2022-2023学年福建省宁德市福安市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若，则下列式子中错误的是( )
A. B. C. D.
3.因式分解结果为的多项式是( )
A. B. C. D.
4.如图，沿射线方向平移得到，点在线段上，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.用反证法证明命题：“在中，，则”应先假设( )
A. B. C. D.
7.已知，添加下列条件后能使为等边三角形的是( )
A. B.
C. D.
8.小红读一本页的书，计划天内读完，前天因各种原因只读了页，为了按计划读完，从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天要读页，根据题意列不等式是( )
A. B. C. D.
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在中，，，则 ______
12.不等式组的解集是______．
13.如图，在等腰三角形中，，，平分，且，则的长是______．
14.因式分解： ______．
15.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点在格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心的坐标是______．
16.如图，甲、乙两辆摩托车从相距的，两地同时相向而行，、分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时问之间的函数关系下列结论正确的是______写出所有正确结论的序号
乙摩托车行驶的速度是；
当时，甲车的行驶路程超过；
当时，甲摩托车离地的距离小于乙摩托车离地的距离；
甲、乙两车相距不超过时，．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
因式分解：
；
．
18.本小题分
已知：如图，点，在线段上，，，求证：．
19.本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
20.本小题分
如图，都是由全等的边长为的小等边三角形构成的网格，图中阴影部分是由若干个小等边三角形构成的，请分别按下列要求设计图案：
在图中画出将阴影部分图形沿某一方向平移个单位长度后的图形，要求各顶点仍在格点上；
在图中再任意给两个小等边三角形涂上阴影，使得个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形；只需画出符合条件的一种情形
在图中画出将阴影部分图形绕点按顺时针方向旋转后的图形．
21.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：在边上确定一点，使得保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，，求的长．
22.本小题分
某公司为庆祝第个“五一”劳动节的到来，采购员计划向商家定制甲、乙两种水果礼盒共个以慰问员工，其中甲、乙两种礼盒的单价分别为元个和元个，且两种礼盒的购买总金额不超过元．
问甲种礼盒最少可以购买多少个？
因该公司购买礼盒数量较多，经协商商家拟对该公司所够买的甲礼盒给予优惠元，已知甲、乙礼盒的成本分别为元个和元个，请求出商家获得的最大利润．
23.本小题分
如图，已知等腰三角形与等腰三角形全等，边与边重合，交射线于点，．
若，求的度数．
如图，将等腰三角形绕点按顺时针方向旋转，过点作，交于点．
求证：．
判断，，的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据中心对称图形的定义，可知，，选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、若，则，故本选项变形正确；
B、若，则，故本选项变形正确；
C、若，则，故本选项变形错误；
D、若，则，故本选项变形正确；
故选：．
根据不等式的性质逐项判断即得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；熟练掌握不等式的性质是关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据平方差公式：展开即可．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的形式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：沿射线方向平移得到，
，
，
故选：．
根据平移的性质可得即可求出的长度．
本题考查平移的性质，理解平移的对应线段相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由数轴知，这个不等式可以是：，
故选：．
在数轴上找不等式的解集可直接得出结论．
本题考查的是解一元一次不等式，根据数轴得到不等式的解集是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：反证法证明命题：“在中，，则”，
先假设．
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】
【解析】解：若，则为等腰三角形，不一定是等边三角形，故本选项不符合题意；
B.若，则有，解得，不能判断为等边三角形，故本选项不符合题意；
C.若，则为直角三角形，不是等边三角形，故本选项不符合题意；
D.若，则根据“两个内角为的三角形是等边三角形”即可判断为等边三角形，符合题意．
故选：．
由等腰三角形和等边三角形的关系、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及等边三角形的判定定理即可获得答案．
本题主要考查了等腰三角形、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用页后天读的页数页，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
把化简，再整体代入求值即可．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用整体思想代入求值．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
，，，
平分，
，
，
，
故选：．
根据看垂直平分线的性质可得，和，可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可．
本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，
．
故答案为．
根据直角三角形两锐角互余即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：，，平分，，
，，
在中，可有，
．
故答案为：．
由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再在中，由勾股定理即可获得答案．
本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
根据完全平方公式分解即可．
本题主要考查了因式分解，理解完全平方公式的形式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作，的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心，坐标为；
故答案为：．
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，据此解答．
本题考查了旋转的性质，熟知对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由图可得，甲摩托车行驶的速度是，
乙摩托车行驶的速度是，故正确；
当时，甲车的行驶路程超过，故正确；
当时，甲摩托车离地的距离，乙摩托车离地的距离，
即甲摩托车离地的距离等于乙摩托车离地的距离；
由图可得，当时，甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离；故错误；
设小时时甲、乙两车相距为，则，解得或，
故甲、乙两车相距不超过时，，故正确；
综上，结论正确的是；
故答案为：．
先求出甲乙的速度，再逐项分析即可．
本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图获取必要的信息是解题的关键．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】利用提公因式法即可求解；
综合利用提公因式法和公式法即可求解．
本题考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式是解题关键．
18.【答案】证明：，
在和中，
，
≌．
．
．
即．
【解析】先证明≌，根据全等三角形的性质得出，进而即可得证．
本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握证明全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
，
系数化为，得
，
其解集在数轴上表示如下，
．
【解析】根据所求不等式的特点，可知要去括号、移项及合并同类项、系数化为，即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查解一元一次不等式、在数轴表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
20.【答案】解：如图所示：
如图所示：
以下情形之一即可．
或 或
如图所示：
【解析】画出将阴影部分图形沿右平移个单位长度后的图形即可；
把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则该图形是中心对称图形；
将阴影部分的图形每个顶点均绕点按顺时针方向旋转即可．
本题考查了平移、旋转作图，补图使原图形成为中心对称图形．关键是掌握图形变换的定义．
21.【答案】解：如图所示，点即为所求作的点；
由得，，
在中，，．
．
．
，，
．
．
．
【解析】以为圆心画弧分别交于、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点，连接与交点即为；
根据等腰直角三角形和直角三角形的性质结合勾股定理计算即可．
本题考查了垂直作图，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟记作垂线的作图步骤．
22.【答案】解：设购买甲种礼盒个，则购买乙种礼盒个．根据题意，得
．
解得．
甲种礼盒最少可以购买个．
解：设商家获得的利润为元，根据题意，得
．
，
，
随的增大而减小，
，
当时，的最大值为．
，
当时，，利润最大为元．
【解析】先设购买甲种礼盒个，则购买乙种礼盒的个数，根据题意列出不等式，求出解集即可；
设商家获得的利润为元，根据题意列出一次函数，再讨论得出答案．
本题主要考查了一元一次不等式的应用，求一次函数的极值等，根据等量关系不等关系列出关系式不等式是解题的关键．
23.【答案】解：，
．
．
等腰三角形与等腰三角形全等，
．
；
证明：如图，连接，由旋转可得．
．
≌，
．
，
．
．
．
即．
；
解：或，理由如下：
如图，当点在延长线上时，连接，并延长交于点．
，
是的垂直平分线．
，
．
，，，
．
．
，，，
．
由得，
．
当点在上时，连接，并延长交于点，如图，
同理可得．
，，，
，
由得，
．
综上，或．
【解析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质结合三角形的内角和求解即可；
证明，，可得，进而可得结论；
当点在延长线上时，连接，并延长交于点，证明，可得，然后利用线段的和差代换可得结论；当点在上时，同理求解．
本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、进行线段和角之间的代换是解题的关键．
第1页，共1页
