2024年中考第一次模拟考试
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数是( )
A. 7 B. -7 C. D.
2. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，与“瞰”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 魅 B. 力 C. 山 D. 西
3. 将一把直尺和一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校按照《山西省教育厅关于组织开展2024年全省教育系统“爱眼护眼从我做起”主题系列活动的通知》积极开展了校园板报评比活动，宣传有益的经验做法，营造健康、积极的用眼护眼氛围．七年级（1）班8个小组在此次评比中的得分（单位：分）分别为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分
6. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，点在上．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
12. 某校组织“用勤劳的双手，打造温馨的家”主题教育活动．实践小组对七年级学生每周做家务的时长（单位：小时）进行了随机问卷调查（．；．；．；．；E．），所有问卷都有效且全部收回，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为______．
13. 如图，小宇为了测量树的高度，在距离点的地面上放置一个高度为的支架，并在支架上水平放置一平面镜，当他与镜子的距离为时，刚好能从镜子中看到树的顶端．已知小宇的眼睛到地面的高度为于点，于点，于点，点，，，，，在同一竖直平面内，则树的高度为_____．
14. 如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为______．
15. 如图，在正方形中，点为的中点，点在的延长线上，与相交于点，若，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）解不等式：；
（2）化简：．
17. 为全力做好2024年春运期间新能源汽车充电服务，国网山西电动汽车启动节日保障模式：24小时服务高速充电站．张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：
①该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
②购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了18万元；
③已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价少万元．
求甲、乙两种型号充电桩的单价．
18. 如图，在中，平分．
（1）作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
19. 截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．
（1）把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；
（2）把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．
20. 请阅读下面材料，并完成相应的任务．
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算：．
观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算，
为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式
．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，
任务：
（1）请仿照上述方法计算：；
（2）请认真观察，计算：．
21. 某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处距离，并形成了如下实践活动记录表：
实践活动记录表
活动内容 测量湖边两处的距离
成员 组长：×× 组员：××× ××× ××× ×××
工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置，可测量处到两处的距离，利用测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
… …
该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出两处的距离，并写出了以下问题，请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答．
如图，在中，， ．求湖边两处的距离．（结果保留整数；）
22. 综合与实践
数学课上，老师以“矩形折叠”为主题开展活动．
实践操作：
现有一张矩形纸片．
第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接．
第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平．
问题解决：
（1）的长为 ；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
拓展探索：
（3）若，求的长．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴与轴于点，过点作交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）点为抛物线上第四象限的一个动点，过点作轴于点，当时，求的长；
（3）在（）的条件下，若点是轴上一点，则平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2024年中考第一次模拟考试
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数是( )
A. 7 B. -7 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】解：的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，与“瞰”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 魅 B. 力 C. 山 D. 西
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图．
【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知，
与“瞰”字所在面相对面上的汉字是“力”，
故选：．
3. 将一把直尺和一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键．先根据平行线的性质得出，再通过角的计算即可求出答案．
【详解】解：∵
∴
∵，，
∴．
∴．
故选:．
4. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程．
【详解】解：
，
，
故选：．
5. 某校按照《山西省教育厅关于组织开展2024年全省教育系统“爱眼护眼从我做起”主题系列活动的通知》积极开展了校园板报评比活动，宣传有益的经验做法，营造健康、积极的用眼护眼氛围．七年级（1）班8个小组在此次评比中的得分（单位：分）分别为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：解：这组数据从小到大排序为：，，，，，，，，
其中91出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数为91；
这组数据最中间2个数为，，所以这组数据的中位数是．
故选：B．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的加法，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握分式的加法，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后计算分式的加法即可．
【详解】解：
，
故选：C．
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．设共有人，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得车有辆， 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得车有辆， 从而可得答案．
【详解】解：设共有人，
则，
故选：A．
8. 如图，在中，点在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则有，再根据角度和差得到，在通过圆周角定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及应用．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，数形结合是解题的关键．
由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点，则，，，进而可判断A、B、D的正误；由图象知，当时，，进而可判断C的正误．
【详解】解：由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点，
∴，，，
∴，，A、B错误，故不符合要求，D正确，故符合要求；
由图象知，当时，，C错误，故不符合要求；
故选：D．
10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用平方差公式和二次根式的运算法则计算即可.
【详解】解：原式.
故答案为6．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算和平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
12. 某校组织“用勤劳的双手，打造温馨的家”主题教育活动．实践小组对七年级学生每周做家务的时长（单位：小时）进行了随机问卷调查（．；．；．；．；E．），所有问卷都有效且全部收回，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，用的人数除以它的百分比即可得到总人数，用所占总体的比例乘以即可得到“”所在的扇形的圆心角的度数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
【详解】解：这次活动共调查的人数为：（人），
∴“”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：．
13. 如图，小宇为了测量树的高度，在距离点的地面上放置一个高度为的支架，并在支架上水平放置一平面镜，当他与镜子的距离为时，刚好能从镜子中看到树的顶端．已知小宇的眼睛到地面的高度为于点，于点，于点，点，，，，，在同一竖直平面内，则树的高度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形性质的应用，过作，交于，交于点，证明，再根据性质即可求解，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
【详解】如图，过作，交于，交于点，
∴，，，
∴四边形，，为矩形，
∴，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴树的高度为，
故答案为：．
14. 如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于点，先求出、两点的坐标，故可得出，，再根据定理得出可得出的长，进而得出点坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可．
详解】解：作轴于点．
在，令，则，即，
令，则，即，则，，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
在与中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数（）的图象上，
∴，解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15. 如图，在正方形中，点为的中点，点在的延长线上，与相交于点，若，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，连接，过作交延长线于点，证明，，然后利用性质即可求解，熟练掌握知识点的应用及利用参数建立方程是解题的关键．
【详解】连接，过作交延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴由勾股定理得，
在中，，
设，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）解不等式：；
（2）化简：．
【答案】（）（）
【解析】
【分析】（）利用解不等式的解法即可；
（）先计算括号内的多项式乘以单项式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式即可求解；
本题考查了解不等式和整式的运算，解题的关键是熟练掌握不等式的解法及熟知相关计算法则．
【详解】解：（）
，
，
，
，
；
（）原式，
，
．
17. 为全力做好2024年春运期间新能源汽车充电服务，国网山西电动汽车启动节日保障模式：24小时服务高速充电站．张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：
①该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
②购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了18万元；
③已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价少万元．
求甲、乙两种型号充电桩的单价．
【答案】甲型充电桩的单价为0.8万元，则乙型充电桩的单价为万元.
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设乙型充电桩的单价为万元，则甲型充电桩的单价为万元，利用数量=总价÷单价，结合用12万元购买甲型充电桩与用18万元购买乙型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙型充电桩的单价，再将其代入中，即可求出甲型充电桩的单价．
【详解】解：设乙型充电桩的单价为万元，则甲型充电桩的单价为万元.
由由题意得：
解得
经检验：是原分式方程的解，.
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，则乙型充电桩的单价为万元.
18. 如图，在中，平分．
（1）作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，点即为所求；
（2）证明，则，，由，可得，则，，进而可证．
【小问1详解】
解：如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，则，点即为所求；
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键．
19. 截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．
（1）把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；
（2）把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．
【答案】（1）;
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）根据题意列表可得共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一景点的结果有4种，进而由概率公式求解即可；
（2）根据题意列表可得共有12种等可能的结果，其中两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的结果有2种，进而由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：列表如下：
所有等可能的情况数为16种，两人抽到同一景点的结果有4种，
所以两人抽到同一景点的概率为.
【小问2详解】
列表如下：
所有等可能的情况数为12种，其中小宇和妹妹两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的的结果有2种，
∴两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的的概率为.
20. 请阅读下面材料，并完成相应的任务．
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算：．
观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算，
为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式
．
以上计算关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，
任务：
（1）请仿照上述方法计算：；
（2）请认真观察，计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）将2转化成后，利用平方差公式和题中的规律计算即可得到结果；
（2）首先根据平方差公式计算，然后计算括号内，然后计算有理数的乘法求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
21. 某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处的距离，并形成了如下实践活动记录表：
实践活动记录表
活动内容 测量湖边两处的距离
成员 组长：×× 组员：××× ××× ××× ×××
工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置，可测量处到两处的距离，利用测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
… …
该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出两处的距离，并写出了以下问题，请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答．
如图，在中，， ．求湖边两处的距离．（结果保留整数；）
【答案】，湖边两处的距离为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
选米，如图1，作于，则，，，然后根据，计算求解即可；
选米，如图1，则，，，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：选米，
如图1，作于，
图1
∵，
∴，
∴，，
∴（米），
∴湖边两处的距离为米．
选米，
如图1，
∴，，，
∴（米），
∴湖边两处的距离为米．
22. 综合与实践
数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动．
实践操作：
现有一张矩形纸片．
第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接．
第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平．
问题解决：
（1）的长为 ；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
拓展探索：
（3）若，求的长．
【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可知，，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）由折叠的性质可知，，，证明是等腰三角形，，进而可证四边形是菱形；
（3）如图，连接，作于，则四边形是矩形，则，是线段的中点，，证明，则，，由折叠的性质可知，，则，，设，则，，，由，可得，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解，进而可求的长．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：3；
（2）解：四边形是菱形，理由如下；
由折叠的性质可知，，，
又∵，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，连接，作于，则四边形是矩形，
∴，
由题意知，是线段的中点，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴与轴于点，过点作交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）点为抛物线上第四象限的一个动点，过点作轴于点，当时，求的长；
（3）在（）的条件下，若点是轴上一点，则平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）令，得，从而得点坐标，当时，，解得或，从而即可求得、的坐标；
（2）设，由，构造方程．求得或（舍去），从而求得，再利用一次函数的性质求的点，利用勾股定理即可得解；
（3）分是矩形的边和是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图像及性质及平移的性质求解即可．
【小问1详解】
解：中，令，得，
∴点坐标为，
当时，，解得或，
∴，；
【小问2详解】
解∶设，
∵，
∴，，
∵，
∴．
解得或（舍去），
当时，，
∴，
设直线：，
把，代入得，
，
解得，
∴直线：，
∵，
∴设：，
∵，
∴抛物线对称轴为，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：存在一点，使以为顶点的四边形是矩形．点的坐标为或．
（ⅰ）当是矩形的边时，有两种情形：
①如解图①，四边形是矩形时，直线与轴交于点，
由（）可知，代入中，得，
∴直线的表达式为．
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即
∴，
∴．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
∴，即；
②如解图②，四边形是矩形时，
∵直线的表达式为，，
∴设直线的表达式为，
将代入，得，
∴直线的表达式为．
令，得，
∴．
根据矩形的性质可知，将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
∴，即．
（ⅱ）当是对角线时，设，
∵，，
则，，，
∵是直角顶点，
∴，即
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数性质，待定系数法求一次函数及一次函数的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键．
