2023-2024学年度上学期期末学业水平质量调研试题
九年级数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标 D．与轴交点坐标
3．反比例函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有一个白球 B．至少有一个黑球
C．至少有两个黑球 D．至少有两个白球
5．下列一元二次方程中，能求出实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果、是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
7．如图，、分别切于点、，点在上，若四边形为菱形，则为（ ）
第7题图
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接、．若的面积为6，则的值是（ ）
第8题图
A．6 B． C．12 D．
9．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
主视图 左视图 俯视图
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图，绕点顺时针旋转40°得到，若，则的度数是（ ）
第10题图
A．45° B．50° C．55° D．60°
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的点上，、相交于点，则的值为（ ）
第11题图
A． B． C． D．
12．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，可以判定与相似的是（ ）
第12题图
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．从一副扑克牌中抽出三张分别为J，Q，K的扑克牌．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下扑克牌上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张扑克牌上的字母相同的概率是______．
14．已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是______．
15．如图，以点为位似中心，将缩小后得到，若，则与的面积比为______．
第15题图
16．如图，已知点、是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
第16题图
三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，已知点的坐标分别为．
第18题图
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请求出不等式的解集．
19．（8分）快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 8 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.9 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的______；______（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
20．（10分）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
第20题图
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
21．（10分）图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
图1 图2
第21题图
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
第22题图
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．
23．（12分）综合与实践
问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求出线段的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，求出线段的长．
第23题图
2023-2024学年度上学期期末学业水平质量调研试题
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B A B C D D C A B
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13． 14．且 15． 16．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）计算：
（1）；
解：或．
（2）．
解：原式．
18．（8分）
解：（1）把点代入直线得：，
解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
（2）联立和得，
解得，，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为：或．
19．（8分）
解：（1）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 8 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8、8，
所以中位数．
，
，
，
故答案为：8，＜；
（2）小刘应选择甲公司（答案不唯一），
理由如下：
配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
甲更稳定，
小刘应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
20．（10分）
解：（1）连接，
第20（1）题图
是的直径，，即，
平分，，
，，
，，
，，
是的半径，是的切线．
（2）设的半径为，则有，
在中，，
，解得．
的半径为6．
21．（10分）
解：如图2，过点作于点，过点作于点．
图2
米，米，米，
米，米，
，
，
，四边形为矩形，
米．
在中，米；
遮阳伞影子中的长度为2.5米．
22．（12分）
解：（1）把，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）设直线解析式为，把，代入得：
，解得，
直线解析式为，
设，则，
在中，令得，
，
，
，
，当时，取最大值，
此时，；
答：的最大值为，此时点的坐标是；
23．（12分）
解：（1）四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，，
，，
，
四边形是矩形；
（2）如图②，过点作于，
图②
，，，
，
点是的中点，，
，
，，
，，
又，，
，，
；
（3）如图③，连接，，过点作于，
图③
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
