数学模拟题
（时间：120分 满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.）
1. 下列实数中，最大数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．
2. 如图，四个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、应为，故本选项符合题意；
D、应为，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
5. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项．
【详解】解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是
，
故选：B．
7. 如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接，作直线，且与相交于点H．则下列说法不正确的是（ ）
A. 是等边三角形 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由作图过程得出，证明是等边三角形；结合垂直平分线的性质，得出，根据三线合一，得出，，即可作答．
【详解】解：∵①作线段，分别以点A、B为圆心，以．长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
∴
∴是等边三角形，故A选项是正确的；
∵②连接，作直线，且与相交于点H．
∴是的垂直平分线
∴，故B选项是正确的；
∵等边三角形的三线合一
∴，，故C选项是正确的；D选项是错误的；
故选：D
8. 如图，在中，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，中，由，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质；根据菱形的性质即可判断A，C，D，根据中位线的性质即可判断B选项，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，故A，D选项正确；
不能得出，故C选项错误，
∵点是的中点，，
∴，故B选项正确
故选：C．
10. 已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A. 命题① B. 命题② C. 命题③ D. 命题④
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称轴为直线，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线，
则，
解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),
∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为，
令y=0，得，
解得，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置上.）
11. 计算：的结果为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据即可求解．
【详解】解：，
故答案为：3．
12. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题关键．根与系数的关系：和是一元二次方程的两根时，．直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的函数关系式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
14. 众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【详解】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果有3种，
∴小明获胜的概率为，
故答案为：．
15. 已知矩形中，，将绕点顺时针旋转得到，与交于点，与交于点，当点的对应点落在线段上时，线段的长是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，先证明得出，进而证明得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
又∵
在中，
∴
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
17. 如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 a 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 b c 51.4
乙班 80 80 8085 27
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空_________，_________，_________；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好简要说明理由；
（3）甲乙两班各有学生45人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1），，
（2）总体乙班成绩比较好，理由见解析
（3）45人．
【解析】
【分析】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数的定义是解题的关键．
（1）根据乙班中的人数即可得到a的值，把甲班成绩从小到大排列后，根据中位数，众数定义求解即可；
（2）结合平均数，中位数、众数，方差的数据信息说明即可；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数即可．
【小问1详解】
解：乙班10名学生竞赛成绩中的共有5人，故 ；
甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，
79出现次数最多，则众数；
故答案为：，，
【小问2详解】
乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好．
【小问3详解】
获奖人数：（人）．
答：两个班获奖人数为45人．
19. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送人到中国空间站．如图；在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为，后飞船到达B处，此时测得仰角为．
（1）求点A离地面的高度；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度；（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形——俯角仰角问题，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理：
（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理解求出，再利用三角函数解求出，进而求出，根据速度等于路程除以时间即可求解．
【小问1详解】
解：由题意知，在中，，，
，
即点A离地面的高度为；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得：
，
在中，，
，
，
由题意知，飞船从A处到达B处用时，
，
飞船从A处到B处的平均速度为．
20. 如图，一个正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）正方形的对角线所在直线的解析式为_________；
（3）若直线（为常数）与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是_________.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）采用待定系数法，将点代入反比例函数，即可求得答案；
（2）采用待定系数法，设正方形的对角线所在直线的解析式为，将点，点的坐标代入即可求得答案；
（3）根据题意可得，变形可得一元二次方程，根据根的情况即可求得答案．
【小问1详解】
将点代入反比例函数，得
．
解得．
所以，反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
根据题意可知点的坐标为，点的坐标为．
设正方形的对角线所在直线的解析式为．
将点，点的坐标代入，得
解得
所以，正方形的对角线所在直线的解析式为．
故答案为：
【小问3详解】
根据题意，得
．
变形，得
．
根据题意可知，即
或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查反比例函数、一次函数、一元二次方程、平面直角坐标系，牢记待定系数法是解题的关键．
21. 在中，弦．
（1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论．
（2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1），理由如下
（2）
【解析】
【分析】（1）可求得，结合即可求得答案；
（2）可先求得，进而可知，，根据勾股定理可求得圆的半径长度，结合即可求得答案．
【小问1详解】
，理由如下：
∵，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
如图所示，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为的切线，
∴．
∴．
∴．
∵为的直径，
∴．
∴．
∴．
∴，．
在和中
∴．
∴．
∴．
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，牢记圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22. 某城区公园内有一个直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水柱呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距高处喷出的水柱达到最大高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距水管的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则水管的高度应调节为多少？
【答案】（1）
（2）水管的高度调整为10.5米
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的应用，掌握二次函数解析式的求法是解题关键．
（1）根据顶点设抛物线的表达式为，把A的坐标代入可得解析式；
（2）设抛物线的表达式为，把代入得出解析式，再求出抛物线与y轴的交点即可．
【小问1详解】
∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
把代入可得，
∴；
【小问2详解】
设抛物线的表达式为，
把代入得，
∴，
∴，
当时，，
∴水管的高度调整为10.5米．
23. 和都是等腰三角形，，直线，交于点．
图1 图2 图3
（1）特例发现
如图1，，，在一条直线上，当时，填空：的值是_________，_________．
（2）类比探究
如图2，当时，探究的值（用含m的式子表示）及的度数（用含的式子表示），并就图2的情形写出探究过程．
（3）拓展运用
如图3，当时；若点，，在一条直线上，延长与边，分别交于点，，且是的中点，，直接写出的长．
【答案】（1）；
（2），，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得出，，进而即可求解；
（2）证明得出，进而证明，得出，则
（3）由（2）可得，得出，证明得出，证明得出，，则，设，则，，进而得出，过点作于点，勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴是等边三角形，则
∴是等边三角形，
∵，，在一条直线上，
∴，
∴
在中，
∴
∴，
∴
故答案为：；．
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴即
∵
∴
∴
∴，
∴
小问3详解】
解：由（2）可得，
则
∵
∴
∴
又∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，则
∵
∴
∴
∵,
∴
设，则，，
∴
∴
解得：（舍去）
∴
如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴，
在中，
∵
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．
图1 图2
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
①当时，求线段长度的最大值；
②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）当时，，解得当时，，即求出答案；
（2）过点P作轴于点H，连接，由题意可得，点P的坐标为，，由得到，则，求出m的值，即可得到答案；
（3）①求出点N的坐标是，再求出直线的解析式为，得到点M的坐标为，则，即可求出答案；②证明是等腰直角三角形，，得到点Q的坐标是，则，由得到，根据函数的图象和性质即可得到m的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，，
解得
∵抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），
∴，
当时，，
∴
【小问2详解】
过点P作轴于点H，连接，
由题意可得，点P的坐标为，
则，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验是增根，舍去，是分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴点P的坐标是；
【小问3详解】
①由题意可得，点P的坐标为，
∵点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，
∴点N的坐标是，
设直线的解析式为，把点B和点C的坐标代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
∴点M的坐标为，
∴
∴当时，线段长度的最大值为4；
②∵，
∴等腰直角三角形，
∴，
∵直线轴，
∴
∵过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵点P的坐标为，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
∴点Q的纵坐标为，
由直线的解析式为，则，
∴，
∴点Q的坐标是，
∴
∵线段的长度为l，，
∴，
即，
∴，
设函数,
当时，，解得,,
即函数与x轴交点坐标为，
函数的图象如图所示，
由图象可知，当时，，
∴m的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、图象法解不等式等知识，数形结合是解题的关键．数学模拟题
（时间：120分 满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 如图，四个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连接，作直线，且与相交于点H．则下列说法不正确的是（ ）
A. 是等边三角形 B.
C. D.
8. 如图，中，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A. 命题① B. 命题② C. 命题③ D. 命题④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置上.）
11. 计算：的结果为_________．
12. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_________．
13. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（）与所挂物体的质量x（）之间的函数关系式为_________．
14. 众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为_____．
15. 已知矩形中，，将绕点顺时针旋转得到，与交于点，与交于点，当点的对应点落在线段上时，线段的长是_________．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）
16. 计算：．
17. 如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 a 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 b c 51.4
乙班 80 80 80,85 27
解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空_________，_________，_________；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好简要说明理由；
（3）甲乙两班各有学生45人，按竞赛规定，80分及80分以上学生可以获奖估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
19. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送人到中国空间站．如图；在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为，后飞船到达B处，此时测得仰角为．
（1）求点A离地面的高度；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度；（结果精确到，参考数据：，，，）
20. 如图，一个正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）正方形的对角线所在直线的解析式为_________；
（3）若直线（为常数）与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是_________.
21. 在中，弦．
（1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论．
（2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积．
22. 某城区公园内有一个直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水柱呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距高处喷出的水柱达到最大高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距水管的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则水管的高度应调节为多少？
23. 和都是等腰三角形，，直线，交于点．
图1 图2 图3
（1）特例发现
如图1，，，在一条直线上，当时，填空：值是_________，_________．
（2）类比探究
如图2，当时，探究的值（用含m的式子表示）及的度数（用含的式子表示），并就图2的情形写出探究过程．
（3）拓展运用
如图3，当时；若点，，在一条直线上，延长与边，分别交于点，，且是的中点，，直接写出的长．
24. 抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．
图1 图2
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
①当时，求线段长度最大值；
②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围．
