2024年春养正中学高一（下）第一次月考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一 单选题：本大题共8小题，共40分.
1. 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知菱形的边长为，，则
A. B. C. D.
5. 设向量，，．若，则与的夹角为（ ）
A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°
6. 在中，若，，其面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中,已知,则此三角形一定为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
8. 扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（ ）
A. 的最小值是1
B. 的最大值是
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
二 多选题：本大题共4小题，共20分.
9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 在中，角所对的边分别为，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（ ）
A. 若，则；
B. 若，则；
C. 若，则这个三角形有两解；
D. 当是钝角三角形.则.
12. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有
A. 若,则点O为重心
B. 若,则点O为的垂心
C. 若,则点O为的外心
D. 若,则点O为的内心
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，是单位向量，，则__________．
14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______；
15. 如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=____.
16. 外接圆半径为1，角的对边分别为若，且，则________；的最大值为_________
四 解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 如图，在中，已知，是边上的一点，，，.
（1）求；
（2）求.
18. 已知复数，其中虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若，求的取值范围.
19. 已知，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数值.
20. 如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．
（1）求的值；
（2）若恒成立，求实数的最小整数值．
21. 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．
（1）若，求护栏长度即的周长；
（2）若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．
22. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求A的值；
（2）若，，当的周长最小时，求的值；
（3）若，，且的面积为，求的长度.2024年春养正中学高一（下）第一次月考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一 单选题：本大题共8小题，共40分.
1. 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】向量相等需要满足：方向相同和长度相等．那么条件，两个非零向量的模相等，不一定方向相同，因此不能推出结论，反之一定成立，因此是条件是结论成立的必要不充分条件，选B
2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.
【详解】.
故选：B.
3. 已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.
【详解】由，可得，
故复数对应的点位于第四象限，
故选：D
4. 已知菱形的边长为，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
考点：向量的数量积的运算.
5. 设向量，，．若，则与的夹角为（ ）
A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，
所以，
故，
故选：D．
6. 在中，若，，其面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，最后利用正弦定理可得出答案.
【详解】由面积公式，
由余弦定理有，
由正弦定理有.
故选：B.
7. 在中,已知,则此三角形一定为
A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将,化简为,即,即可求得答案.
【详解】
故,即
,故此三角形是等腰三角形
故选:C.
【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.
8. 扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（ ）
A. 的最小值是1
B. 的最大值是
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.
【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，其中，，．
因为，
所以，即，
所以．
所以当时，取得最大值，此时点为的中点，
当或时，取得最小值，此时点为或点，故AB正确，
而，，
所以，
．
因为，所以，故，
因此，
所以的取值范围为，故C正确，
，，，
因为，所以,故，
，，所以D错误．
故选：D
二 多选题：本大题共4小题，共20分.
9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.
【详解】对A，∥，不能作为基底；
对B，，与不平行，可以作为基底；
对C，，∥，不能作为基底；
对D，，与不平行，可以作为基底.
故选：AC
10. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：直接求出，即可判断；
对于B：直接求出，即可判断；
对于C：直接求出，即可判断；
对于D：直接求出，即可判断.
【详解】对于A：因为复数，所以.故A正确；
对于B：因为复数，所以.故B错误；
对于C：因为复数，所以.故C正确；
对于D：因为复数，所以.故D正确.
故选：ACD.
11. 在中，角所对的边分别为，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（ ）
A. 若，则；
B. 若，则；
C. 若，则这个三角形有两解；
D. 当是钝角三角形.则.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A，求出，即可由正弦定理求出；B，由得出，即得，由正弦定理即可判断；C，由正弦定理解三角形即可判断；D，由和的正切个数化简可判断.
【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，故A错误；
对于B，，且在单调递减，若，则，由三角形中大边对大角得，再由正弦定理得，故B正确；
对于C，由正弦定理得，则，因为，故有两解，故C正确；
对于D，在中，，则，当是钝角三角形，若或为钝角，则，满足；若为钝角，则，即，满足，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查和的正切公式的应用，属于基础题.
12. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有
A. 若,则点O为的重心
B. 若,则点O为的垂心
C. 若,则点O为的外心
D. 若,则点O为的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐项进行分析即可.
【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；
选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；
选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；
选项D，由得，
∴，即，
∴．同理可证，
∴，，，即点O是的垂心；
故选：AC．
【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，是单位向量，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由数量积运算得出，再由模长公式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，，是单位向量，所以.
所以.
故答案为：
14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______；
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先由平面向量的坐标运算得到，然后由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
则在上的投影向量的坐标为：.
故答案为：.
15. 如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=____.
【答案】-1
【解析】
【详解】在△ABC中,
BC===50(-).
在△BCD中,sin∠BDC=
==-1.
又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.
16. 的外接圆半径为1，角的对边分别为若，且，则________；的最大值为_________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由余弦定理求得，由向量数量积可得为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得，用正弦定理把表示为的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．
【详解】,
又，所以，
，所以是钝角，所以，
由得，，
，
设，（为锐角），
则，
由得，，为锐角，则，
所以时，取得最大值．
故答案为：；．
四 解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 如图，在中，已知，是边上的一点，，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解；
（2）由（1）可得，所以，在中，利用正弦定理即可求解.
【详解】解：（1）在中，，，，
由余弦定理得；
（2）由（1）可得，
所以.
在中，，，，
由正弦定理得.
18. 已知复数，其中是虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数特征，即可列式求解；
（2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数，
列式求解.
【小问1详解】
因为为纯虚数，
所以，解得.
【小问2详解】
由，得.
因此.
因为，所以当时，；
当时，，.故的取值范围是.
19. 已知，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，进而可得结果；
（2）根据共线向量定理可得结果.
【详解】（1）由得，又，且，的夹角为，所以，
∴.
（2）因为，
则存在非零实数，使，
因为，不共线，所以，解得.
20. 如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．
（1）求的值；
（2）若恒成立，求实数的最小整数值．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；
（2）利用基本不等式可得，进而即得.
【小问1详解】
连接．
因为，，，
所以
．
因为，，共线，
所以，．
【小问2详解】
显然，所以等价于，
即．
因为，当且仅当，
即，时，取到最小值．
于是，
∴．
故实数的最小整数值是2．
21. 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．
（1）若，求护栏的长度即的周长；
（2）若鱼塘面积是民宿面积的倍，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合余弦定理可得，进而可得，即可得结果；
（2）由题意可得，在、中结合正弦定理运算求解.
【小问1详解】
在Rt中，因为，可得，
在中，由余弦定理，
所以，
可得，则，
可得，
所以护栏的长度即的周长.
【小问2详解】
由题意可得：，设，则，
在，由正弦定理，整理得，
在，由正弦定理，整理得，
则，整理得，
而，故，即.
22. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求A的值；
（2）若，，当的周长最小时，求的值；
（3）若，，且的面积为，求的长度.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.
【小问1详解】
由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以；
【小问2详解】
由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为，所以的周长为，
当且仅当，即时取等号，
所以当的周长最小时，；
【小问3详解】
由的面积为，得，
所以①，
又，所以，，
由正弦定理，得，②
由①②可得，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以.
