§4 直线与圆锥曲线的位置关系
4.1 直线与圆锥曲线的交点
基础过关练
题组一 直线与椭圆的交点
1.(2023河南部分学校期中)直线y=x被椭圆x2+=1所截得的线段的长度为( )
A.
2.(2024黑龙江绥化望奎第一中学期末)若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数是( )
A.至多为1 B.2
C.1 D.0
3.(2022陕西师范大学附属中学月考)若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点,则实数m的取值范围为 .
题组二 直线与双曲线的交点
4.(2022陕西西北工业大学附属中学月考)直线y=x+3与双曲线=1(a>0,b>0)的交点个数是( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
5.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-)
C.(-) D.(-1,1)
6.过点P(4,3)与双曲线=1只有一个公共点的直线的条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题组三 直线与抛物线的交点
7.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
8.(2023东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)二模)两条直线y=kx(k>0),y=-2kx分别与抛物线y2=4x交于异于原点的A,B两点,且直线AB过点(1,0),则k=( )
A. D.2
9.(2024广东河源中学等校开学联考)已知直线x-y+=0与抛物线y=x2交于A,B两点,过线段AB的中点P作一条垂直于x轴的直线m与直线l:y=-交于点Q,则△QAB的面积为( )
A.
10.(2023江西景德镇一中期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0),A是抛物线C上的点.
(1)求抛物线C的方程及p的值;
(2)直线l与抛物线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,y1y2<0,且=3,求|y1|+2|y2|的最小值并证明直线l过定点.
能力提升练
题组一 直线与圆锥曲线的交点
1.斜率存在的直线l过点(0,-1)且与双曲线C:-x2=1有且只有一个公共点,则直线l的斜率为( )
A.± B.±2
C.2或或±2
2.(2023湖北咸宁期末)曲线=1与直线=1的公共点的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.(2024四川成都石室中学月考)已知动圆M恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切,设圆心M的轨迹为曲线C,直线l1:x-my-=0与曲线C交于P,Q两点(点P在x轴上方),与直线x=-1交于点R,若|QF|=3,则=( )
A.
4.(2023辽宁铁岭昌图第一高级中学期中)已知两点A(-4,0),B(4,0),若直线上存在点P,使得|PA|-|PB|=4,则称该直线为“点定差直线”.下列直线中,不是“点定差直线”的是( )
A.2x-y+4=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y+1=0
5.(2024广东深圳外国语学校月考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l与一条渐近线垂直,垂足为M,直线l交双曲线右支于点N,,则双曲线的离心率e=( )
A. D.2
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,若,则点A的坐标为 .
7.(2024浙江金华第一中学期中)设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB= .
8.(2023四川泸州龙马高中期中)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率的积为,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)已知直线l:y=x-3与曲线C交于D,E两点,且曲线C上存在点P,使得(O为坐标原点),求m的值及点P的坐标.
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),上顶点为B(0,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.
题组二 与交点有关的最值(或范围)问题
10.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(1,2]
11.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则的最小值为( )
A.- B.- C.- D.-
12.(2024河北定州期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A,B是椭圆C的长轴的端点,直线x=m(-a
13.(2022河南新乡六校联考)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,Q(1,2).若,则|PF|+|PQ|的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14.(2023山东聊城期末)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,分别记为M,N,若四边形F1MF2N的周长为4,则C的焦距的取值范围为 .
15.若M是椭圆=1上的任意一点,则点M到直线x+y-7=0的距离的最大值为 .
16.(2023广西钦州第四中学期中)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2恰为抛物线D:y2=4x的焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l与D相交于A,B两点,记点A,B到直线x=-1的距离分别为d1,d2,|AB|=d1+d2.直线l与C相交于E,F两点,记△OAB,△OEF的面积分别为S1,S2.
①证明:△EFF1的周长为定值;
②求的最大值.
答案与分层梯度式解析
§4 直线与圆锥曲线的位置关系
4.1 直线与圆锥曲线的交点
基础过关练
1.B 联立=1,所以x=±,所以y=±.故直线y=x被椭圆x2+=1所截得的线段的长度为.故选B.
2.B 由题意知,圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d=>2,整理得m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)为圆心,2为半径的圆内,又因为椭圆=1中a=3,b=2,所以P(m,n)在椭圆内,所以过点P(m,n)的直线与椭圆=1有2个交点.
3.答案 1≤m<5
解析 由题意得0
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即≤1,解得m≥1,
所以1≤m<5.
4.A 双曲线=1的渐近线方程为y=±x,因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线平行,且在y轴上的截距为3,所以直线y=x+3与双曲线=1的交点个数是1.故选A.
5.D 当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点,如图所示:
因为直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,所以实数k的取值范围为(-1,1),故选D.
6.B 因为双曲线的方程为=1,所以a=4,b=3,其渐近线方程为y=±x,易知点P(4,3)在直线y=x上,如图所示:
当过点P(4,3)的直线与直线y=-x平行或与x轴垂直(过右顶点)时,与双曲线只有一个公共点,
所以这样的直线有2条.故选B.
7.C (1)当直线l的斜率不存在时,直线l为y轴,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意.
(2)①当直线l与抛物线y2=2x的对称轴平行,即直线l的方程为y=2时,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意;
②当直线l的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,故直线l的方程为y=x+2.
综上,符合题意的直线l共有3条.故选C.
8.C 联立x≠0,可得即A,
同理可得B,
因为直线AB过点(1,0),所以kAB=,解得k2=2,又k>0,所以k=.故选C.
9.B 联立不妨令A,B,如图,
因为P为线段AB的中点,所以P,
则|PQ|==1,
所以S△QAB=|PQ|·.故选B.
10.解析 (1)将A的坐标代入y2=2px,得p=1,∴抛物线C的方程为y2=2x.
(2)设直线l的方程为x=my+t,
由消去x并整理,得y2-2my-2t=0,
∴y1+y2=2m,y1y2=-2t<0,即t>0.
∴+y1y2=t2-2t=3,解得t=3或t=-1(舍去),
∴y1y2=-6,
∴|y1|+2|y2|≥2,
当且仅当|y1|=2|y2|,即|y1|=2时等号成立.
∴|y1|+2|y2|的最小值为4.
∵t=3,∴直线l:x=my+3,其恒过定点(3,0).
能力提升练
1.D 由题意,设直线l的方程为y=kx-1,代入双曲线方程,化简可得(k2-4)x2-2kx-3=0,当k2=4,即k=±2时,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±,此时方程有两个相等的实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点.综上,k=±2或k=±.故选D.
2.B 当y≥0时,曲线=1的方程为=1,表示椭圆的上半部分(含与x轴的交点),此时曲线与直线=1的交点为(0,3),(4,0);
当y<0时,曲线=1的方程为=1,表示双曲线在x轴下方的部分,
其一条渐近线方程为=0,此时曲线与直线=1无交点.
综上所述,曲线=1与直线=1的公共点的个数为2.
故选B.
3.C 由题意得,点M与点F(1,0)之间的距离等于点M到直线x=-1的距离,所以点M的轨迹为抛物线,其方程为y2=4x,
如图所示,
由抛物线的定义得,|QF|=3=xQ+1,解得xQ=2.
联立消去y并整理,得x2-(4m2+2)x+5=0,∴2xP=5,得xP=,
则.故选C.
4.A 结合双曲线的定义,满足|PA|-|PB|=4的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线C的右支,易得双曲线C的标准方程为=1,渐近线方程为y=±x,
依题意,若某直线为“点定差直线”,则这条直线必与双曲线C的右支相交,
直线x-y+1=0,x-y+1=0与双曲线C的右支相交,
直线x+y-1=0与双曲线C的一条渐近线平行,与右支有一个交点,
直线2x-y+4=0与双曲线C无交点,
故选A.
5.B 已知F1(-c,0),不妨取其中一条渐近线为y=-x,
由两直线垂直,斜率乘积为-1,得过F1的直线l的方程为y=(x+c),
由所以点M的坐标为,
因为,所以yN=4yM,故yN=,
因为点N在直线l上,所以(x+c),得x=,所以点N的坐标为,
又点N在双曲线上,所以=1,
化简,得9c2=25a2,故e=.故选B.
6.答案 (2,2)或(2,-2)
解析 由题意可知,抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,
∵,∴-y1=2y2,即y2=-,
∴y1y2=-=-4,解得y1=±2=2,
∴点A的坐标为(2,2)或(2,-2).
7.答案
解析 由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,并整理得x2-12x+4=0,
解得x1=6+4,
则A(6+4),
故|AC|=,
|BC|=,
|AB|=x1+x2+4=16,
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=.
8.解析 (1)因为动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率的积为,所以,
即曲线C的方程为=1(x≠±2),C是除去左、右两个顶点的双曲线.
(2)联立消去y,得x2-12x+22=0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=12,y1+y2=x1+x2-6=6,
设P(x0,y0),由得(x1+x2,y1+y2)=(mx0,my0),
故=1,所以m2=18,
所以m=±3,
当m=3时,P(2);
当m=-3时,P(-2).
9.解析 (1)由题意可得c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,
故椭圆C的方程为=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G的坐标为(x0,y0),
由消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2,
因为x1+x2=-,
所以x0=,
又因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以=1,
解得m=±,满足-2,
所以m的值为±.
10.A 若直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率的绝对值,即≥4,∴e≥2.故选A.
11.D 求的最小值即求点(m,n)与点(3,0)连线的斜率的最小值,设过点(m,n)和点(3,0)的直线方程为y=k(x-3),联立 (9+k2)x2-6k2x+9(k2-1)=0,
易知当Δ=0时,直线斜率取得最小值,即Δ=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-1)]=0 k2=,故当k=-时,斜率取得最小值,即的最小值为-.故选D.
12.C 由题意,不妨设A(-a,0),B(a,0),P(m,y0),Q(m,-y0),
将点P的坐标代入椭圆C的方程,得=1,
∴,
∵k1=,
∴k1k2=,
故k1,k2同号,
故≥2,当且仅当4|k1|=|k2|=时取等号,
即.
故选C.
13.C 解法一:由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根与系数的关系得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p.
所以,
所以2p=4,即p=2.故x2=4y.分别过点P,Q作PM,QN垂直于抛物线的准线于M,N,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,当Q,P,M三点共线且M与N重合时,等号均成立.故选C.
解法二:设直线AB的倾斜角为θ,直线CD的倾斜角为β,β>θ,则,
因为两条焦点弦互相垂直,所以β=+θ,
所以,所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
分别过点P,Q作PM,QN垂直于抛物线的准线于M,N,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,当Q,P,M三点共线且M与N重合时,等号均成立.故选C.
方法点拨 抛物线的焦点弦公式
已知AB是过抛物线的焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角是θ,直线AB的斜率为k.对于抛物线y2=2px(p>0),焦点弦|AB|=;对于抛物线x2=2py(p>0),焦点弦|AB|==2p(1+k2).
14.答案 [,2)
解析 易知点M,N关于x轴对称,且|MF2|=b,由双曲线的定义可得|MF1|=b+2a,
由题意可得|MF1|+|MF2|=2a+2b=2,所以a+b=1,则b∈(0,1),
所以c2=a2+b2=(1-b)2+b2=2b2-2b+1=2,
所以≤c<1,所以≤2c<2.
当b=时,a=,此时b>c-a,
即此时以F2为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,符合题意.
因此,C的焦距的取值范围为[,2).
15.答案 6
解析 设与直线x+y-7=0平行的直线方程为x+y=m(m≠7),当此直线与椭圆=1相切时,
联立得25x2-18mx+9m2-144=0,
则Δ=(-18m)2-4×25×(9m2-144)=0,
解得m=5或m=-5.所以与直线x+y-7=0平行,且与椭圆=1相切的直线的方程为x+y=±5.
取离直线x+y-7=0较远的切线x+y=-5,
此时切点M是椭圆=1上到直线x+y-7=0的距离最大的点,此距离的最大值等于两平行直线间的距离d=.
16.解析 (1)因为F2为抛物线D:y2=4x的焦点,所以F2(1,0),所以c==1.
又因为以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点,所以b=c,
所以a=,b=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①证明:由题知,直线x=-1为抛物线D的准线,
由抛物线的定义知|AB|=d1+d2=|AF2|+|BF2|.
又因为|AB|≤|AF2|+|BF2|,当且仅当A,B,F2三点共线时等号成立,
所以直线l过定点F2.
根据椭圆的定义得|EF|+|EF1|+|FF1|=|EF2|+|EF1|+|FF1|+|FF2|=4a=4.
即△EFF1的周长为定值.
②若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1.
此时|AB|=4,|EF|=,所以.
若直线l的斜率存在,则可设直线l:y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=.
设E(x3,y3),F(x4,y4),
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
则x3+x4=,
所以|EF|=·|x3-x4|=,
则.
综上,.
