成都外国语学校高一下第一次月考
数学试卷
一 单选题（共8个小题，每小题5分）
1. 函数是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，即可判断.
【详解】函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数.
故选：A
2. sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（ ）
A. B. － C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两角差的正弦公式可得答案.
【详解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=.
故选：A.
3. 若向量满足与的夹角为，则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义，即可求解.
【详解】由向量数量积的定义可知，.
故选：A
4. 在中，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的减法法则，结合题中等式得，化简可得，得到本题答案．
【详解】解：，
由已知，得
化简
故选：．
【点睛】本题给出中，点是边的一个三等分点，求向量关于、的表示式，着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．
5. 设是方程的两个根，则的值为
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A.
考点：两角和与差的正切函数公式
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．
6. 函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平移得到的解析式，根据为偶函数，可知，在范围内求解即可得到答案.
【详解】由题意知的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
因为为偶函数，所以，所以，，
又因为，所以．
答案：B
7. 已知函数在上恰有4个零点，则正整数的值为（ ）
A. 2或3 B. 3或4 C. 4或5 D. 5或6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的图象特征及周期性，得到求解.
【详解】因为函数在上恰有4个零点，
所以，
解得，
所以正整数的值为4或5.
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8. 如图，在中，点D在线段BC上，且满足，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若，，则（ ）
A. 是定值，定值为2 B. 是定值，定值为3
C. 是定值，定值为2 D. 是定值，定值为3
【答案】D
【解析】
【分析】
过点C作CE平行于MN交AB于点E，结合题设条件和三角形相似可得出，再根据可得，整理可得，最后选出正确答案即可.
【详解】如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E，由可得，所以，由可得，所以，因为，所以，
整理可得.
故选：D.
【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二 多选题（共四个小题，每小题5分，漏选得2分，错选不得分）
9. 下列能使成立的是（ ）
A. B. C. 与方向相反 D. 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据向量共线的定义判断可得；
【详解】解：对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.
故选：
【点睛】本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题.
10. 已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.
【详解】函数，最小正周期，A选项正确；
由，解得函数的图象的对称轴方程为，
当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；
时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选：AD
11. 如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）．
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果.
【详解】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），
向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．
各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．
故选：AC
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题.
12. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在上的投影向量等于.
C.
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.
【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以三点共线，且，
所以，，所以，故A正确；
B.在上的投影向量等于，故B错误；
C.如图，因为，所以,
即，即,
因为点是的重心，，故C正确；
D. 取的中点，连结，取中点，则，，
,
则，
,
显然当重合时，，取最小值，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.
三 填空题（共四个小题，每小题5分）
13. 化简：___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的加减运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：．
14. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15. 已知，则的值为____
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角正弦公式、同角三角函数商数关系，结合已知求目标式三角函数式的值即可.
【详解】由，而.
故答案为：．
16. 已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
【详解】作出在上的图象（如图所示）
因为，，
所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，
由，得，
则，，，；
当的图象与直线相交时，
设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，
由，得，
则，，；
所以.
故答案为：.
四 解答题（共6个小题，共70分）
17. 已知，是两个不共线的向量.
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若和共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明；
（2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值.
【小问1详解】
，
又，
，，又，
A，B，D三点共线；
【小问2详解】
向量和共线，
存在实数使，
又，是不共线，，
解得.
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值，并求出取最大值时的值.
【答案】（1）
（2）当，时，
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再代入周期公式；
（2）根据（1）的结果，再代入函数的最值公式，即可求解.
【小问1详解】
因
故最小正周期，
【小问2详解】
令，得，时，.
19. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
20. 如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；
（1）用来表示向量，；
（2）若，且求；
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）将作为基底，运用平面向量基本定理求解即可；
（2）由（1）及已知条件可得，再将平方后即可得解.
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，，
∴，
；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵且，∴，
21. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化简函数的解析式，再代入正弦函数的单调递增区间，即可求解；
（2）首先代入（1）的结果有，再求，再根据三角函数角的变换，展开后即可求解.
小问1详解】
因为，
由得：
故的单调增区间为.
【小问2详解】
因为，即
所以，
所以
22. 函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式；
（2）依题意可得，由的取值范围求出的范围，由的范围求出的范围，依题意可得，即可得到关于的不等式组，解得即可.
【小问1详解】
由函数图像可知，，
又，，所以，解得，
，当时，，
，所以，又，所以，
，
所以，
再将函数的图像向右平移个单位得到.
【小问2详解】
由，得，
由得，，
，
又，得，所以，
又在上单调递减，在上单调递增，，，
由的唯一性可得即.
依题意可得，
所以，解得，
所以当时，使成立.成都外国语学校高一下第一次月考
数学试卷
一 单选题（共8个小题，每小题5分）
1. 函数是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
2. sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（ ）
A. B. － C. D.
3. 若向量满足与的夹角为，则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在中，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 设是方程的两个根，则的值为
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
6. 函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上恰有4个零点，则正整数的值为（ ）
A. 2或3 B. 3或4 C. 4或5 D. 5或6
8. 如图，在中，点D在线段BC上，且满足，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若，，则（ ）
A. 是定值，定值为2 B. 是定值，定值为3
C. 是定值，定值为2 D. 是定值，定值为3
二 多选题（共四个小题，每小题5分，漏选得2分，错选不得分）
9. 下列能使成立的是（ ）
A. B. C. 与方向相反 D. 或
10. 已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增
11. 如图是函数在区间上图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）．
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到原来的，纵坐标不变
C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
12. 是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在上的投影向量等于.
C
D. 的最小值为
三 填空题（共四个小题，每小题5分）
13. 化简：___________．
14. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
15. 已知，则的值为____
16. 已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
四 解答题（共6个小题，共70分）
17. 已知，是两个不共线的向量.
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若和共线，求实数的值．
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值，并求出取最大值时的值.
19. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β值．
20. 如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；
（1）用来表示向量，；
（2）若，且求；
21. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值.
22. 函数（其中）部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.
