安徽省黄山市 2024届高中毕业班第一次质量检测
数学试题及参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知全集U 1,2,3,4,5 , A 1,4 ,B 1,2,3 ，则 A CU A （ ）
A． 1,2,4 B． 1,3 C． 1,4,5 D． 1,2,4,5
2 2
1
．已知抛物线C : y 2px的焦点为 F ,0 ，则 p的值为（ ）
2
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
3．已知 an 是以 q为公比的等比数列，a3 a1 2,a6 a4 16，则 q （ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
1 3
4．已知 sin sin ,cos ，则 cos （ ）
5 5
1 1 18 23
A． B． C． D．
5 5 25 25
5．2024年是安徽省实施“3 1 2”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、
化学、生物 4门学科中任选 2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概
率是（ ）
1 1 2 5
A． B． C． D．
6 2 3 6
6．已知向量 a,b ，满足 2a b 2 3, a 1, b 2 ，则向量 a,b的夹角为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
7．过点 0,3 x2与圆 y2 2x 3 0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin （ ）
2 6 3 10
A． B．1 C． D．
5 5 5
x2 y2
8．已知双曲线C : 2 2 1的左，右焦点分别为 F1,F2 ，过点 F1与双曲线C的一条渐近线平行的直线 l交a b
C于M ，且 F2M F1M ，当 2,4 时，双曲线C离心率的最大值为（ ）
A． 3 21B． C．2 D． 5
3
1
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1，点 E,F ,G 分别为棱 BC,CC1,CD的中点，下列结论正确的有（ ）
A． AE与D1F共面 B．平面 AB1D1∥平面GFE
C． AE EF D． BF∥平面 AB1D1
10．下列说法正确的有（ ）
A．若线性相关系数 r 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强
B．若随机变量 X N 1, 2 ,P X 5 0.75，则 P X 3 0.25
C．若样本数据 x1, x2 , , x24 的方差为 3，则数据 2x1 1,2x2 1, ,2x24 1的方差为 18
D．若事件 A,B满足 P A 0,P B 0,P B A P B ，则有 P A B P A
11 ． 已 知 函 数 f x 及 其 导 函 数 f x 的 定 义 域 均 为 R ， 记 g x f x ． 若 f x 满 足
f 2 3x f 3x , g x 2 的图象关于直线 x 2对称，且 g 0 1，则（ ）
A． f x 是奇函数 B. g 1 0
2024
C． f x f x 4 D． g k 0
k 1 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1 ai
12．若复数 为纯虚数，则实数 a的值为_______．
2 i
13． 2x 1 (1 x)9 5的展开式中 x 的系数为_______．
14．记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，其外接圆半径为2 3，且 cos2B 2 5cos A C ，
则角 B大小为_______，若点D在边 AC上，DC 2AD,BD 2，则△ABC 的面积为_______．
四、解答题：本题共 5小逐，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3
15．（本小题满分 13分）已知函数 f x x2 4ax a2lnx在 x 1处取值得极大值．
2
（1）求 a的值；
f x 12 ,e （ ）求 在区间 e
上的最大值．
2
16．（本小题满分 15分）
某校高三年级 1000 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是
30,50 , 50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130 , 130,150 ．
（1）求图中 a的值，并根据频率分布直方图，估计这 1000名学生的这次考试数学成绩的第 85百分位数；
（2）从这次数学成绩位于 50,70 , 70,90 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方．法抽取 9人，再从
这 9人中随机抽取 3人，该 3人中成绩在区间 70,90 的人数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望．
17．（本小题满分 15分）如图，四棱锥 A BCDE, AB BC AC CD 2BE 2,BE∥CD, BCD ，
2
平面 ABC 平面 BCDE ,F 为BC中点．
（1）证明：平面 AEC 平面 AFD；
（2）求平面 AED与平面 AFD夹角的正弦值．
3
2
18．（本小题满分 17分）设点 F1 c,0 ,F2 c,0
x 2
分别是椭圆C : 2 y 1的左，右焦点，P为椭圆C上任a
意一点，且PF1 PF2 的最小值为 2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C的外切矩形 ABCD的面积 S的最大值．
19．（本小题满分 17分）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散
变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 an ，规定 Δan 为数列 an 的一阶差分数列，其中
Δa a * 2n n 1 an n N ，规定 Δ a 2n 为数列 an 的二阶差分数列，其中Δ an Δan 1 Δa *n n N ．
（1）数列 an 3的通项公式为 an n n N* ，试判断数列 Δan , Δ2an 是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列 logabn * * 2是以 1为公差的等差数列，且a 2，对于任意的n N ，都存在m N ，使得Δ bn bm，
求 a的值；
（3）各项均为正数的数列 cn 的前 n项和为 Sn，且 Δcn 为常数列，对满足m n 2t，m n的任意正
整数m,n, t都有 cm cn ，且不等式 Sm Sn S，恒成立，求实数 的最大值．
4
参考答案
一、单选题
1.C 解析：根据题意由U 1，2，3，4，5 ，B 1,2,3 可得CU B 4,5 ，又 A 1，4 ，∴ A CU B 1，4，5 .
2 p p 1
2.C 解析：根据抛物线C：y 2px的标准方程可得焦点坐标为 ,0 ，即 ，可得 p 1.
2 2 2
3.A 解析：∵数列 an 时以 q为公比的等比数列，且 a3 a1 2，a6 a4 16，
则 a6 a4 a q
3 a 33 1q q
3 a3 a1 2q 3 16，解得 q 2 .
4.B 解析：∵ sin sin 1 ， cos cos cos sin sin cos cos 1 3 ，
5 5 5
cos cos 2 cos cos cos sin sin 2 1 1解得 ，因此， .
5 5 5 5
2
5.D 解析：依题意从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2门共有C4 6种情况，
2 1 5
其中化学和地理都没有被选中共有C2 1种，因此化学和地理至少有一门被选中的概率为 P 1 .6 6
2
6.B 解析：根据题意由 2a b 2 3 2a b 4a 2 b 2 4a 可得 b 12，
又 a 1， b 2，可得 a b 1，
1
设向量 a,b的夹角为 ， 0， ，∴ a b a b cos 1 2cos 1，可得 cos ，即 .
2 3
2
7.A 解析：圆 x y 2 2x 3 0的标准方程为 x 1 2 y 2 4，圆心为C 1，0 ，半径为 2，
记点 P 0，3 ，记切点分别为 A、B，如下图所示：
由切线长定理可得 PA PB ，又∵ PC PC ， CA CB ,
∴ PAC ≌ PBC，∴ APC BPC，
设 APC BPC ，由圆的几何性质可得 AC PA ，
则 PC 0 1 2 3 0 2 10 ,
AC
sin 2 10∴ ,
PC 10 5
2
由图可知， 为锐角，则 cos 1 sin 2 1 10 15 ，
5 5
5
∴ sin APB sin 2 2sin cos 2 10 15 2 6 sin 2 6 ，故 .
5 5 5 5
8.D 解析：如下图所示：
b
不妨取渐近线方程为 y x，又易知 F1 c,0 ，a
b
则直线 l的方程为 y x c ，
a
x 2 y 2
2 2 1 a 2 c 2 b3
联立直线 l与双曲线 a b ，可得M , ，
b 2c 2ac
y x c a
2 2 2 2 2 2 a c b3 b 2 b3 a 2F M b
4 b6 b 2c b 2
∴ 1 c ，
2c 2ac 2c 2ac 2ac 2ac 2a
且 F2M F1M ，由双曲线定义可得 F2M F1M 1 F1M 2a，
4a 2 4a 2
当 4 2,4 时，可得 1 2 2 2 2 1,3 ，b c a e 1
e2 1 4 ,4 21∴ ，解得 e 5，因此双曲线C离心率的最大值为 5 . 3 3
二、多选题
9.AB 解析：如图所示：
对于 A 选项，连接 BC1，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB∥C1D1且 AB C1D1
∴四边形 ABC1D1为平行四边形，则 BC1 ∥ AD1，
∵ E，F 分别为 BC，CC1的中点，则 EF∥BC1 ,故 EF∥ AD1，
∴ AE与D1F 共面，A 对；
对于 B 选项，∵ BB1 ∥DD1且 BB1 DD1，∴四边形 BB1D1D为平行四边形，则 BD∥B1D1，
又∵ E、G分别为 BC、CD的中点，则 EG∥BD，∴ EG∥B1D1，
∵ EG 平面 AB1D1， B1D1 平面 AB1D1，∴ EG∥平面 AB1D1，
同理可证 EF ∥平面 AB1D1，
6
∵ EF EG E， EF、EG 平面 EFG，∴平面 EFG∥平面 AB1D1，B 对；
2 2
对于 C 选项，不妨设 ABCD的棱长为 2，则 AE AB BE 4 1 5 ，
EF CE 2 CF 2 1 1 2， AC AB 2 BC 2 4 4 2 2 ,
∵CC1 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则CC1 AC，
∴ AF AC 2 CF 2 8 1 3 AE 2 2，∴ EF AF 2，故 AE、EF 不垂直，C错；
对于 D 选项，假设 BF∥平面 AB1D1，又∵ EF∥平面 AB1D1，EF BF F，EF、BF 平面 BB1C1C，
∴平面 BB1C1C∥平面 AB1D1，事实上，平面 BB1C1C与平面 AB1D1不平行，假设不成立，D错.
10.ABD 解析：对于 A 选项，若线性相关系数 r 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强，A 对；
2
对于 B 选项，若随机变量 X ~ N 1, ， P X 5 0.75，则
P X 3 P X 5 1 P X 5 1.05 0.25，B对；
对于 C 选项，若样本数据 x1 , x2 x24 的方差为 3，
2x 1,2x 1 2x 1 22则数据 1 2 24 的方差为 3 12，C错；
对于 D 选项，若事件 A、B满足 P A 0，P B 0，P B A P B ，
P AB
由条件概率公式可得 P B A P B ，则 P AB P A P B ，P A
P AB P AB P A P B 因此，
P B P B P A ，D 对.
11.BCD 解析：对于 A 选项，∵函数 g x 2 的图象关于直线 x 2对称，则 g 2 x 2 g 2 x 2
即 g x g x ，∴函数 g x 为偶函数，又∵ g x f x ，则 f x f x ，
令 h x f x f x ，则 h x f x f x 0，∴ h x 为常值函数，
设 h x f x f x C，其中C为常数，
当C 0时， f x C f x f x ，此时函数 f x 不是奇函数，A错；
对于 B 选项，∵ f 2 3x f 3x ，令 t 3x，可得 f t 2 f t ，即 f x 2 f x ，
等式 f x 2 f x 两边求导得 f x 2 f x ，即 g x 2 g x 0，
7
∴函数 g x 的图象关于点 1,0 对称，
在等式 g x 2 g x g x 2 g x 0中，令 x 1可得 2g 1 0，可得 g 1 0，B 对；
对于 C 选项，∵ f x f x C，则 f x 2 f x C，可得 f x 2 C f x ，
∴ f x 4 C f x 2 C C f x f x ，C 对；
对于 D 选项，在等式 f x f x 4 两边同时求导得 f x f x 4 ，即 g x g x 4 ，
∴函数 g x 是以 4 为周期的周期函数，
∵ g x 2 g x g x 2 g x 0，
3 1
∴ g 1 0，g g 0， g 2 g 0 g 2 1 0，
2 2
g 2 5 7 1 g 5 1 可得 ， g g g 0， g 3 g 3 4 g 1 ，
2 2 2 2
在 g x 2 g x g x 2 g x 0中令 x 1，可得 g 3 g 1 0，则 g 3 0，
g 4 g 0 1，
g 1 ∴ g 1 g 3 5 g 2 g g 3 g 7 g 4
2 2 2 2
g 1 g 2 g 3 g 4 0 1 0 1 0，
2024 8
2024 k k∵ 4 506 g 506 g ，则 0，D 对.
k 1 2 k 1 2
三、填空题
2 a 0
2 1 ai 1 ai 2 i 2 a 2a 1
5
12. 解析：∵ i为纯虚数，则 ，解得 a 2 .2 i 2 i 2 i 5 5 2a 1
0 5
13.126 解析：依题意得，展开式中含有 x5的项为：
2x C 415 x 4 1 C 514 x 5 2C 4 C 5 x5 126x59 9 9 9 ，
5
∴展开式中 x 的系数为 126.
8
2
14. ；3 3 解析：在 ABC中， cos 2B 2 5cos A C 2 5cos B 2 5cosB，
3
2cos 2即 B 1 2 5cosB 2 1，得 2cos B 5cosB 3 0，解得 cosB , cosB 3（舍），
2
由 B 0 2 ， ，得 B .
3
ABC b的外接圆半径为 2 3，则 2 2 3，解得b 6，
sin B
2 2 2
由余弦定理，b a c 2ac cosB，得36 a 2 c 2 ac，
点D在边 AC上，DA 2AD， BD 2，
则 BD BC CD BC 2 CA BC 2 BA 1 BC BC 2 BA，
3 3 3 3
2
BD 1
2
BC 4
2
有 BC BA 4 BA ，
9 9 9
4 1 4 a 2 ac cosB 4 c 2 1 a 2 2 ac 4 c 2 36 a 2可得 ，即 4c 2 2ac，
9 9 9 9 9 9
36 a 2 c 2 ac
由 ，解得 a c 2 3 ，
36 a
2 4c 2 2ac
ABC 1 1 3∴ 的面积为 S ABC ac sin B 2 3 2 3 3 3 .2 2 2
四、解答题
a 2 3x 2 4ax a 2 3x a x a
15.解：（1）由已知 f x 3x 4a
x x x
令 f x 0得 x a或 x a ，
3
当 a 1时，令 f x 0得0 1 x 或 x 1，令 f x 0 1 得 x 1，
3 3
f x 0 1 1 故函数 在 ， 上单调递增，在 ，1 上单调递减，在 1， 上单调递增，
3 3
此时函数 f x x 1在 处取得极大值，在 x 1处取得极小值，
3
与函数 f x 在 x 1处取得极大值不符；
a
当 1，即 a 3时，令 f x 0得0 x 1或 x 3，令 f x 0得1 x 3，
3
故函数 f x 在 ，1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，在 3， 上单调递增，
此时函数 f x 在 x 1处取得极大值，在 x 3处取得极小值，符合题意；所以， a 3 .
9
f x 3 x 2 12x 9ln x f x 3 x 1 x 3 1（2）由（1）得 ，则 , x
2 x
,e
e
，
令 f x 0 1 ，得 x 1，函数 f x 单调递增，令 f x 0，得1 x e，函数 f x 单调递减，
e
∴ f x max f 1
3
12 21 .
2 2
16.解：（1）解：由频率分布直方图可得 0.0025 0.0075 0.015 2 2a 20 1，解得 a 0.005.
前四个矩形的面积之和为 0.0025 0.0075 2 0.015 20 0.8，
前五个矩形的面积之和为0.8 0.005 20 0.9，
设这 1000 名学生的这次考试数学成绩的第 85 百分位数为m，
则0.8 m 110 0.005 0.85，解得m 120，
因此，这 1000 名学生的这次考试数学成绩的第 85 百分位数为 120.
（2）数学成绩位于 50,70 、 70,90 的学生人数之比为0.0075 : 0.015 1: 2，
1
∴所抽取的 9 人中，数学成绩位于 50,70 的学生人数为9 3，
3
数学成绩位于 70,90 2的学生人数为9 6人，
3
由题意可知，随机变量 X 的可能取值有0、1、2、3，
3 2 1
C3 1 C C 3 C
1C 2 C 3
则 P X 0 15 5 3 ； P X 1 3 63 ； P X 2 3 6 6C 3 ； P
X 3 3 ，
9 84 C9 14 C9 28 C9 21
∴随机变量 X 的分布列如下表所示：
1 3
所以， E X 0 1 2 15 3 5 2 .
84 14 28 21
17.解：（1）根据题意可得 F 为 BC中点，∴FC 1，CD 2， BCD ，
2
易知 BE 1，BC 2，BE∥CD， EBC ，
2
∴ EBC≌ FCD，可得 ECB FDC，
易知 DFC FDC 90 ，∴ DFC ECB 90 ，即DF EC
由 AB BC AC， F 为 BC中点，可得 AF BC，
10
又平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABC∩平面 BCDE BC， ∴ AF ⊥平面 BCDE，
又 EC 平面 BCDE，∴ AF EC
又 AF DF F， AF，DF 平面 ADF ，
∴ EC⊥平面 ADF，又 EC 平面 AEC，因此平面 AEC⊥平面 ADF
（2）以 F 为坐标原点，分别以FA ,FC为 x, y轴，过F 点平行于DC 的
直线为 z轴，建立空间直角坐标系 F xyz，
易知 F 0，0，0 ，A 3,0，0 ，D 0，1，2 ，E 0， 1，1 ，
可得 ED 0，2，1 ，AE 3, 1，1 ，FA 3,0，0 ，FD 0，1，2 ，
设平面 AED的一个法向量为m x1 , y1 , z1 ，
m ED 2y1 z1 0
则 ，令 y1 1，则 z1 2, x1 3 ，∴m 3,1, 2 .
m AE 3x1 y1 z1 0
设平面 AFD夹角的一个法向量为 n x2 , y2 , z2 ，
n FA 3x2 0
则 ，解得 x2 0，令 z2 1，则 y2 2，∴ n 0, 2,1 .
n FD y2 2z2 0
cos m,n m n 2 2 10可得 ，
m n 2 2 5 5
AED AFD sin 1 cos 2 m,n 1 2 15设平面 与平面 的夹角为 ，可得 .
5 5
AED AFD 15所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
5
x 22
18.解：（1）设点 P x, y ，则 y 1 22 ，其中 a 1，a
则 PF1 c x, y ,PF2 c x, y ，
2 2
∴ PF PF c x c x y 21 2 x 2 c 2 y 2 x 2 a 2 1 1 x a 1 x 2 22 2 a 2，a a
x 0 2 2故当 时， PF1 PF2 取最小值 2 a 2，可得 a 4，
x 2 2
因此，椭圆C的方程为 y 1.
4
11
（2）设点 A x0 , y0 ，
当直线 AB、AD的斜率都存在时，设直线 AB、AD的斜率分别为 k1，k2 ，
设过点 A且斜率存在的直线的方程为 y y0 k x x0 ，即 y kx y0 kx0 ，
y kx y kx
0 0
2
联立 x 2 可得 4k 1 x 2 8k y0 kx0 x 4 y0 kx 4 4 0，2 0
y 1 4
2
则 64k y0 kx 20 16 4k 2 1 y0 kx 40 1 0，
2 2
整理可得 y0 kx0 4k 1 0，即 x 20 4 k 2 2kx0 y0 y 20 1 0，
2 2 2
则 k1，k2 是关于 k的方程 x0 4 k 2kx0 y0 y0 1 0的两根，
y 2 1
∵ AB AD，则 k 01k2 2 1 x
2 2
，整理可得 0 y0 5 .x0 4
当 AB、AD 2 2分别与两坐标轴垂直时，则 A 2， 1 ，满足 x0 y0 5
∴点 A 2 2的轨迹方程为 x y 5，
由对称性可知，矩形 ABCD 2 2的四个顶点都在圆 x y 5，该圆的半径为 5，
2 2 2
由勾股定理可得 AB AD 2 5 20，
2 2
由基本不等式可得 20 AB AD 2 AB AD ，即 AB AD 10，
AB AD
当且仅当 2 2 时，即当 AB AD 10时，等号成立，
AB AD 20
故 S AB AD 10，即矩形 ABCD的面积的最大值为10.
a n3 a a a n 1 3 n3 219.解：（1）∵ n ，∴ n n 1 n 3n 3n 1，
∵ a1 7， a2 19， a3 37，∴ a2 a1 12， a3 a2 18，
显然， a2 a1 a3 a2，∴ an 不是等差数列.
2a a 2 2 2∵ n n 1 an 6n 6，则 an 1 an 6， a1 12，
2
∴ an 是首项为 12，公差为 6的等差数列.
（2）∵数列 log a bn 是以 1 为为公差的等差数列，
12
b
∴ log a b
n 1
n 1 log a bn 1，故 a，bn
∴数列 b n 1n 是以公比为 a的正项等比数列，bn b1a ，
2
∴ bn bn 1 bn bn 2 bn 1 bn 1 bn bn 2 2bn 1 bn ，
n N * m N * 2b b n 1 n n 1 m 1且对任意的 ，都存在 ，使得 n m，即b1a 2b1a b1a b1a ，
∴ a 1 2 am n ，∵ a 2，∴m n 0，
2 3 5 3 5
①若m n 1，则 a 3a 1 0，解得 a （舍）或 a ，
2 2
a 3 5即当 时，对任意的 n N * m N * 2，都存在 ，使得 bn bm b2 n 1
.
m n 2 am n②若 ，则 a 2 a 1 2 * * 2，对任意的 n N ，不存在m N ，使得 bn bm .
3 5
综上所述： a .
2
（3）∵ cn 为常数列，则 cn 是等差数列，设 cn 的公差为 d ，则 cn c1 n 1 d ，
若 d 0，则 cn cm，与题意不符；
d 0 n 1 c若 ，∴当 1 时， cn 0，d
与数列 cn 的各项均为正数矛盾，∴ d 0，
d 2 d
由等差数列前 n项和公式可得 Sn n c n，2 1 2
S S d n 2 m 2 c d∴ n m n m ，2 1 2
m n 2t S d n m
2
d n m
∵ ，∴ t
c ，
2 2 1 2 2
n 2 m 2m n n m
2
∵ ，故 ，
2 2
13
S S d d d n m
2 d
∴ n m n 2 m 2 c 1 n m c1 n m 2S t .2 2 2 2 2
则当 2时，不等式 Sn Sm S t恒成立，
*
另一方面，当 2时，令m t 1，n t 1，n N ，t 2，
S S d 2t 2则 n m 2 2t c d d ，S t 2 c d t，2 1 2 t 2 1 2
S S S d t 2 d d d c 则 t n m 1 t 2t 2 2 2t c1 2 2 2 2
d d t 2 t 2 c1t d ，
2
d
∵ d 0, t 2 t 0，
2
d
当 t 时， S 2 c t Sn Sm 0，即 Sn Sm S t ，不满足不等式 Sn Sm S t恒成立，1
综上， 的最大值为 2.
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