2022-2023学年广东省佛山市顺德区伦教中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在数轴上表示不等式，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.将某图形的各点的横坐标加上，纵坐标保持不变，可将该图形( )
A. 横向向右平移个单位 B. 横向向左平移个单位
C. 纵向向上平移个单位 D. 纵向向下平移个单位
5.已知点在第四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，你觉得它可能是( )
A. 三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆
7.如图，在中，，，，将沿的方向平移到的位置，若，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：；；；正确结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式的解集是______．
12.如果等腰三角形的一个外角是，那么它的顶角的度数为______．
13.如图，已知：与交于点，，要使≌，添加一个你认为合适的条件为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为______．
15.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的有______个
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解不等式组：．
17.本小题分
如图，在中，
用尺规作图法作边上的高，垂足为；
若平分，，求的长．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别为、，．
把向下平移个单位后得到对应的，画出；
画出与关于原点中心对称的；
求的面积．
19.本小题分
如图，在中，，是角平分线，于点，点在上，．
求证：；
若，，求的长．
20.本小题分
夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付元；若进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付元．
求甲，乙两种规格的小龙虾的进价；
根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，该水产经销商计划每天进货的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的倍，甲种小龙虾定价为元，乙种小龙虾定价为元考虑到销售过程的运输、人工、存储、损耗等销售成本，甲种小龙虾销售成本为元，乙种小龙虾销售成本为元，其中根据以上信息，规划利润最大的进货方案，并说明理由．
21.本小题分
如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
求的函数表达式．
若点在轴负半轴，且满足，求点的坐标．
若，请直接写出的取值范围．
22.本小题分
【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册页完成角平分线的作法，方法如下：
【试一试】
如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出的平分线．
第一步：在射线、上，分别截取、，使；
第二步：分别以点和点为圆心、适当长大于线段长的一半为半径作圆弧，在内，两弧交于点；
第三步：作射线．
射线就是所要求作的的平分线．
【问题】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______．
【问题】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作的角平分线，方法如下如图：
步骤：利用三角板上的刻度，在、上分别截取、，使．
分别过点、作、的垂线，交于点．
作射线，则为的平分线．
请写出小萱同学作法的完整证明过程．
当时，量得，则的面积是______．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形．
直接写出点的纵坐标；
如图，于点，点关于轴的对称点为点，则点的纵坐标为______；连接交于，则的长为______．
若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等边，当最短时，求点的纵坐标．请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选：．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
在数轴上表示为：
故选：．
不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：垂直平分边，
，
，
又的周长为，
，
故选：．
依据垂直平分边，即可得到，进而得出的长，再根据的周长为，即可得出结论．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4.【答案】
【解析】解：某图形的各点的横坐标加上，纵坐标保持不变，可将该图形向右平移个单位，
故选：．
纵坐标不变，图形左右平移，横坐标加，是向右平移个单位．
本题考查了坐标与图形的变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，，
．
故选：．
根据第四象限内点的坐标特点可得到关于的不等式组，求解所列不等式组即可得到的取值范围．
本题考查象限内点的坐标特点，解答本题需掌握第四象限内点的坐标特点．
6.【答案】
【解析】解：圆它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，
故选：．
根据旋转对称图形的概念解答即可．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7.【答案】
【解析】解：把沿的方向平移到的位置，，，，
，，，
、、C正确，不符合题意，
，错误，符合题意，
故选：．
根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：绕点顺时针旋转到的位置，
，
而，
．
故选：．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
9.【答案】
【解析】解：假设结论不成立，即：成立．
故选：．
假设结论不成立，成立．
本题考查反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
故答案为：．
不等式移项、合并同类项、化系数为，即可求出不等式的解集．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：等腰三角形的一个外角为，
则等腰三角形的一个内角为，
当为顶角时，其他两角都为、；
当为底角时，三角形内角和大于，故不符合题意．
所以等腰三角形的顶角．
故答案为：．
等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
13.【答案】或或
【解析】解：，
理由是：在和中，
，
≌，
故答案为：或或．
此题答案不唯一，可以是，根据全等三角形的判定定理可证出来，还可以或．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以或．
14.【答案】
【解析】解：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的下方，故不等式的解集为．
故答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
15.【答案】
【解析】解：当时，点有个，如图所示：
当时，点有个，如图所示：
当时，点有个，如图所示：
综上分析可知，符合条件的有个点．
故答案为：．
分类进行讨论，当时，时，时，分别画出图形，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图，线段即为所求；
过点作于点．
平分，，，
，
，
．
【解析】根据三角形的高的定义作出图形；
过点作于点证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】解：如图，即为所求作的三角形；
如图，即为所求作的三角形；
．
答：的面积为．
【解析】作出点、、平移后的点、、，然后顺次连接即可；
作出关于原点对称的点、、的坐标，然后顺次连接即可；
利用三角形面积公式求出的面积即可．
本题考查了作图平移变换，中心对称图形，三角形面积的计算．解题的关键是作出三角形三个顶点平移后对应点的位置或关于原点对称点的位置．
19.【答案】证明：平分，，，
，．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌．
．
，，
．
．
【解析】利用角平分线的性质可得，再利用证明≌，即可证明；
利用证明≌，可得，根据求出的长，进而可求出的长．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，难度较低，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
20.【答案】解：设甲种小龙虾的进价是元，乙种小龙虾的进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种小龙虾的进价是元，乙种小龙虾的进价是元；
设购进甲种小龙虾，则购进乙种小龙虾，
根据题意得：，
解得：，
，
设购进的小龙虾全部售出后的总利润为元，则，
．
当，即时，随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
当时，利润最大的进货方案为：购进甲种小龙虾，乙种小龙虾；
当，即时，，
当时，销售利润为定值；
当，及时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
当时，利润最大的进货方案为：购进甲种小龙虾．
答：当时，利润最大的进货方案为：购进甲种小龙虾；当时，销售利润为定值；当时，利润最大的进货方案为：购进甲种小龙虾，乙种小龙虾．
【解析】设甲种小龙虾的进价是元，乙种小龙虾的进价是元，根据“进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付元；进货甲种小龙虾和乙种小龙虾，需支付元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种小龙虾，则购进乙种小龙虾，根据购进甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的小龙虾全部售出后的总利润为元，利用总利润每千克的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
21.【答案】解：当时，，
，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式是；
中，令，则，
，
设，
，
，
，
，
解得，
；
观察图象可知，，则的取值范围是．
【解析】先求得点的坐标，再根据待定系数法即可得到的函数表达式；
设，依据，即可得出，进而得到；
根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出、的值．
22.【答案】
【解析】解：【问题】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是，
故答案为：；
【问题】在和中，
，
≌，
，
为的平分线；
，，
为等边三角形，
，
，为的平分线，
，
由勾股定理得，，
的面积，
故答案为：．
【问题】根据三角形全等的定理解答；
【问题】证明≌，根据全等三角形的性质证明；
根据等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】点的纵坐标为；
；；
如图，当点在的右侧时，连接，延长交轴于，
因为是等边三角形，
所以，，
所以，
又因为，
在和中
所以≌，
所以，
所以点在过点且垂直的直线上运动，
当时，有最小值，
过点作于，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以的纵坐标为，
则当最短时，点的纵坐标为．
当点在的左侧时，同理可求点的纵坐标为．
综上所述：当最短时，点的纵坐标为．
【解析】解：如图，过点作于，
因为点的坐标为，
所以，
因为为等边三角形，，
所以，，
故点的纵坐标为；
过点作于，过点作于，连接，连接交于，
因为，是等边三角形，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以点的纵坐标为，
因为点关于轴的对称点为点，
所以点的纵坐标，轴，
所以，，
所以，，，
所以是等边三角形，
所以，
所以，
又因为，
在和中，
所以≌，
所以，
故答案为：，；
如图，当点在的右侧时，连接，延长交轴于，
因为是等边三角形，
所以，，
所以，
又因为，
所以≌，
所以，
所以点在过点且垂直的直线上运动，
当时，有最小值，
过点作于，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以的纵坐标为，
则当最短时，点的纵坐标为．
当点在的左侧时，同理可求点的纵坐标为．
综上所述：当最短时，点的纵坐标为．
分析：
由等边三角形的性质可得，即可求解；
由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得点纵坐标，即可求点纵坐标，由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，即点在过点且垂直的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
第1页，共1页
