第七章 统计案例
§1 一元线性回归
1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程
基础过关练
题组一 线性回归的相关概念的理解
1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
2.(2024江西乐平中学月考)两个变量x与y之间的回归方程( )
A.表示x与y之间的函数关系
B.表示x与y之间的不确定关系
C.反映x与y之间的真实关系
D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
3.(2023河南济源英才学校期末)下列两个变量中能够具有相关关系的是( )
A.人所站的高度与视野
B.人眼的近视程度与身高
C.正方体的体积与棱长
D.某同学的学籍号与考试成绩
题组二 线性回归方程及其应用
4.(2024河北保定部分高中联考)根据下表中的数据,用最小二乘法得到y与x的线性回归方程为=14x-14,则表中n的值为( )
x 2 3 4 5 6
y 20 n 40 60 70
A.15.5 B.20 C.20.5 D.25
5.某地区调查了2~9岁儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归方程为=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )
A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm
B.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm
C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm
D.利用这个模型可以准确计算该地区每个2~9岁儿童的身高
6.(2023上海中学期中)已知x与y之间的几组数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归方程为,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则下列结论正确的是( )
A.>a' B.
8.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3 246],船员的人数区间为[5,32],由船员人数y关于吨位x的回归分析得到=9.5+0.006 2x,假定2艘轮船的吨位相差1 000 t,则船员的平均人数相差 ,估计最小的船的船员人数是 ,最大的船的船员人数是 .
9.(2024山东青岛期初调研检测)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其线性回归方程为,已知yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为 厘米.
10.(2024河南光山第二高级中学阶段测试)销售费用预算是以销售收入预算为基础,通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系,力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示,某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的8%~10%为合理区间,当年销售费用超出年销售收入的10%时,说明企业的销售环节出现一定的问题,需要加强销售管理.该企业的年销售费用x(单位:千万元)和年销售收入y(单位:千万元)的相关数据如下表所示:
2018 2019 2020 2021 2022 2023
x 3 5 6 8 9 11
y 31 50 54 86 85 114
(1)通过数据分析,该企业的年销售费用x与年销售收入y之间符合线性相关关系,求出线性回归方程;
(2)若该企业2024年预算年销售费用为12千万元,试预测2024年的年销售收入,并判断2024年的年销售费用预测值是否在合理区间内.(精确到0.01千万元)
参考数据:xiyi=3 374.
参考公式:中,.
11.(2022河南商丘月考)一台还可以用的机器由于使用的时间较长,按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零件的数量随机器转速的变化而变化,下表为抽样试验结果:
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺陷 零件的数量y(个) 11 9 8 5
(1)画出散点图;
(2)如果变量x和y线性相关,求y关于x的线性回归方程;
(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多有10个,则机器的转速应控制在什么范围内
附:线性回归方程中,.
能力提升练
题组 线性回归模型的综合应用
1.(2022广西玉林期中)某公司为了增加某种商品的销售利润,调查并统计了该商品投入的广告费用x与销售利润y的相关数据,如下表:
广告费用x/万元 2 3 5 6
销售利润y/万元 5 7 9 11
由表中数据得回归直线l的方程为,则下列结论错误的是( )
A.>0 B.>0
C.直线l过点(4,8) D.直线l过点(2,5)
2.(2023四川成都玉林中学二诊)某学习小组用计算机软件对一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)进行回归分析,甲同学首先求出线性回归方程=2x+5,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据(3,7)误输成(7,3),数据(4,6)误输成(4,-6),将这两个数据改正后得到线性回归方程x+k,则实数k=( )
A.-6 B.- C. D.
3.某商家对一种新产品进行试销,得到如下数据:
单价x/元 16 16.4 16.8 17.2 17.6 18
销售量y/件 180 168 166 160 150 136
通过绘制散点图,得知y与x具有线性相关关系.若该产品每件成本9元,要使该产品的销售总利润最大,则单价应为 元.(销售总利润=(单价-成本)×销售量)
附:(1)参考公式:回归直线y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估计分别为;
(2)参考数据:xiyi=16 264,=1 736.8.
4.(2024宁夏石嘴山平罗中学月考)某二手汽车经销商对其所经营的某型号二手汽车的使用年数x(0
销售价格y/万元 16 13 9 7 5
(1)根据表中数据,用最小二乘法求y关于x的线性回归方程;
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w(万元)与使用年数x(0
答案与分层梯度式解析
第七章 统计案例
§1 一元线性回归
1.1 直线拟合
1.2 一元线性回归方程
基础过关练
1.B
2.D
3.A 对于A,人所站的高度越高视野越开阔,具有相关关系,故A正确;
对于B,人眼的近视程度与身高不具有相关关系,故B错误;
对于C,正方体的体积与棱长是一种确定关系,故C错误;
对于D,某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系,故D错误.故选A.
4.B 由题表中的数据计算可得,,
因为回归直线=14x-14过点,
所以=14×4-14,解得n=20.
故选B.
5.B 由=8.25x+60.13知=8.25,说明该地区2~9岁的儿童年龄每增加一岁,身高约增加8.25 cm.
故选B.
6.C 由题意得b'=,
∴>a'.故选C.
7.答案 265.7
解析 由题意,0.30x+9.99≥89.7,解得x≥265.7,
故每立方米混凝土的水泥用量最少应为265.7 kg.
8.答案 6;10;29
解析 由线性回归方程知船的吨位每增加1 000 t,人数增加0.006 2×1 000≈6.
令x=192,得=10.690 4,
令x=3 246,得=29.625 2,
又人数为整数,所以估计最小的船的船员人数为10,最大的船的船员人数为29.
9.答案 166
解析 根据题意,得×225=22.5,
×1 600=160,=4,
由点(22.5,160)在回归直线上,
得160=4×22.5+,解得=70,
故=4x+70,
令x=24,得=4×24+70=166,
即该学生身高约为166厘米.
10.解析 (1)由已知得,=70.
又xiyi=3 374,=336,
所以,
所以,
所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的线性回归方程为.
(2)2024年的年销售收入的预测值≈121.67(千万元).因为12÷121.67×100%≈9.9%,所以2024年的年销售费用预测值在合理区间内.
11.解析 (1)画出散点图,如图所示:
(2)由题表中数据易得=660,
∴≈0.728 6,
=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5.
故线性回归方程为=0.728 6x-0.857 5.
(3)要使y≤10,则0.728 6x-0.857 5≤10,即x≤≈14.9.
故机器的转速应不超过14.9转/秒.
能力提升练
1.D 由题表中数据可得×(5+7+9+11)=8,所以直线l经过点(4,8),故C正确;
又)=(-2)×(-3)+(-1)×(-1)+1×1+2×3=14,
)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10,
所以=1.4,故A正确;
=8-1.4×4=2.4,故B正确;
回归直线l的方程为=1.4x+2.4,当x=2时,=1.4×2+2.4=5.2,∴直线l过点(2,5.2),故D错误.
2.D 样本点的中心为(2,m),将其代入=2x+5,可得m=2×2+5=9,
假设甲输入的(x1,y1)为(7,3),(x2,y2)为(4,-6),
则7+4+x3+x4+…+x8=2×8=16,3-6+y3+y4+…+y8=9×8=72,
得x3+x4+…+x8=5,y3+y4+…+y8=75,
改为正确数据后,得3+4+x3+x4+…+x8=12,7+6+y3+y4+…+y8=88,
此时样本点的中心为,将其代入x+k,可得k=11-.故选D.
3.答案 17
解析 ×960=160,
又xiyi=16 264,=1 736.8,
∴=-20,
=160-(-20)×17=500.
∴y关于x的线性回归方程为=-20x+500.
则产品的销售总利润=(x-9)(-20x+500)=-20x2+680x-4 500.
当x==17时,该产品的销售总利润最大.
4.解析 (1)由题表中的数据得,xiyi=2×16+4×13+6×9+8×7+10×5=244,
所以=10+1.4×6=18.4,
所以y关于x的线性回归方程为=-1.4x+18.4.
(2)z=
在z=-0.05x2+0.3x+1.3(0
所以当x=3时,利润z最大,且最大利润是1.75万元.
