第二章 圆锥曲线
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(2024河北部分高中期中)已知F1,F2分别是椭圆E:=1的左、右焦点,P是椭圆E上一点,若|PF1|=2,则|PF2|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2022重庆八中月考)已知点P(x,y)满足方程=6,则点P的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.线段
3.(2022贵州遵义航天高级中学月考)已知a为实数,则“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024湖北黄冈部分高中阶段性教学质量监测)已知F为椭圆E:=1的右焦点,直线mx-y+m=0与椭圆交于点A,B,则△AFB的周长为( )
A.4 B.2
5.(2022吉林辽源阶段检测)若椭圆+y2=1上一点A到左焦点F1的距离为2,B为AF1的中点,O是坐标原点,则|OB|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题组二 椭圆的标准方程
6.(2024浙江杭州第二中学期中)过点(,2),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.=1
C.=1
7.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
8.(2024天津五校期中联考)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为( )
A.+y2=1
C.=1
9.(2023河南南阳期中)已知圆B:(x+2)2+y2=64,点A(2,0),动点C为圆B上任意一点,则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是 ( )
A.=1
C.=1
10.(2022河南新乡二模)已知圆C1:(x+)2+y2=1与圆C2:(x-)2+y2=9相交于A,B两点,若圆C1,C2的圆心为椭圆E的焦点,A,B在椭圆E上,则椭圆E的标准方程为 .
11.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,且满足|OP|=|OF|,|PF|=4,求椭圆C的标准方程.
题组三 椭圆的方程的应用
12.(2024广东东莞松山湖学校第一次检测)已知椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),则k的值为( )
A.3 B.5 C.11 D.83
13.点P(4cos α,2sin α)(α∈R)与椭圆C:=1的位置关系是( )
A.点P在椭圆C上
B.不能确定,与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
14.(多选题)(2024福建龙岩名校期中)已知曲线C:=1,则( )
A.当m=8时,C是圆
B.当m=10时,C是焦距为4的椭圆
C.当C是焦点在x轴上的椭圆时,5
A.1 B.2 C.
16.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上的一点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.
能力提升练
题组一 椭圆的定义的应用
1.(2024辽宁高级中学期中)已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,3|PF2|=5|PF1|,则△PF1F2的面积为( )
A. B.6
C.8 D.2
2.(2023广东广州番禺实验中学期中)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12 C.25 D.16
3.已知P为椭圆=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则=( )
A. B.3 C.6 D.2
4.(2022四川成都树德中学阶段性测试)已知点A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为( )
A.6+
C.6+2
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.(2024广东深圳盐田高级中学期中)已知椭圆方程为=1(a>b>0),其右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为( )
A.=1
C.=1
6.一个动圆与圆C1:x2+(y+3)2=1外切,与圆C2:x2+(y-3)2=81内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A.=1
C.=1
7.(2024天津第三中学期中)如图,F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是边长为2的正三角形,则b2的值是 .
8.(2024湖北武汉情智学校期中)已知点P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若锐角△F1PF2外接圆的半径为4,则△F1PF2的面积是 .
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章 圆锥曲线
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
基础过关练
1.C 由椭圆E:=1可知a=3,因为P是椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,而|PF1|=2,所以|PF2|=6-|PF1|=4.故选C.
2.B 设点A(2,0),B(-2,0),则可表示|PA|,可表示|PB|,所以|PA|+|PB|=6,又|AB|=4<6,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.故选B.
3.A 由方程=1表示的曲线为椭圆,得解得a>1且a≠4,因为{a|a>5} {a|a>1且a≠4},所以“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A.
4.C 直线mx-y+m=0恒过定点(-1,0),而点(-1,0)恰为椭圆E的左焦点,记F1(-1,0).由椭圆的定义知,△AFB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|=2a+2a=4a=8.故选C.
5.B 由已知得a=3,设椭圆的右焦点为F2,则|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是△AF1F2的中位线,所以|OB|==2.故选B.
6.D 椭圆=1的焦点为(0,3)和(0,-3),设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则=1.故选D.
7.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.B 由题可设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),将x=1代入,得=1,解得y=±,
所以结合a>b>0,解得
所以椭圆C的标准方程为+y2=1,故选B.
9.C 由题意得|PA|=|PC|,则|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,∴点P的轨迹方程是=1,故选C.
10.答案 =1
解析 易得圆C1的圆心为C1(-,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(,0),半径r2=3,圆C1与圆C2的两个交点分别为(-,-1),不妨令A(-,-1).
由题意可设椭圆E的方程为=1(a>b>0),
则2a=|AC1|+|AC2|=r1+r2=1+3=4,2c=|C1C2|=2,
所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=2,
故椭圆E的标准方程为=1.
11.解析 由题意可得,该椭圆的半焦距c=2,设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F1,则F1(2,0),连接PF1,如图.
因为|OP|=|OF|,所以|OP|=|OF1|,
所以PF⊥PF1.
又|PF|=4,|FF1|=4,
所以|PF1|==8,
所以2a=|PF|+|PF1|=12,即a=6,
所以b2=a2-c2=16,
所以椭圆C的标准方程为=1.
12.A 由椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),得椭圆的焦点在y轴上,a2=7,b2=k且c=2,又c2=a2-b2,所以7-k=4,解得k=3.故选A.
13.D 把(4cos α,2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边,得=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆C外.故选D.
14.AB 对于A,当m=8时,曲线C:x2+y2=3,该曲线为圆,故A正确;对于B,当m=10时,曲线C:+y2=1,该曲线为椭圆且焦距为2=4,故B正确;对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得8
在△PF1F2中,cos∠PF2F1=,
∴sin∠PF2F1=,∴点P到x轴的距离h=|PF2|·sin∠PF2F1=.故选C.
16.解析 因为∠F1PF2=,
所以|PF1|2+=4c2=4×(4-1)=12,
又|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|
==2,
所以=1.
能力提升练
1.B 由椭圆方程=1,得a=4,c=2,故|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=4,又3|PF2|=5|PF1|,所以|PF1|=3,|PF2|=5,所以△PF1F2为直角三角形,∠PF1F2=90°,所以×3×4=6.故选B.
2.C 由椭圆的方程知a=5,由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF1|·|MF2|≤=25(当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号),∴|MF1|·|MF2|的最大值为25.故选C.
3.D 根据椭圆的方程可知a=2,c==1.设||=n,由椭圆的定义和余弦定理得可得mn=4,故=mncos 60°=4×=2.故选D.
4.A 设椭圆的右焦点为F2,把椭圆方程化为标准形式为=1,由已知得|PF1|+|PF2|=2a=6 |PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=6-(|PF2|-|PA|).①当|PA|≥|PF2|时,有|PA|-|PF2|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最大,此时P是射线AF2与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最大值是6+.②当|PA|≤|PF2|时,有|PF2|-|PA|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最小,此时P是射线F2A与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最小值是6-.故选A.
5.C 设M(1,-1),则kFM=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,两式相减,得=0,即=0,即a2=3b2,又c=4,a2=b2+c2,所以a2=24,b2=8,故椭圆的方程为=1.故选C.
6.A 设动圆的半径为r,圆心为M,根据题意可知,C1(0,-3),C2(0,3),|MC1|=1+r,|MC2|=9-r,|C1C2|=3-(-3)=6,|MC1|+|MC2|=1+r+9-r=10>6,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且焦点为C2(0,3)和C1(0,-3),其中2a=10,2c=|C1C2|=6,则a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为=1.
7.答案 2
解析 因为△POF2是边长为2的正三角形,所以c=|OF2|=2,点P的坐标为(1,),
又点P在椭圆上,所以=1,①
结合a2=b2+c2,得a2=b2+4,②
联立①②可解得b2=2.
8.答案
解析 由已知得|F1F2|=2c=2,在锐角△F1PF2中,由正弦定理得=2R(R为△F1PF2外接圆的半径),即=8,
解得sin∠F1PF2=,故∠F1PF2=,
在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=48,
因为|PF2|+|PF1|=8,
所以82-3|PF2||PF1|=48,解得|PF2||PF1|=,
所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=.
9.解析 (1)由题及椭圆的定义,得a==2,
在△PF1F2中,-2|PF1|·|PF2|cos 120°=)=15,即4c2=15,得c2=,
∴b2=a2-c2=4-,
故椭圆C的方程为+4y2=1.
(2)设点P的坐标为(m,n),
∵|PF1|>|PF2|,∴m>0.
|PF1||PF2|sin 120°=,
又,
∴,解得n=±,
∵点P在椭圆C上,∴=1,
解得m=(负值舍去),
故点P的坐标为.
