棱锥的最大体积为．
14．或0【解析】，，三点共线，可设，
，
，即，
若且，则，，三点共线，
，即，，，
，，，，
设，，则，．
根据余弦定理可得，
，
，
，解得，
的长度为．
当时，，，重合，此时的长度为0，
当时，，，重合，此时，不符合题意，舍去．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1），
，
（2）由于与方向相反，
，
，，
16．【解析】（1）由正弦定理知，，，
代入上式得，
，，，
，．
（2）若选①：
平分，，
，即．
在中，由余弦定理得，
又，，
联立得，
解得，或（舍去），
．
若选②：
，，
，得，
在中，由余弦定理得，即，
联立可得，
．
17．【解析】（1）连接交于点，连接．
在底面中，因为，，
所以，可得，
因为，即，
所以在中，，故，
因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，
由，得为等边三角形，所以．
在等边中，，所以，
所以．
18．【解析】（1）因为，
所以，
而，所以．
（2）由（1）知，，所以，，
而，所以，即有，
所以．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
19．【解析】（1），．
（2）令，方程化为：，
令，则有，
于是得即
，是关于的方程的二根，
解得，即或
而，，因此或
于是得，方程化为，
解得或，因此或，
所以方程的解为，，．
