§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022广东汕头金山中学月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是 ( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.(2023天津南开期末)过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是双曲线的左焦点,那么△F1PQ的周长为( )
A.28 B.14-8
C.14+8
3.(2024河北石家庄部分学校期中)设F1,F2分别是双曲线=1的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.14
4.(2024江苏镇江丹阳期中)已知双曲线=1(m>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为8,点M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|= .
5.点P是双曲线=1左支上的一点,其右焦点为F,若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为7,则|PF|= .
题组二 双曲线的标准方程
6.(2024陕西咸阳彩虹学校月考)若双曲线=1的焦点与椭圆=1的长轴端点重合,则m的值为( )
A.2 B.4 C.-2 D.-4
7.方程=1(θ∈R)所表示的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
8.(2023甘肃武威民勤第一中学期中)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),M是双曲线上一点且||MF1|-|MF2||=2,则双曲线C的标准方程为( )
A.=1
C.=1
9.(2024福建德化二中期中)求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点A(4,3),且a=4;
(2)经过点A).
题组三 双曲线的综合运用
10.(2022江西南昌一模)许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1中是单叶双曲面(由双曲线绕其虚轴所在直线旋转形成的立体图形)型建筑,其上、下底面与地面平行,图2是其最细处附近的截面图形.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
A.10米 B.20米
C.10米 D.10米
11.(2024安徽定远民族中学期末)双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则a为( )
A. C.2 D.1
12.(2024吉林四平期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线C右支上一点,|OP|=|OF2|,且△POF1的面积为4,则实数b=( )
A. D.4
13.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且PF2的中点M在以O为圆心,OF1为半径的圆上,则|PF2|= .
14.双曲线x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,第一象限内的一点P在双曲线上,O是坐标原点.
(1)若|,求点P的坐标;
(2)设||=n,若∠F1PF2=90°,求m+n的值.
能力提升练
题组 双曲线的方程及其综合应用
1.已知点A(0,-),B(2,0),P为函数y=2图象上的一点,则|PA|+|PB|的最小值为( )
A.1+2 B.7 C.3 D.不存在
2.(2024江苏南通如皋教学质量调研)已知F1,F2为椭圆)和双曲线x2-=1(b2>0)的公共焦点,P为它们的公共点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为( )
A.
3.一动圆P过定点M(-4,0),且与圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.=1(x≥2) B.=1(x≤2)
C.=1
4.(2024浙江浙南名校联盟期中)已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=( )
A. B.26 C.25 D.23
5.(2024山西怀仁第一中学校月考)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,|BF1|=2|BF2|=4|AF2|,且△ABF1的周长为10,则双曲线C的焦距为 .
6.(2023湖南邵阳二中期中)过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为 .
7.(2022辽宁六校协作体期中)中国海军在某次演习中派出三艘舰艇,某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如图中A,B,C,且OA=OB=OC=3,假设可疑舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为v0),C处舰艇保持静止.
(1)建立适当的坐标系,并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对可疑舰艇攻击后,C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果,则无人机飞行的最短距离是多少
答案与分层梯度式解析
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
规律总结 已知定点M,N及动点P,当||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;当||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;当||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.C 方程x2-y2=8可化为,c=4.根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4,∴△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=7+8,故选C.
3.D 由题意得点P在双曲线的下支上,|F1F2|=2|PF2|=4,所以|PF2|=6,|PF1|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=,所以|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.故选D.
4.答案 7或3
解析 由已知得a2=m2,b2=15,2c=8,∴m2+15=42,解得m=1(m=-1舍去),即a=1.当M是双曲线左支上一点时,|MF2|-|MF1|=2a=2,则|MF2|=7≥a+c=5,当M是双曲线右支上一点时,|MF1|-|MF2|=2a=2,则|MF2|=3≥c-a=3.综上所述,|MF2|=7或|MF2|=3.
5.答案 22
解析 设双曲线的左焦点为F',连接PF',则OM(O为坐标原点)是△F'PF的中位线,∴|OM|=|PF'|,∵M到坐标原点的距离为7,∴|PF'|=14,又由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=8,∴|PF|=8+|PF'|=22.
6.A 易得椭圆=1的长轴端点为(0,2),(0,-2),所以双曲线的焦点为(0,2),(0,-2),故2+m=4,解得m=2.故选A.
7.C ∵-1≤sin θ≤1,∴2sin θ+4>0,sin θ-3<0,∴方程=1(θ∈R)所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.故选C.
8.D 设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,则c=4,2a=2,故a=,b2=c2-a2=16-5=11.所以双曲线C的标准方程为=1.故选D.
9.解析 (1)因为a=4>3,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为=1(b>0),
因为点A(4,3)在双曲线上,所以=1,解得b2=9,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为点A)在双曲线上,
所以
所以双曲线的标准方程为=1.
10.B 取CD的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
易知D(10,-60),O为双曲线的中心.
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.
11.D 设该双曲线的左焦点为F,如图所示,
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF|+2a.
易得|AF|=|AF1|==3,|AP|+|PF|≥|AF|=3,当且仅当A,P,F三点共线时等号成立,
所以△APF1的周长为|AP|+|AF1|+|PF1|=|AF1|+|AP|+|PF|+2a≥|AF1|+|AF|+2a=6+2a,当且仅当A,P,F三点共线时,△APF1的周长取得最小值,即6+2a=8,解得a=1.故选D.
12.C 因为△POF1的面积为4,
所以△PF1F2的面积为8.
又|OP|=|OF2|,
所以|OP|=|OF2|=|OF1|=|F1F2|,
所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a,m2+n2=4c2,
所以mn==2b2,
所以mn=b2=8,
又b>0,所以b=2.故选C.
13.答案 4
解析 如图,由双曲线方程=1,得a2=16,b2=20,则c==6,则|OM|=|OF1|=6,
易知OM为△F1PF2的中位线,∴|PF1|=2|OM|=12,
∴|PF2|=|PF1|-8=4.
14.解析 (1)设P(x,y),x>0,y>0,
则
∴P(,2).
(2)易知双曲线中a=1,b=2,∴c=,
∴∴2mn=16,
∴(m+n)2=20+16=36,∴m+n=6.
能力提升练
1.B 由y=2-x2=1(y>0).设点A'(0,),易知点A'(0,)分别为双曲线-x2=1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA|-|PA'|=4,则|PA|+|PB|=4+|PA'|+|PB|≥4+|BA'|=7.故选B.
2.C 根据题意作出图形如下,
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=-1,
则.故选C.
3.C 由已知得N(4,0),当两圆内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当两圆外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4<|MN|=8,由双曲线的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,所以a2=4,b2=12,故动圆圆心P的轨迹方程为=1.故选C.
4.B 由双曲线的定义得,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=,
则cos∠F1AB=,
即,解得x=3,故|AF1|=8,|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
5.答案
解析 不妨设B在第一象限内,根据题意作出图形,如图所示,
设|AF2|=m,则|BF2|=2m,|BF1|=4m,
由双曲线的定义得,|BF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|,
即4m-2m=|AF1|-m,得|AF1|=3m.
又△ABF1的周长为10,
∴m+2m+4m+3m=10,解得m=1.
在△AF1F2和△BF1F2中,cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,
即=0,解得c=(负值舍去),
所以双曲线C的焦距为.
6.答案 13
解析 由已知得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-=|PC2|2-1,∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的焦点为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线的右顶点时取等号),∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
7.信息提取 ①OA=OB=OC=3;②设可疑舰艇的位置为P,则满足|PB|-|PA|=4;③无人机到可疑舰艇位置的最短距离即两点间的最短距离.
数学建模 以实际问题中的动点与两定点间的距离之差是定值为背景,建立双曲线模型.
解析 (1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设可疑舰艇的位置为P(x,y),
由题意可知|PB|-|PA|=v0×=4,|AB|=6,又4<6,因此P点的轨迹是以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线的左支,故2a=4,c=3,∴a=2,b=,
∴所求的轨迹方程为=1(x≤-2).
(2)取曲线=1(x≤-2)上任意一点M(x0,y0)(x0≤-2),于是=1,即+4,
由题意知,求出M、C间的最短距离即可,
|MC|=
=
=,
当y0=时,|MC|min=.
∴无人机飞行的最短距离是2.
