南海外国语高级中学2023～2024学年第二学期
高一年级数学科一检考试
（全卷150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题（每题5分，共8题40分）
1．已知角的终边经过点，则（ ）．
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知平面内任意两个向量，，则（ ）．
A． B．
C． D．
4．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）．
A．和 B．和
C．和 D．和
5．已知向量，，若，则实数（ ）．
A．2 B． C．或4 D．4
6．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度可看作是时间t（，单位：h）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
2 1.5 1 1.5 2 1.5 0.99 1.5 2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）．
A． B．
C． D．
8．O为三角形ABC内部一点，a，b，c，均为大于1的正实数，且满足，若，，，分别表示，，的面积，则为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多项选择题（每题6分，共3题18分）
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．若，则
11．如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2，点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，G是该平面内一点且，则（ ）．
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
三、填空题（每题5分，共3题；第14题第一空2分，第二空3分，合计15分）
12．已知，，，若，则__________．
13．已知，，，，则__________．
14．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离，为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒g 周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为__________．
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本小题13分）
已知，且是第二象限角．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（本小题15分）
如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．
（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；
（2）在（1）的条件下，求．
17．（本小题15分）
已知、为平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且与垂直，求实数k的值．
18．（本小题17分）
如图，在四边形ABCD中，，，，且，．
（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值．
19．（本小题17分）
随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
图1 图2
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据求高度CD的值？（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上），求水平截面的长？（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
2023～2024学年南外高中第二学期一检数学
参考答案和部分解析
一、选择题答案和部分解析：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D D C A B A ABC AC BC
2．【解析】解：函数向右平移个单位，
则所得函数为．
3．【解析】解：若，为共线向量且方向相同，则有，
若方向相反，则有．
若，不共线，如图，令，，则，
∴．综上，．
4．【解析】解：由于是平面内的一个基底，故，不共线，
根据向量的加减法法则可知和分别为以，为邻边的平行四边形的两条对角线，
故不共线，和是平行四边形的一条边和一条对角线，故不共线，
和不存在实数倍数关系，故不共线，
故A，B，C中向量能构成平面的一个基底，
，故和共线，不能构成平面的一个基底，D错误．
5．【解析】解：，，
因为，所以，
即，所以或4．
6．【解析】解：设，则，
因为O，D，M三点共线，所以，解得，
则，
所以．
7．【解析】解：根据所给的表格数据，取，
可得函数的周期，
∴，又最大值为2，最小值为1，
∴，且，解得，，
∴函数的解析式为．
8．【解析】解：由，
可得，
即，
因为，，，所以，，
所以，，
记，，
则以AD，AE为邻边，AO为对角线做平行四边形，如图所示：
由平行四边形可得，，
所以，
同理可得，，
所以．
10．【解析】解：因为，
所以，故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
因为，所以存在实数t，使，
所以，解得或，故D不正确．
11．【解析】解：设AB中点为F，连接CF，以D为原点，DB，DE方向分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系：
则，，
设，，，且，
所以，，
因为，所以，即，故，即，
所以，，，
因为，所以，
因为，
故，A错误；
因为，所以，即，
所以G，C，F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，故，C正确；
因为，，
所以
，
因为且，所以，记，，
可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故选项D错误．
二、填空题答案和部分解析：
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】① ②，
【解析】解：①1秒钟后，点P从处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，
此时点P与关于原点对称，从而点P的横坐标为；
②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为，则此时点P的横坐标为，
所以点P到直线l的距离为，．
故答案为：；②，．
三、解答题答案和解析
15．解：（Ⅰ）∵，是第二象限角，∴，
∴．
（Ⅱ）．
16．解：（1），以A为起点作出向量，如图所示．
（2）由图中网格可得：，
由，，且，
则有．
17．解：（1）由，可设，
∴，解得，
即或．
（2）∵，，
∴，，
∵与垂直，∴，
即，解得．
【解析】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求模的公式、平行向量的坐标表示、垂直向量的数量积，考查了计算能力，属于基础题．
（1）根据条件可设，然后根据，即可求出的值，进而可得出向量的坐标；
（2）可得出，，然后根据与垂直，得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．
18．解：（1）以B为原点，BC所在直线为x轴，
过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
则，，
∵，∴．
（2）不妨设，，且，
∴，，
∴，
∴当且仅当时，取最小值．
【解析】本题考查通过数形结合建系法来解决有关向量运算的问题，通过设点M、N的坐标，将表示为关于x的二次函数，利用函数的性质求得最值，体现函数思想．
19．解：（1）图1中：在中，，，，
又，则，
而，有，
在中，，，，
则，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则，
所以限定高度CD的值约为2.8m．
（2）①图2中：依题意，则，，
，，
又，设，
，．
②由①知，设，
则，，，
则转化为，
而，函数在上单调递增，
则在上是减函数，
于是得当，即时，，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道．
【解析】本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，训练了利用单调性求最值．
（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答．
（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答；
②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答．
