2023—2024学年度九年级数学中考模拟预测卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
3．2022年9月9日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”．在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约10微米（即米）大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物．则数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，能围成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，A，B，C为上三点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．课堂上，老师给同学们布置了10道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ）
A．15 B．18 C．9 D．10
8．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（ ）
A．20 B．16 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11．因式分解：m2﹣mn= ．
12．计算的结果是 ．
13．二元一次方程组的解是 ．
14．如图，D，E两点分别在上，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
15．如图，点A、B、C在上，的半径为3，，则的长为 ．
16．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为 ．（结果精确到，参考数据：，，）．
17．如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上．如果，那么的值为 ．
18．要使方程恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；
（2）解不等式组：
20．如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．
21．【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，中，，是斜边上的中线，求作：菱形
小明的作法：
（1）取的中点，
（2）连接并延长到，使，
（3）连接，，四边形就是所求作的菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
22．某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：）
七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
七年级 76 m 75
八年级 77 76 78
其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________．
(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由．
(3)请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价．
23．如图，是的直径，点C在上，，的切线与的延长线相交于点D．
(1)求证：；
(2)若的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
25．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．
(1)补全图形，求的大小；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．
26．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；
(3)若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
【点拨】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2．B
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
【点拨】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．
3．B
【分析】根据科学记数法的要求计算即可．
【解答】∵，
故选B．
【点拨】本题考查了科学记数法记小数，熟练掌握科学记数法的要求是解题的关键．
4．B
【分析】根据正方形展开图逐个判断即可得到答案；
【解答】解：由题意知，图形可以折叠成正方体，
故选：B；
【点拨】本题主要考查正方体的展开图.熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
5．A
【分析】在优弧上取点D，连接，，根据圆周角定理得出，再根据，求出结果即可．
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接，，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记圆周角定理，求出．
6．D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【解答】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
7．C
【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为9，
故选：C．
【点拨】本题考查了众数，熟知一组数据中出现次数最多的数据是众数是解题关键．
8．D
【分析】根据数轴上a,b的位置，可得 ，又，可得a,b同号，同为正或者同为负.
【解答】本题考查不等式的性质．借助于数轴可知，因此不能判断，，，故A，B，C错误；而由得，由于，故，因此D正确，故选D．
【点拨】本题主要考查借助数轴判断式子是否成立，通过解答本题渗透数形结合的数学思想.
9．A
【分析】根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，由DE=AD，得∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，根据勾股定理，得到AE=，在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得到BE=．
【解答】根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=AD，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，
在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得AE==，
在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得BE==．
故选A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，30°角所对直角边是斜边一半的逆用，线段的垂直平分线，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
【解答】解：若点在上时，如图，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入方程式
解得：(舍去)，，
，
，，
矩形的面积为；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
11．m（m﹣n）
【解答】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可：m2﹣mn=m（m﹣n）．
12．
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
13．##
【分析】用加减消元法先消去x，把二元转化为一元，即可解得方程组．
【解答】解：，
由得：
得：
解得：，
把代入②得：
，
解得：，
∴此方程组解为：．
故答案为：
【点拨】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把“二元“转化为“一元“．
14．或或（这三个条件中一个均可）
【分析】要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：∵，，
添加：，
∴．
故答案为：或或（这三个条件中一个均可）．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．
【分析】在优弧上取一定D，连接、，连接，过点O作于点M，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质及垂径定理求得，，解直角三角形进行解答即可．
【解答】解：如图，在优弧上取一定D，连接、，连接，过点O作于点M，
∵四边形内接于，，
∴．
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了圆周角定理、垂径定理，解直角三角形，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
16．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再利用正切定义求解即可．
【解答】解：∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
17．
【分析】过点作于点．设交于点．证明，推出，可得结论．
【解答】解：过点作于点，设交于点．
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18．
【分析】首先设，将四次方程转化为二次方程：，然后设，由判别式△可得此二次方程有两个不等的实数根，又由开口向上与方程恰有一个不小于2的实根（即方程恰有一个不小于4的实根），即可得，即可得不等式，解此不等式即可求得的取值范围．
【解答】解：设，
则原方程为：，
设，
△，
方程有两个不等实根，且开口向上，
方程恰有一个不小于2的实根，
方程恰有一个不小于4的实根（图象如草图），
∴，
解得：．
的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元一次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想与数形结合思想的应用，还要注意二次函数的性质的灵活应用．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及求不等式组解集的步骤是解题的关键．
20．不公平，见解析
【分析】利用树状图法，求出含有相同数字的概率，进行判断即可．
【解答】解：不公平，理由如下：
画树状图如下：
由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．
则甲获胜的概率，乙获胜的概率，
因为，
所以这个游戏不公平．
【点拨】本题考查利用概率解决游戏公平性问题．熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论．
【解答】证明：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)，
(2)八年级学生的成绩较好，理由见解析
(3)青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．
（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．
【解答】（1）解：由条形统计图可得，调查人数为 (人)，
扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：，
将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75分，即，
故答案为：，；
（2）八年级学生的成绩较好，
理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；
（3）青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．
23．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先证明是等边三角形，然后利用切线的性质求解即可；
（2）作于点E，利用角的三角函数求出，然后利用代入求解即可．
【解答】（1）证明：连接．
，，
是等边三角形．
．
是的切线，
．
．
又，
．
．
．
（2）作于点E．
，，
．
．
，，
．
图中阴影部分的面积为．
【点拨】此题考查了切线的性质定理，等边三角形的性质，求扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)45副
(3)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【解答】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
25．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）补全图形如图1，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可；
（2）如图2，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则 ，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可；
（3）如图3，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，当三点共线时，最大， 根据，计算求解即可．
【解答】（1）解：补全图形如图1，
∵线段与关于直线对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为；
（2）解：，证明如下：
如图2，连接，，连接交于，
由对称的性质可得，，，，
∴ ，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：如图3，连接，，交点为，
由正方形的性质可得，，为的中点，
∴，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，
∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，
∴当三点共线时，最大，
∴，
∴最大值为．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，圆，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26．(1)③
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可；
（2）可求，，①当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；②当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；③当为等腰三角形的顶点时，，此时在的垂直平分线上，由进行求解即可．
（3）设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；由，进行求解即可．
【解答】（1）解：①，
，
故此函数不存在“平衡点”；
②当时，，
，
，
，
故此函数不存在“平衡点”；
③当时，，
，
，
整理得：，
，
此方程有两个不相等的实数根，
此函数存在“平衡点”；
④当时，，
，
，
整理得：，
此方程无实数根，
此函数不存在“平衡点”；
故答案：③．
（2）解：当时，，
，
，
解得：，（舍去） ，
，
，
同理可求：，
①如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，，
当时，，
与重合，舍去
；
②如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在以圆心，长为半径的圆周上，
，
解得：，；
③如图，当为等腰三角形的顶点时，，
此时在的垂直平分线上，
，
解得：；
综上所述：的值为、、、．
（3）解：设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，
然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；
，
整理得：，
旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
，
解得：，
．
【点拨】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键．
