3.3二项式定理与杨辉三角同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
2．已知，若，则（ ）
A．240 B．－240
C．280 D．－280
3．的展开式中，常数项为（ ）
A．32 B．42 C．196 D．202
4．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知二项式，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则展开式的常数项为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大的项为第4项
10．对于式子，以下判断正确的有（ ）
A．存在，使得展开式中没有常数项 B．对任意，展开式中有常数项
C．存在，使得展开式中有的一次项 D．对任意，展开式中没有的一次项
11．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中的有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为512
D．除以9的余数为8
12．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C．若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
三、填空题
13．二项式的展开式中第5项系数最大，则它的展开式中常数项为 （用数字作答）
14．能被9整除的正整数的最小值为 .
15．已知实数不为零，展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中项的系数为 .
16．设，则 .
四、解答题
17． （1）由四个不同的数字1，2，4，组成无重复数字的三位数.
①若， 则可以组成多少个能被3整除的三位数？
②若，则可以组成多少个不同的三位数？
（2）已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，求 的值.
18．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含的项的系数；
(3)设，则当时，求a除以15所得余数.
19．已知 .
(1)若展开式的二项式系数和为256，求 的值；
(2)当 时，二项式的展开式中 的系数为，常数项为，若，则求的值；
(3)当 时，求二项式的展开式中系数最大的项.
20．（1）若=64，其中是正整数，求展开式的常数项；
（2）若展开式中第2项系数为，求的展开式中的系数.
21．已知展开式的二项式系数和为512，且.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求证：能被6整除.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】解法一：将原展开式可以看作与展开式各项的乘积，然后根据二项式定理展开式的通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出答案；解法二：化为，然后反复根据二项式定理展开式求解即可得出答案.
【详解】解法一：
因为，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积.
展开式的通项为，
则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为；
展开式的通项为，
则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为.
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
解法二：
因为，展开式的通项为.
要使展开式中含，则可取或.
当时，，展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为；
当时，，展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为.
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
故选：D．
2．C
【分析】借助赋值法令可计算出，再借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解.
【详解】令，则有，
即，故，
即有，
对，有，
令，则有，
即.
故选：C.
3．D
【分析】利用二项式的展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】由已知得二项式的展开式中的常数项为
，
故选:D．
4．B
【分析】写出二项式展开式的通项，求出常数项为60时的值，即可判断结果.
【详解】的展开式的通项为．
令，得，则的常数项为，则，
∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.
故选:B．
5．D
【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故为的展开式，化简.
故选：D.
6．C
【分析】由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.
【详解】，
由，
故被10除所得的余数为.
故选：C.
7．D
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【详解】根据二项式展开式：，；
故当时，展开式中的系数为，
故．
故选：D．
8．D
【分析】对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简即可一一判断.
【详解】因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，
则，故C项错误；
对于D项，当时，代入（*）可得，
则，故D项正确.
故选：D.
9．BC
【分析】根据二项式展开式的通项公式，对四个选项进行分析.
【详解】A选项，当时，，其中为整数，且，
令，解得，此时，
故常数项为60，故A正确；
B选项，，其中为整数，且，
若为展开式中的有理项，则为整数，即为偶数，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
以上均满足有理项要求，故共有4项，故B错误；
C选项，令中的得，，
所以或，故C错误；
D选项，展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，
所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，D正确
故选：BC.
10．BD
【分析】利用二项式的展开式逐项判断即可求解.
【详解】的展开式通项为
，
其中，
A、B：当时，存在常数项，故A错误，故B正确，
C、D：为偶数，不存在一次项，故C错误，D正确．
故选：BD.
11．BD
【分析】由二项式系数的概念和组合数的性质可判断选项A；结合有理项的概念，根据二项式的通项可判断选项B；由偶数项的二项式系数和可判断选项C；结合二项式定理可判断选项D.
【详解】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，
由组合数的对称性可得：，故选项A错误；
因为的展开式中各项系数的和为0，
所以令可得：，解得：.
则的二项式通项为.
由为整数可得：，
所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；
因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误；
因为
所以除以9的余数为8，故选项D正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.
【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；
故选：ABD.
13．28
【分析】由二项式展开式结合二项式系数的性质，得到，再利用展开式求常数项即可.
【详解】因为二项式第项二项式通项为，且展开式中第5项系数最大，
所以由二项式系数的性质可得展开式共有项，，
所以在展开式中常数项中，解得，
所以常数项为，
故答案为：
14．
【分析】由已知可得，则可得，可求得.
【详解】因为
，
因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得.
故答案为：.
15．30
【分析】由题意求出n，再利用组合知识求含的项即可得解.
【详解】因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以，
由组合知识可知，展开式中含项为，
故答案为：30
16．
【分析】分别令，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以.
故答案为：.
17．（1）①12;②18;
（2）
【分析】（1）利用两个计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解;
（2）根据二项式定理中二项式的通项公式即可求.
【详解】（1）①若，则这四个数字为1，2，4，9;
要求被3整除，所以这三个数字为1、2、9或2、4、9;
若三个数字为1、2、9，有种情况;
若三个数字为2、4、9，有种情况;
根据分类加法计数原理，一共有个能被3整除的三位数.
②若，则这四个数字为1，2，4，0；
百位不能是0，则可以是1、2、4，有3种情况；
因为要求无重复数字，
所以十位可以是除了百位之外的三个数字，有3种情况；
个位可以是除了百位和十位之外的两个数字，有2种情况.
根据分步乘法计数原理，一共有个三位数.
（2）二项式展开式的通项公式，
因为展开式中第二项和第三项系数相等，得，即，解得.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据二项式系数的比值，列式计算即可；
（2）写出通项公式，通过赋值，即可求得含项的系数；
（3）将改写为，将其展开，即可求得除以所得余数.
【详解】（1）根据题意，，即，又，故.
（2），
其展开式的通项公式，，
令，解得，则，
故展开式中含的项的系数为：.
（3）当时，，
，
而能够被整除，
故a除以15所得余数为.
19．(1)8
(2)2或-2
(3)240
【分析】（1）由二项式系数和为，依题意可得结果，
（2）根据二项式定理通项公式求出的系数与常数项，由条件可得结果，
（3）根据二项式定理通项公式，设第r项系数最大，建立不等关系可得结果.
【详解】（1）依题意有，解得.
（2）当 时二项式为，由二项式定理通项公式得，
令，得，所以，
令，得，所以，
又，解得（舍去）或或，
所以或.
（3）当 时二项式为，
由二项式定理通项公式得，
设第r项系数最大，则，即，故，
所以二项式的展开式中系数最大的项为.
20．（1）-160；（2）
【分析】
（1）先根据二项式系数的性质得，求出二项式的展开式通项，令求解即可；
（2）先由第2项系数求得，再根据分配律，结合二项式通项公式即可求解.
【详解】
（1）二项式的展开式的所有二项式系数和为，则，
所以二项式的展开式通项公式为，
，1，，6，令，解得，所以展开式的常数项为；
（2）二项式的展开式的第二项为，
则，解得，
所以多项式的展开式中含的项为，
所以的系数为.
21．(1)19682
(2)144
(3)证明见解析
【分析】
（1）用赋值法，在中，令，可得，再令，可得的值，从而可得答案
（2）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；
（3）根据题意，得，形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案
【详解】（1）∵展开式的二项式系数和为512，
∴，解得，令，可得，
令，可得，∴.
（2）由（1）知，∵，∴.
（3）∵
，
又能被6整除，
∴能被6整除.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
