2023－2024学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试题
（总分120分 时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数的和为零成为解题的关键．
根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：的相反数是2023．
故选A．
2. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为（ ）
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：16万吨吨；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2x+6y＝8xy B. 4y3﹣y3＝3 C. 6x2﹣5x＝x D. 9ab﹣9ba＝0
【答案】D
【解析】
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断即可．
【详解】解：A、2x与6y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、4y3-y3=3y3，故本选项不合题意；
C、6x2与5x不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、9ab-9ba=0，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
4. 将如图所示的几何体展开图沿虚线折成一个正方体（不允许剪开），与“建”字相对面上的汉字是（ ）
A. 生 B. 态 C. 家 D. 园
【答案】C
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“建”与“家”相对，“设”与“态”相对，“生”与“园”相对．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【详解】多边形的外角和是，根据题意得：
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务，开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治米，那么所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等量关系“原计划用时 实际用时＝4天”，列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天．
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=36+36m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x-9=0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴36+36m≥0且m≠0，
∴m≥-1且m≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
9. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
10. 如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．
【详解】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1，
∴ 当移动的距离为时，在内，，
当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M，
根据题意得AD=x，AB=3,
∴DB=AB-AD=3-x，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
∵当时，，当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 如果，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，移项，合并，系数化1，求解即可．
【详解】解：，
∴；
故答案为：．
12. 一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．
【答案】x1＝5，x2＝7
【解析】
【分析】根据题意利用ab=0得到a=0或b=0，求出解即可.
【详解】解：方程（x﹣5）（x﹣7）＝0，
可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝5，x2＝7，
故答案为：x1＝5，x2＝7.
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 在，1，0，，5.1，7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：随机抽取一个数，共有6种等可能的结果，其中抽到无理数有，，2种等可能的结果，
∴抽到无理数概率是；
故答案为：．
14. 已知扇形的半径为6，弧长为2π，则它的圆心角为_____度．
【答案】60
【解析】
分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设扇形的圆心角为n，
则＝2π，
解得，n＝60，
故答案为60．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键.
15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是______．（写序号）
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①；特殊点判断②和③，增减性判断④，最值判断⑤．
【详解】解：由图象可知：中，，，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴根据对称性可知当时，所对应的函数值与时函数值相同，
即：，故②正确；
∵当时，所对应函数值，
∴，故③正确；
∵图象关于对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴，故④错误；
∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，，
∴，
∴（），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16. 解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】由方程的特点可以用配方法变形，然后直接开平方解方程．
【详解】原方程化为，
，
即
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法．
17. 解不等式组．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每一个不等式的解集，再找到它们的公共部分即可．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组无解．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）π．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质，可得答案；
（2）根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案．
解：（1）如图：
；
（2）如图2：
，
图2
OB==2，
点B旋转到点B1所经过的路径长=π．
考点：作图-旋转变换．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．
（1）本次抽样调查的学生人数共_______人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
【答案】（1）50 （2）补图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据冰球的人数5与占比，求解调查的总人数即可；
（2）由图可得，滑冰的人数为人，然后补全条形统计图即可；
（3）根据题意列表，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，调查的总人数为人，
故答案为：50．
【小问2详解】
解：由图可得，滑冰的人数为人，
∴补图如下：
【小问3详解】
解：由题意知，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表格可知，随机抽取2名共有12种等可能的结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙共有2种等可能的结果，
∴抽中两名学生分别是甲和乙的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，列举法求概率．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
20. 已知方程组与有相同的解．
（1）求m和n值，
（2）已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可；
（2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：由方程组得：，
∵方程组与有相同的解，
∴方程组的解为，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：把代入关于x的一元二次方程得：，
解得：，，
∴的两边长分别为3，4，
∵第三边的长为5，
又∵，
∴直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值．
21. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
（1）求证：△HCE是等腰三角形．
（2）若，求HD的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得，再根据平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴△HCE是等腰三角形
【小问2详解】
解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
由折叠的性质得，，
在Rt△CGH中，设，则
∴，
解得，
∴
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图，是的直径，D是的中点．于点E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理得出，平分，证出，即可得出是的切线；
（2）证明即可得证；
（3）由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，由圆周角定理得出，求出，得出、、，求出的长，再由三角函数的定义即可得出结果．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵D是的中点，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，掌握相关知识点，正确的添加辅助线，是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①点E在抛物线上；②P（0， ）
【解析】
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【小问1详解】
解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（ 3，0），B（0， 4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝ 3＝，
∴P（0， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．2023－2024学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试题
（总分120分 时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
2. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为（ ）
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2x+6y＝8xy B. 4y3﹣y3＝3 C. 6x2﹣5x＝x D. 9ab﹣9ba＝0
4. 将如图所示的几何体展开图沿虚线折成一个正方体（不允许剪开），与“建”字相对面上的汉字是（ ）
A. 生 B. 态 C. 家 D. 园
5. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是( )
A 8 B. 9 C. 10 D. 11
6. “绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务，开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治米，那么所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
8. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
10. 如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 如果，则______．
12. 一元二次方程（x﹣5）（x﹣7）＝0的解为_____．
13. 在，1，0，，5.1，7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是______．
14. 已知扇形的半径为6，弧长为2π，则它的圆心角为_____度．
15. 如图，已知二次函数图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是______．（写序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16 解方程：.
17. 解不等式组．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．
（1）本次抽样调查的学生人数共_______人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，滑冰挑选了甲，乙，丙，丁四名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
20. 已知方程组与有相同的解．
（1）求m和n值，
（2）已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积．
21. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
（1）求证：△HCE是等腰三角形．
（2）若，求HD的长度．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图，是的直径，D是的中点．于点E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
23. 如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
