山阳县2024年初中学业水平模拟考试（一）
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，即可得出答案．
【详解】解：的算术平方根是：．
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2. 如图，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂直的性质和平行线的性质，先利用垂直性质求度数，再利用平行线性质求度数，熟练掌握平行线的性质是解题关键.
【详解】如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式的除法运算即可．
【详解】解：；
故选A
4. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：，，，
，，
，
，
，，
是的中位线，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5. 把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数平移规律及函数图像上点满足函数解析式，解题的关键是得到平移后的函数；
根据函数平移规律上加下减，左加右减求出新函数，逐个选项代入判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，平移后函数为：，
当时，，故A不符合题意，
当时，，故B符合题意，D符合题意，
当时，，故C不符合题意，
故选：D．
6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
7. 一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是一个圆，如图所示，点为弦的中点，点是的中点，，杯内水面宽，则该截面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：连接并延长，交圆于点，，，
∵，C为弦中点，
∴，，
∴平分，
∵为的中点，
∴点重合，
∴三点共线，
设圆的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：；
故选B．
8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线y＝﹣x2+4x+2m，得到顶点坐标为（2，2m+4），根据两条抛物线关于x轴对称，得到另一条抛物线顶点坐标为（2，﹣2m﹣4），根据两顶点相距6个单位长度，得到关于m的绝对值方程，解方程即可．
【详解】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，
∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），
∴关于x轴对称的抛物线的顶点
∵它们顶点相距6个单位长度．
∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，
∴4m+8＝±6，
当4m+8＝6时，m＝，
当4m+8＝﹣6时，m＝，
∴m的值是或．
故选：D．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，轴对称，坐标系内线段的表示，根据题意得到关于m的绝对值方程是解题关键．
第二部分（选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 比较大小：___________4（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】被开方数越大，则这个实数越大，据此即可作答．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，属于基础题，细心计算是解答本题的关键．
10. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______．
【答案】84°
【解析】
【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【详解】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：84°．
【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
11. 如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，黄金分割，依据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】∵
∴
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可．
【详解】解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，在轴上，，
，，
，
，
故答案为：．
13. 如图，正方形边长为，点在线段上，以为边构造正方形，使点在的延长线上，连接，取的中点，连接．当点在边上运动不含，时，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理；连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，，根据正方形的性质先证点、、、在一条直线上，再证是的中位线，并推出当时，最小，根据正方形的性质得出，故点与点重合，求出对角线的长，即可得出的长，于是得出的长，再根据正方形的性质证，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，，
四边形是正方形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
点、、、一条直线上，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，
即当时，最小，
，
点与点重合时，最小，
正方形的边长为，
，，，
由勾股定理得
，
，
四边形是正方形，
，
点是的中点，
，
点在的垂直平分线上，
四边形是正方形，
点也在的垂直平分线上，
，
，
即的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂、实数的混合运算；原式先算乘方，绝对值和零指数幂，再算加减即即可求解．
【详解】解：
.
15. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组；先分别解两个不等式得到和，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得，
故原分式方程的解为．
17. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．保留作图痕迹，不写作法
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质，分别作和的平分线，交点即为点．
【详解】解：如图，分别作和的平分线，相交于点，
则点到边，，的距离均相等，
即点为所求．
18. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，根据等腰三角形性质和三角形外角性质得到，证明，利用全等三角形的性质即可解题．
【详解】证明：在中，，
，
，，
，
，
，
．
19. 3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数．
【答案】应调往甲处人
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应调往甲处人，调往乙处人，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：设应调往甲处人，调往乙处人，根据题意列方程得
，
解得，
答：应调往甲处人．
20. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率；
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；
【小问2详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
21. 数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼的高度
测量方案示意图
测得数据 ，，
说明 图上所有点均在同一平面内
参考数据 ，，， ，，
请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数）
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】根据题意得：四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为．
22. 能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验，发现汽车剩余电量Q（）是汽车行驶路程s（）的一次函数，试验数据记录如下．
汽车行驶路程s/ 0 50 100 150 200 …
汽车剩余电量Q/ 80 71.5 63 54.5 46 …
（1）根据表中的数据，求Q与s之间的函数表达式；
（2）当汽车剩余电量为39.2 时，若以75的速度匀速行驶，该汽车最多还能行驶多长时间？
【答案】（1）Q与s之间的函数表达式为
（2）该汽车最多还能行驶
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法求函数的关系式，以及根据关系式求值，熟练掌握关系式的确定，准确根据函数值，计算自变量的值是解题的关键．
（1）设Q与s之间的函数表达式为，根据表中数据利用待定系数法求一次函数解析式，即可解题；
（2）根据解析式算出当汽车剩余电量为39.2 时的路程，再根据时间、路程、速度之间的关系求解即可．
【小问1详解】
解：设Q与s之间的函数表达式为，
根据表中数据可得，，
解得，
Q与s之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，有，
解得，
汽车以75的速度匀速行驶，
汽车行驶时间为：（），
答：该汽车最多还能行驶．
23. 国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并填空：______，______；
（2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
（3）这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
【答案】（1），
（2），
（3）人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体，
（1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，根据总人数和等级的人数即可求出的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）用乘以等级所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
；
故答案为：，；
【小问2详解】
B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5，
成绩出现次数最多的是，因此众数是，
故答案为：，；
【小问3详解】
（人），
答：估计成绩能达到等级的学生人数有人
24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可；
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，可得，用勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质，可得，可证明，通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是切线；
【小问2详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
25. 如图①，某公园在人园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图②所示的平面直角坐标系．设拱门上的点距地面的竖直高度为（单位：）与水平距离（单位：）．
（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
竖直高度y/m
根据上述数据，求出拱门所在抛物线的函数表达式：
（2）一段时间后，公园重新维修拱门，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系式，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，试说明与之间的大小关系．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，
（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
【小问2详解】
解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
26. 【问题提出】
（1）如图①，将绕点逆时针旋转得，连接，，根据条件填空：
①的度数为______；②若，则的值为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，，沿边翻折得到，点的对应点为点，点，分别在，边上，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③是公园人工湖的平面示意图，现要在人工湖对角线上架一座人行景观桥，但由于年代久远，人工湖规划书上只留下以下数据，，，，，且，求对角线的长．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质，得到，得到，②利用特殊角的三角函数值求的值即可．
（2）延长到点G，使，证明，得到，证明，得到，即可；
（3）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可．
【详解】（1）∵绕点A逆时针旋转得，
∴，
∴，
故答案为：．
②∵绕点A逆时针旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）延长到点G，使，
在中，，沿边翻折得到，点的对应点为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
即；
（3）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接．
则：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形．山阳县2024年初中学业水平模拟考试（一）
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，，，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
3. 计算：（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则为（ ）
A B. C. D.
5. 把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
7. 一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是一个圆，如图所示，点为弦的中点，点是的中点，，杯内水面宽，则该截面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（ ）
A B. C. 1 D. 或
第二部分（选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 比较大小：___________4（填“”、“”或“”）．
10. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______．
11. 如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为，则k的值为______．
13. 如图，正方形的边长为，点在线段上，以为边构造正方形，使点在的延长线上，连接，取的中点，连接．当点在边上运动不含，时，的最小值为______．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解不等式组： ．
16. 解方程：．
17. 如图，在四边形中，，．请用尺规作图法，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．保留作图痕迹，不写作法
18. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：．
19. 3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数．
20. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
21. 数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼的高度
测量方案示意图
测得数据 ，，
说明 图上所有点均在同一平面内
参考数据 ，，， ，，
请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数）
22. 能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验，发现汽车剩余电量Q（）是汽车行驶路程s（）的一次函数，试验数据记录如下．
汽车行驶路程s/ 0 50 100 150 200 …
汽车剩余电量Q/ 80 71.5 63 54.5 46 …
（1）根据表中数据，求Q与s之间的函数表达式；
（2）当汽车剩余电量为39.2 时，若以75的速度匀速行驶，该汽车最多还能行驶多长时间？
23. 国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并填空：______，______；
（2）抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
（3）这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
25. 如图①，某公园在人园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图②所示的平面直角坐标系．设拱门上的点距地面的竖直高度为（单位：）与水平距离（单位：）．
（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
竖直高度y/m
根据上述数据，求出拱门所在抛物线的函数表达式：
（2）一段时间后，公园重新维修拱门，新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系式，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，试说明与之间的大小关系．
26. 【问题提出】
（1）如图①，将绕点逆时针旋转得，连接，，根据条件填空：
①的度数为______；②若，则的值为______；
【问题探究】
（2）如图②，在中，，沿边翻折得到，点的对应点为点，点，分别在，边上，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③是公园人工湖的平面示意图，现要在人工湖对角线上架一座人行景观桥，但由于年代久远，人工湖规划书上只留下以下数据，，，，，且，求对角线的长．
